Уровень школьник. Тренировочный вариант №4

\(h\cdot 1^\circ H = h\cdot 2,4^\circ C = c^\circ C\), откуда \(2,4\cdot h = c\), то есть \(\dfrac{c}{h} = 2,4\).

Ответ: 2,4

По диаграмме видно, что количество посетителей было наименьшим \(9\) числа.

Ответ: 9

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.

Обозначим длину прямоугольника за \(a\), а его ширину за \(b\), тогда \(a\cdot b = 40\), \(a + b + a + b = 2(a + b) = 26\), откуда \(b = 13 - a\) и, значит, \(a \cdot (13 - a) = 40\), что равносильно \(a^2 - 13a + 40 = 0\). Дискриминант \(D = 13^2 - 4\cdot 40 = 9 = 3^2\), корни \(a_1 = 0,5(13 + 3) = 8, \ a_2 = 0,5(13 - 3) = 5\). При \(a = 5\) получаем \(b = 8\), но \(a \geqslant b\), тогда \(a = 8, \ b = 5\) и разность большей и меньшей сторон равна \(8 - 5 = 3\).

Ответ: 3

Так как вероятности выбора любой конфеты одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества грильяжей к общему количеству конфет в коробке. Вероятность того, что вытащенная конфета окажется грильяжем равна \[\dfrac{1}{15 + 4 + 1} = 0,05.\]

Ответ: 0,05

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

\[-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}x = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}.\] Разделим левую и правую часть уравнения на \(-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}\). После деления: \(x = -\dfrac{1}{2}\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

В параллелограмме сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\), тогда \(\sin{\angle A} = \sin{(\pi - \angle D)} = \sin{\angle D} = 0,4\).

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[0,4 = \dfrac{h}{AB} = \dfrac{h}{15} \qquad\Rightarrow\qquad h = 6.\]

Ответ: 6

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \(f'(x_0) = -1\).

Ответ: -1

Построим \(MN\) перпендикулярно \(AB\) как на рисунке.

Так как \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\), то \(MN = \dfrac{1}{2}a\).
\(MN\) – проекция \(A_1N\) на плоскость \((ABCD)\), причем \(MN\) перпендикулярен \(AB\), тогда по теореме о трех перпендикулярах \(A_1N\) перпендикулярен \(AB\) и угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) есть \(\angle A_1NM\).
\[\mathrm{tg}\, \angle A_1NM = \dfrac{A_1M}{NM} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^{\circ},\] так как \(0^\circ\leq \angle A_1NM < 180^\circ\).

Ответ: 60

\[\sqrt{(-17)^2 - 15^2} = \sqrt{17^2 - 15^2}.\] Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов: \[17^2 - 15^2 = (17 - 15)\cdot (17 + 15) = 2 \cdot 32 = 64 = 8^2.\] В итоге исходное выражение равносильно \(\sqrt{8^2} = 8\).

Ответ: 8

Так как \(\sin (2\cdot 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{45\sqrt{3}}{2} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 441\) и \(v_0 = \pm 21\). Так как \(v_0 \geqslant 0\), то \(v_0 = 21\, м/с\).

Ответ: 21

Первый способ:

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда расстояние, которое он пробежит, станет на \(600\, метров\) больше, чем расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки (с момента кражи).

Так как его скорость на \(0,5\, км/ч\) больше, то за час он пробегает на \(500\, метров\) больше, тогда за \(1 : 5 = 0,2\) часа он пробегает на \(500 : 5 = 100\, метров\) больше. На \(600\, метров\) больше он пробежит за \(1 + 0,2 = 1,2\, часа\).

Второй способ:

Пусть \(v\, км/ч\) – скорость хозяйки сумочки, тогда
\(v + 0,5\, км/ч\) – скорость вора.
Пусть \(t\, ч\) – время, через которое вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, тогда
\(v\cdot t\) – расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки за \(t\, ч\),
\((v + 0,5)\cdot t\) – расстояние, которое пробежит вор за \(t\, ч\).
Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда пробежит ровно на \(2\) круга больше неё (то есть на \(600\, м = 0,6\, км\)), тогда \[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,6\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,5\cdot t = 0,6,\] откуда \(t = 1,2\, ч\).

Ответ: 1,2

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = -\dfrac{3,2}{x^2} + 5 = \dfrac{5x^2-3,2}{x^2} = 5\dfrac{x^2 - 0,64}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[5\dfrac{x^2 - 0,64}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 0,64\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -0,8, \ x_2 = 0,8\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = 5\dfrac{(x - 0,8)(x + 0,8)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -0,8\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: -0,8

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду:

\[\begin{aligned} 2(-\cos x)^2 = \sqrt{3}\cos x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2\cos^2 x = \sqrt{3}\cos x \qquad\Leftrightarrow\qquad \cos x\left(\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда \(\cos x = 0\) или \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Решения уравнения \(\cos x = 0\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant\dfrac{\pi}{2} + \pi k\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -4\leqslant k\leqslant -2,5,\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = -4\) и \(k = -3\): \(x = -\dfrac{7\pi}{2}\) и \(x = -\dfrac{5\pi}{2}\).

