Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень школьник

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень школьник. Тренировочный вариант №3

Задание 1

Какое наибольшее количество пакетов кефира можно приобрести на \(190\) рублей, если один такой пакет стоит \(35\) рублей?

По условию задачи надо найти наибольшее целое число, при умножении которого на \(35\) результат останется не больше \(190\). Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления \(190\) на \(35\) и равно \(5\). (Т.к. для покупки \(6\) пакетов нам необходимо уже \(210\) рублей, а это превышает имеющуюся сумму денег.)

Ответ: 5

Задание 2

На диаграмме показано количество посетителей сайта math.com во все дни первых двух недель декабря \(2011\) года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта math.com было наибольшим за указанный период.



По диаграмме видно, что наибольшее количество посетителей сайта было \(11\) ноября.

Ответ: 11

Задание 3

Отрезок \(BK\) соединяет вершину \(B\) треугольника \(ABC\) с точкой на противоположной стороне, причем \(\angle AKB = \angle B\). При этом известно, что \(BK = 10\), \(AB = 12\), \(AC = 18\). Найдите \(BC\).



Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(ACB\):
\(\angle AKB = \angle B\),
\(\angle A\) – общий, тогда треугольники \(ABK\) и \(ACB\) подобны по двум углам.

В подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны, тогда \[\dfrac{BK}{BC} = \dfrac{AB}{AC},\] откуда \(\dfrac{10}{BC} = \dfrac{12}{18}\), следовательно \(BC = 15\).

Ответ: 15

Задание 4

В коробке \(4\) красных, \(2\) синих и \(4\) зеленых шара. Азат наугад достает один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный?

Так как вероятности выбора любого шара одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества красных шаров к общему количеству шаров в коробке. Вероятность того, что вытащенный шар будет красный, равна \[\dfrac{4}{4 + 2 + 4} = 0,4.\]

Ответ: 0,4

Задание 5

Найдите корень уравнения \(-\dfrac{4}{3}x = 5\dfrac{2}{3}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Умножим левую и правую часть уравнения на \(-3\). После умножения: \(4x = -17\), что равносильно \(x = -4,25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -4,25

Задание 6

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\sin {\angle BAC} = \dfrac{2}{3}\). Найдите \(AC\), если \(AB = 6\sqrt{5}\).





Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{3}\qquad\Rightarrow\qquad BC = \dfrac{2}{3}AB = 4\sqrt{5}.\]

По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36\cdot 5 - 16\cdot 5 = 20\cdot 5 = 10^2\), тогда \(AC = 10\).

Ответ: 10

Задание 7

Прямая, заданная уравнением \(y = 3x + 1\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \(f'(x_0) = 3\).

Ответ: 3

Задание 8

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, \(ABCD\) – ромб. Известно, что \(S_{ABCD} = 11\), \(S_{AA_1D_1D} = 31\), \(\angle AA_1D_1 = \angle DD_1C_1\). Найдите площадь полной поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).




 

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, то основания \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) равны. Треугольники \(AA_1D_1\) и \(DD_1C_1\) равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, \[\triangle ADD_1 = \triangle AA_1D_1 = \triangle DD_1C_1 = \triangle DCC_1,\] откуда можно заключить, что \(31 = S_{AA_1D_1D} = S_{DD_1C_1C}\).

Так как \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, то \(S_{BB_1C_1C} = S_{AA_1D_1D} = 31\) и \(S_{AA_1B_1B} = S_{DD_1C_1C} = 31\), следовательно, площадь полной боковой поверхности \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равна \[2\cdot 11 + 4\cdot 31 = 146.\]

Ответ: 146

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{8\cdot (x - 3)^4}{(x - 3)^3}\) при \(x = 0\).

Так как при \(x = 0\) знаменатель отличен от 0, то: \[\dfrac{8\cdot (x - 3)^4}{(x - 3)^3} = 8\cdot(x - 3)^{4 - 3} = 8\cdot(x - 3),\] что при \(x = 0\) равно \(8\cdot (0 - 3) = -24\).

Ответ: -24

Задание 10

Для средней кинетической энергии совершенного газа справедлива формула \[\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{3}{2}kT,\] где \(m\) – масса газа в кг, \(v\) – скорость в м/с, \(T\) – абсолютная температура в кельвинах, а \(k\) – постоянная Больцмана (в Дж/К). Во сколько раз увеличится скорость газа при увеличении его температуры в \(4\) раза?

Пусть \(v_1\) – начальная скорость газа в м/с, \(T_1\) – начальная температура газа в кельвинах, \(v_2\) – конечная скорость газа, тогда \(4T_1\) – конечная температура газа.