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{6}\leqslant n\leqslant -\dfrac{13}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих \(x\) подходящих нет.

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{10}{6}\leqslant n\leqslant -\dfrac{11}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = -1\): \(x = -\dfrac{13\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{7\pi}{2}\), \(-\dfrac{5\pi}{2}\), \(-\dfrac{13\pi}{6}\).

Т.к. \(A_1C\parallel \alpha \Rightarrow A_1C\) параллельна некоторой прямой, содержащейся в \(\alpha\). Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1C\), в которой находится \(A_1C\). Т.к. точка \(K\in AA_1C_1C\), то проведем в этой плоскости \(KN \parallel A_1C\) (по теореме Фалеса \(N\) – середина \(AC\)).

Т.к. \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, то \(N\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\), следовательно, \(N\in BD\). Таким образом, получили сечение \(KBD\) куба плоскостью \(\alpha\).

Ответ:

Рисунок.

ОДЗ:\[\begin{cases} (x + 11)^2 > 0\\ \sqrt{x} > 0\\ (x + 11)^8 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]

При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_{5^{0,5}}x^{0,5} + \log_{5^4} (x + 11)^8\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_5 x + \log_5 (x + 11)^2\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 0\geqslant 2\log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 0\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad \log_5 1\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 1\geqslant x\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:\[x\in(0; 1].\]

Ответ:

\((0; 1]\)

а) Так как \(\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{QM}{PN}\), то \(MN\cdot PN = QM\cdot PQ\).

Так как \(MNPQ\) вписанный, то \(\angle MNP = 180^\circ - \angle MQP\), следовательно, \(\sin\angle MNP = \sin\angle MQP\).

В итоге \[S_{\triangle MNP} = 0,5\cdot MN\cdot PN\cdot\sin\angle MNP = 0,5\cdot QM\cdot PQ\cdot\sin\angle MQP = S_{\triangle MQP}.\]

С другой стороны, у треугольников \(MNP\) и \(MQP\) общее основание, следовательно, их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию, тогда эти высоты равны, значит, точки \(N\) и \(Q\) равноудалены от прямой, содержащей \(MP\).

б) В данном случае \(S_{\triangle MNP} = 0,5\cdot 4\cdot 1,5 = 3\), но \(S_{\triangle MNP} = S_{\triangle MQP}\). Обозначим расстояние от точки \(P\) до прямой, содержащей \(MQ\) через \(h\), тогда \[S_{\triangle MQP} = 3 = 0,5\cdot 3\cdot h,\] следовательно, \(h = 2\).

Ответ:

б) \(2\).

Составим таблицу, обозначив за \(x\) рублей ежегодный платеж, \(A=664\,200\) рублей.

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\text{ и платежа} \\ \hline 1 & A & 1,25A-x\\ \hline 2 & 1,25A-x & 1,125(1,25A-x)-x\\ \hline 3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \\ \hline 4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, \(1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0\).

Отсюда \(x=\dfrac{1,25^4\cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}\).

Заметим, что \(1,25=\dfrac{5}{4} \Rightarrow\)

\(x=\dfrac{5^4\cdot 664\,200}{4\cdot 9\cdot 41}\).

Выполнив сокращения, получим, что \(x=281\,250\) рублей.

Ответ:

\(281\,250\) рублей.

Преобразуем данное неравенство к виду:

\[(x-6)(x-7)\cdot \log_3{(10+a^2(x-6)-7a(x-6)^2)}\leqslant 0\]

Число \(x=6\) является решением неравенства при любом значении параметра \(a\), т.к. в этом случае неравенство равносильно \(0\cdot \log_3{10}\leqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant 0\).

Значит, необходимо найти те значения \(a\), при которых число \(x=7\) не будет являться решением неравенства. Это возможно только в том случае, если при \(a=7\) не выполнено ОДЗ логарифма, то есть \(10+a^2(x-6)-7a(x-6)^2\leqslant 0\) при \(x=7\).

Действительно, при \(x=7\) неравенство равносильно \(0\cdot \log_3{(10+a^2(7-6)-7a(7-6)^2)}\leqslant 0\). Следовательно, если логарифм определен (то есть его аргумент положителен), то неравенство будет равносильно \(0\leqslant 0\), что верно. Значит необходимо, чтобы при \(x=7\) логарифм не был определен.

\[10+a^2(7-6)-7a(7-6)^2\leqslant 0 \quad\Rightarrow \quad 2\leqslant a\leqslant 5\]

Ответ:

\([2;5]\)

Среди любых четырёх последовательных целых чисел всегда есть два последовательных чётных числа, а среди двух последовательных чётных чисел всегда есть одно, которое делится на \(4\).

Так как среди четырёх последовательных целых чисел мы нашли число, которое делится на \(2\) и другое число, которое делится на \(4\), то всё произведение делится на \(8\).

Ответ:

Доказательство