Для начальных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_1}^2}{2} = \dfrac{3}{2}kT_1,\] для конечных параметров известно, что \[\dfrac{m{v_2}^2}{2} = \dfrac{3}{2}k\cdot 4T_1.\] Умножая первое уравнение на \(4\), получаем \[4\dfrac{m{v_1}^2}{2} = 4\cdot\dfrac{3}{2}kT_1,\] откуда заключаем, что \(\dfrac{m{v_2}^2}{2} = 4\dfrac{m{v_1}^2}{2}\), следовательно, \({v_2}^2 = 4{v_1}^2\), откуда \(v_2 = \pm 2v_1\), но \(v_1\geqslant 0, \ v_2\geqslant 0\) тогда \(v_2 = 2v_1\), то есть скорость газа увеличится в \(2\) раза.

Ответ: 2

Задание 11

Евгений добирался из Москвы до Сочи автостопом. Первые \(20\, км\) он шёл пешком со скоростью \(4\, км/ч\), после чего ехал с первым попутчиком следующие \(500\, км\) со скоростью \(100\, км/ч\), затем Евгений ехал ещё \(500\, км\) со вторым попутчиком со скоростью \(125\, км/ч\), а оставшиеся \(600\, км\) он ехал с третьим попутчиком со скоростью \(100\, км/ч\). Найдите среднюю скорость Евгения. Ответ дайте в км/ч.

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Евгения составляет \(20 + 500 + 500 + 600 = 1620\, км\).

Время, которое Евгений потратил на этот путь, равно \(20 : 4 + 500 : 100 + 500 : 125 + 600 : 100 = 20\, ч\). Тогда средняя скорость Евгения равна \(1620 : 20 = 81\, км/ч\).

Ответ: 81

Задание 12

Найдите точку локального минимума функции

\(y = -\dfrac{x^2 + 2016^2}{x}\).

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = -\dfrac{2x^2 - (x^2 + 2016^2)}{x^2} = \dfrac{2016^2 - x^2}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):

\[\dfrac{2016^2 - x^2}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 = 2016^2\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -2016, \ x_2 = 2016\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = \dfrac{(2016-x)(2016+x)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):


 

Таким образом, \(x = -2016\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: -2016

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} \dfrac{\sin{(2x)} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \((\pi; 2\pi]\).

ОДЗ: \(\sin x \neq 1\). Решим на ОДЗ:

а) Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

\[\begin{aligned} &\dfrac{2\sin{x}\cdot \cos{x} - 2\cos{x}}{\sin{x} - 1} = 0.\\ &2\cos{x} \cdot \dfrac{\sin{x} - 1}{\sin{x} - 1} = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, на ОДЗ: \(\cos{x} = 0\), то есть

\[\begin{cases} \cos x = 0\\ \sin x \neq 1. \end{cases}\]

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, подходят только \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[\pi < -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \leqslant 2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad \pi + \dfrac{\pi}{2} < 2\pi k \leqslant 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{3}{4} < k \leqslant \dfrac{5}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на полуинтервал \((\pi; 2\pi]\) попадает только корень при \(k = 1\): \(x = \dfrac{3\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(\dfrac{3\pi}{2}\).

Задание 14

Дана треугольная пирамида \(SABC\), причем грани \(SAB\) и \(SAC\) представляют собой равные равнобедренные треугольники с прямыми углами при вершине \(A\). Найдите расстояние от точки \(A\) до грани \(SBC\), если высота пирамиды равна \(h\) и равна \(BC\).

Из условия задачи следует, что:
1) \(SA\perp AB, AC \Rightarrow SA\perp (ABC)\);
2) \(SA=AB=AC=h=BC\);
3) \(SB=SC=h\sqrt2\).

 


 

Т.к. \(\triangle BAC\) равнобедренный, то \(AK\perp BC, K\) – середина \(BC\). Аналогично, \(SK\perp BC\). Таким образом, перпендикуляр \(AH\) на плоскость \(SBC\) упадет на прямую \(SK\) (удовлетворяет теореме о трех перпендикулярах: \(HK\) – проекция, \(AK\) – наклонная, обе перпендикулярны \(BC\)).

 

По теореме Пифагора \(AK=\dfrac{h\sqrt3}{2}\).

 

Следовательно, \(\mathrm{tg}\, \angle SKA=\dfrac{SA}{AK}=\dfrac{2\sqrt3}{3}=\dfrac{AH}{HK}\).
Значит, \(AH=2\sqrt3x, HK=3x\).
По теореме Пифагора из \(\triangle AHK\) находим \(x=\dfrac{1}{2\sqrt7} \Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{3}{7}}\)

Ответ:

\(\sqrt{\dfrac{3}{7}}\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 5)(x^2 - 15)}{(x - 7)(x^2 + 2\pi)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 7\neq 0\\ x^2 + 2\pi\neq 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x\neq 7.\] Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 5)(x^2 - 15) = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 5,\qquad\qquad x = \pm\sqrt{15}\]

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

\[\begin{aligned} (x - 7)(x^2 + 2\pi) = 0 \end{aligned}\]

Так как при любом \(x\) выполнено \(x^2\geqslant 0\), то при любом \(x\) выполнено \(x^2 + 2\pi \geqslant 2\pi > 0\), тогда нули знаменателя: \[x = 7.\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in (-\infty; -\sqrt{15}]\cup [\sqrt{15}; 5]\cup (7; +\infty).\)
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-\infty; -\sqrt{15}]\cup [\sqrt{15}; 5]\cup (7; +\infty)\)

Задание 16

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) – биссектриса, \(AB = BC\), \(\angle C = 72^{\circ}\).

а) Докажите, что \(BD = AC\).

б) Найдите \(\cos{\angle ABC}\).



 

а) Треугольник \(ABC\) – равнобедренный, тогда \(\angle A = \angle C = 72^{\circ}\), следовательно \[\angle B = 180^{\circ} - 2\cdot 72^{\circ} = 36^{\circ}.\] Так как \(AD\) – биссектриса, то \[\angle BAD = 0,5\cdot\angle BAC = 36^{\circ} = \angle B,\] тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный и \(AD = BD\).

С другой стороны \(\angle DAC = \angle BAD = 36^{\circ}\), следовательно \[\angle ADC = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} = 72^{\circ},\] следовательно треугольник \(DAC\) – равнобедренный и \(AD = AC\).

В итоге: \(BD = AD = AC\).

 

б) Запишем теорему косинусов в треугольнике \(ADC\) с учетом \(AC = AD\): \[CD^2 = 2AC^2 - 2AC^2\cos{\angle ABC}.\] Запишем теорему косинусов в треугольнике \(ABD\) с учетом \(AB = BC = BD + CD = AC + CD\) и \(AD = AC\): \[AC^2 = (AC + CD)^2 + AC^2 - 2AC(AC + CD)\cos{\angle ABC}.\]

Из последнего соотношения получаем \[(AC + CD)^2 - 2AC(AC + CD)\cos{\angle ABC} = 0,\] откуда делением на \(AC + CD\) получаем \[AC + CD - 2AC\cos{\angle ABC} = 0\qquad\Rightarrow\qquad CD = AC(2\cos{\angle ABC} - 1).\] Подставим это в первое уравнение: \[AC^2(4\cos^2{\angle ABC} - 4\cos{\angle ABC} + 1) = 2AC^2 - 2AC^2\cos{\angle ABC},\] откуда получаем квадратное уравнение \(4\cos^2{\angle ABC} - 2\cos{\angle ABC} - 1 = 0\).

Его корни \[\cos{\angle ABC} = \dfrac{1 \pm\sqrt{5}}{4}.\] Так как \(\angle ABC = 36^{\circ}\), то его косинус положителен. Окончательно \(\cos{\angle ABC} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\).

Ответ:

б) \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\).

Задание 17

Бизнесмен Олег в январе \(2016\) года взял кредит в банке под \(20 \%\) годовых, причем выплачивать кредит он должен равными суммами в течение трех лет. Сколько рублей в итоге выплатил Олег банку, если известно, что его переплата по кредиту составила \(675\,500\) рублей?

Пусть \(A\) рублей – сумма кредита, \(x\) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления } \% & \text{Сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа}\\ \hline 1 & A & 1,2A-x\\ \hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\\ \hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Следовательно, \(1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 \ (*)\).

 

Всего за три года Олег выплатил банку \(3x\) рублей, а его переплата составила \(3x-A=675\,500\) рублей. Отсюда \(A=3x-675\,500\). Подставим это значение в \((*)\):

 

\(1,2^3\cdot (3x-675\,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 \Rightarrow \)  

\(x= \dfrac{1,2^3\cdot 675\,500}{3\cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=\dfrac{12^3\cdot 675\,500}{1\,544}=756\,000 \Rightarrow 3x=2\,268\,000\) рублей.

Ответ:

\(2\,268\,000\) рублей.

Задание 18

Решите неравенство \(2ax+5\cos\dfrac{\pi}{3}\geqslant 0\) при всех значениях параметра \(a\).

Неравенство можно переписать в виде \(ax\geqslant -\dfrac{5}{4}\). Рассмотрим три случая:

1) \(a=0\). Тогда неравенство принимает вид \(0\geqslant -\dfrac{5}{4}\), что верно при любых значениях переменной \(x\).

2) \(a>0\). Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства не изменится, следовательно, \(x\geqslant -\dfrac{5}{4a}\).

3) \(a<0\). Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb{R}; \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac{5}{4a}; \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\).

Задание 19

В ряд выписаны числа от \(1\) до \(22\). Можно ли между ними расставить знаки “\(+\)\(\ \)и “\(-\)\(\ \)так, чтобы в результате получился \(0\)?

Среди чисел \(1, 2, 3, ..., 22\) всего \(11\) четных и \(11\) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как \(0\) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет