Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень школьник

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень школьник. Тренировочный вариант №4

Задание 1

Один градус Гука равен \(2,4\) градусам Цельсия. Пусть \(h\) температура Тимура в градусах Гука, а \(c\) – в градусах Цельсия. Найдите \(\dfrac{c}{h}\). Ответ округлите до десятых.

\(h\cdot 1^\circ H = h\cdot 2,4^\circ C = c^\circ C\), откуда \(2,4\cdot h = c\), то есть \(\dfrac{c}{h} = 2,4\).

Ответ: 2,4

Задание 2

На диаграмме показано количество посетителей сайта Znaika.ru во все дни первых двух недель августа \(2007\) года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали – количество посетителей сайта за данный день. Определите по диаграмме, какого числа количество посетителей сайта Znaika.ru было наименьшим за указанный период.



По диаграмме видно, что количество посетителей было наименьшим \(9\) числа.

Ответ: 9

Задание 3

Периметр прямоугольника \(ABCD\) равен \(26\), а его площадь равна \(40\). Найдите разность большей и меньшей сторон этого прямоугольника.



Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны.

Обозначим длину прямоугольника за \(a\), а его ширину за \(b\), тогда \(a\cdot b = 40\), \(a + b + a + b = 2(a + b) = 26\), откуда \(b = 13 - a\) и, значит, \(a \cdot (13 - a) = 40\), что равносильно \(a^2 - 13a + 40 = 0\). Дискриминант \(D = 13^2 - 4\cdot 40 = 9 = 3^2\), корни \(a_1 = 0,5(13 + 3) = 8, \ a_2 = 0,5(13 - 3) = 5\). При \(a = 5\) получаем \(b = 8\), но \(a \geqslant b\), тогда \(a = 8, \ b = 5\) и разность большей и меньшей сторон равна \(8 - 5 = 3\).

Ответ: 3

Задание 4

В коробке \(15\) шоколадных конфет, \(4\) карамели и \(1\) грильяж. Ваня наугад выбирает одну конфету. Какова вероятность того, что эта конфета окажется грильяжем?

Так как вероятности выбора любой конфеты одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества грильяжей к общему количеству конфет в коробке. Вероятность того, что вытащенная конфета окажется грильяжем равна \[\dfrac{1}{15 + 4 + 1} = 0,05.\]

Ответ: 0,05

Задание 5

Найдите корень уравнения \(-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}x = \sqrt{\dfrac{\pi}{4e}}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

\[-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}x = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}.\] Разделим левую и правую часть уравнения на \(-\sqrt{\dfrac{\pi}{e}}\). После деления: \(x = -\dfrac{1}{2}\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

Задание 6

В параллелограмме \(ABCD\): \(AB = 15\), \(\sin{\angle D} = 0,4\). Найдите длину \(h\) – высоты, опущенной из вершины \(B\) на сторону \(AD\).





В параллелограмме сумма односторонних углов равна \(180^{\circ}\), тогда \(\sin{\angle A} = \sin{(\pi - \angle D)} = \sin{\angle D} = 0,4\).

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[0,4 = \dfrac{h}{AB} = \dfrac{h}{15} \qquad\Rightarrow\qquad h = 6.\]

Ответ: 6

Задание 7

Прямая, заданная уравнением \(y = -x - 1\), касается графика функции \(f(x)\) в точке \((x_0; f(x_0))\). Найдите \(f'(x_0)\).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту \(a\) касательной \(y = ax + b\) в точке \((x_0; f(x_0))\).

Таким образом, \(f'(x_0) = -1\).

Ответ: -1

Задание 8

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – параллелепипед, \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\), точка \(M\) – основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A_1\) на плоскость \((ABCD)\), кроме того \(M\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\). Известно, что \(A_1M = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a\). Найдите угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\). Ответ дайте в градусах.

Построим \(MN\) перпендикулярно \(AB\) как на рисунке.


 

Так как \(ABCD\) – квадрат со стороной \(a\), то \(MN = \dfrac{1}{2}a\).
\(MN\) – проекция \(A_1N\) на плоскость \((ABCD)\), причем \(MN\) перпендикулярен \(AB\), тогда по теореме о трех перпендикулярах \(A_1N\) перпендикулярен \(AB\) и угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((AA_1B_1B)\) есть \(\angle A_1NM\).
\[\mathrm{tg}\, \angle A_1NM = \dfrac{A_1M}{NM} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{\frac{1}{2}a} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^{\circ},\] так как \(0^\circ\leq \angle A_1NM < 180^\circ\).

Ответ: 60

Задание 9

Найдите значение выражения \(\sqrt{(-17)^2 - 15^2}\).

\[\sqrt{(-17)^2 - 15^2} = \sqrt{17^2 - 15^2}.\] Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов: \[17^2 - 15^2 = (17 - 15)\cdot (17 + 15) = 2 \cdot 32 = 64 = 8^2.\] В итоге исходное выражение равносильно \(\sqrt{8^2} = 8\).

Ответ: 8

Задание 10

Расстояние, которое пролетит камень, брошенный с Земли под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\, м/с\), может быть найдено по формуле \[l = \dfrac{{v_0}^2\sin{(2\alpha)}}{g},\] где \(l\) – расстояние в метрах, \(g = 9,8\, м/с^2\) – ускорение свободного падения. С какой начальной скоростью следует бросить камень под углом \(30^{\circ}\) к горизонту, чтобы расстояние, которое он пролетит, было равно \(\dfrac{45\sqrt{3}}{2}\) метра? Ответ дайте в м/с.

Так как \(\sin (2\cdot 30^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения \[\dfrac{45\sqrt{3}}{2} = \dfrac{{v_0}^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{9,8},\] откуда \({v_0}^2 = 441\) и \(v_0 = \pm 21\). Так как \(v_0 \geqslant 0\), то \(v_0 = 21\, м/с\).

Ответ: 21

Задание 11

Вор, укравший сумочку, убегает от хозяйки сумочки по круговой дороге. Скорость вора на \(0,5\, км/ч\) больше, чем скорость хозяйки сумочки, которая бегает за ним. Через сколько часов вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, если длина дороги, по которой они бегают, равна \(300\, м\) (считайте, что в первый раз он её догнал уже после кражи сумочки)?

Первый способ:

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда расстояние, которое он пробежит, станет на \(600\, метров\) больше, чем расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки (с момента кражи).

Так как его скорость на \(0,5\, км/ч\) больше, то за час он пробегает на \(500\, метров\) больше, тогда за \(1 : 5 = 0,2\) часа он пробегает на \(500 : 5 = 100\, метров\) больше. На \(600\, метров\) больше он пробежит за \(1 + 0,2 = 1,2\, часа\).

Второй способ:

Пусть \(v\, км/ч\) – скорость хозяйки сумочки, тогда
\(v + 0,5\, км/ч\) – скорость вора.
Пусть \(t\, ч\) – время, через которое вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, тогда
\(v\cdot t\) – расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки за \(t\, ч\),
\((v + 0,5)\cdot t\) – расстояние, которое пробежит вор за \(t\, ч\).
Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда пробежит ровно на \(2\) круга больше неё (то есть на \(600\, м = 0,6\, км\)), тогда \[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,6\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,5\cdot t = 0,6,\] откуда \(t = 1,2\, ч\).

Ответ: 1,2

Задание 12

Найдите точку локального максимума функции

\(y = \dfrac{3,2}{x} + 5x + 1024\).

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = -\dfrac{3,2}{x^2} + 5 = \dfrac{5x^2-3,2}{x^2} = 5\dfrac{x^2 - 0,64}{x^2}.\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[5\dfrac{x^2 - 0,64}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 0,64\] – на ОДЗ, откуда находим корни \(x_1 = -0,8, \ x_2 = 0,8\). Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Таким образом, \[y' = 5\dfrac{(x - 0,8)(x + 0,8)}{x^2}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -0,8\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: -0,8

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3}\cos x. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду:

\[\begin{aligned} 2(-\cos x)^2 = \sqrt{3}\cos x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2\cos^2 x = \sqrt{3}\cos x \qquad\Leftrightarrow\qquad \cos x\left(\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда \(\cos x = 0\) или \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Решения уравнения \(\cos x = 0\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant\dfrac{\pi}{2} + \pi k\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -4\leqslant k\leqslant -2,5,\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = -4\) и \(k = -3\): \(x = -\dfrac{7\pi}{2}\) и \(x = -\dfrac{5\pi}{2}\).

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{6}\leqslant n\leqslant -\dfrac{13}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих \(x\) подходящих нет.

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{10}{6}\leqslant n\leqslant -\dfrac{11}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = -1\): \(x = -\dfrac{13\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{7\pi}{2}\), \(-\dfrac{5\pi}{2}\), \(-\dfrac{13\pi}{6}\).

Задание 14

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Через точку \(K\) – середину ребра \(AA_1\) и точку \(B\) проведите плоскость \(\alpha\) параллельно диагонали \(A_1C\).


 

Т.к. \(A_1C\parallel \alpha \Rightarrow A_1C\) параллельна некоторой прямой, содержащейся в \(\alpha\). Рассмотрим плоскость \(AA_1C_1C\), в которой находится \(A_1C\). Т.к. точка \(K\in AA_1C_1C\), то проведем в этой плоскости \(KN \parallel A_1C\) (по теореме Фалеса \(N\) – середина \(AC\)).

 

Т.к. \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, то \(N\) – точка пересечения диагоналей квадрата \(ABCD\), следовательно, \(N\in BD\). Таким образом, получили сечение \(KBD\) куба плоскостью \(\alpha\).

Ответ:

Рисунок.

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_{\sqrt{5}}\sqrt{x} + \log_{625} (x + 11)^8 \end{aligned}\]

ОДЗ:\[\begin{cases} (x + 11)^2 > 0\\ \sqrt{x} > 0\\ (x + 11)^8 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0.\]

При \(x > 0\):
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_{5^{0,5}}x^{0,5} + \log_{5^4} (x + 11)^8\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \log_5 (x + 11)^2\geqslant 2\log_5 x + \log_5 (x + 11)^2\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad 0\geqslant 2\log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 0\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad \log_5 1\geqslant \log_5 x \qquad\Leftrightarrow\qquad 1\geqslant x\,. \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ ответ:\[x\in(0; 1].\]

Ответ:

\((0; 1]\)

Задание 16

Четырёхугольник \(MNPQ\) вписан в окружность, причём \(\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{QM}{PN}\).

 

а) Докажите, что точки \(N\) и \(Q\) равноудалены от прямой, содержащей \(MP\).

б) Найдите расстояние от точки \(P\) до прямой, содержащей \(MQ\), если \(MP = 4\), расстояние от \(N\) до прямой, содержащей \(MP\) равно \(1,5\), \(MQ = 3\).

а) Так как \(\dfrac{MN}{PQ} = \dfrac{QM}{PN}\), то \(MN\cdot PN = QM\cdot PQ\).


 

Так как \(MNPQ\) вписанный, то \(\angle MNP = 180^\circ - \angle MQP\), следовательно, \(\sin\angle MNP = \sin\angle MQP\).

В итоге \[S_{\triangle MNP} = 0,5\cdot MN\cdot PN\cdot\sin\angle MNP = 0,5\cdot QM\cdot PQ\cdot\sin\angle MQP = S_{\triangle MQP}.\]

С другой стороны, у треугольников \(MNP\) и \(MQP\) общее основание, следовательно, их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию, тогда эти высоты равны, значит, точки \(N\) и \(Q\) равноудалены от прямой, содержащей \(MP\).

 

б) В данном случае \(S_{\triangle MNP} = 0,5\cdot 4\cdot 1,5 = 3\), но \(S_{\triangle MNP} = S_{\triangle MQP}\). Обозначим расстояние от точки \(P\) до прямой, содержащей \(MQ\) через \(h\), тогда \[S_{\triangle MQP} = 3 = 0,5\cdot 3\cdot h,\] следовательно, \(h = 2\).

Ответ:

б) \(2\).

Задание 17

Банк “Европа”  предлагает потребительский кредит на сумму \(664\,200\) рублей под \(25 \%\) годовых при условии, что кредит нужно выплачивать в течение четырех лет равными ежегодными платежами. Сколько рублей должен вносить клиент каждый год в счет погашения кредита, если согласится на условия банка?

Составим таблицу, обозначив за \(x\) рублей ежегодный платеж, \(A=664\,200\) рублей.

 

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\text{ и платежа} \\ \hline 1 & A & 1,25A-x\\ \hline 2 & 1,25A-x & 1,125(1,25A-x)-x\\ \hline 3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \\ \hline 4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, \(1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0\).

Отсюда \(x=\dfrac{1,25^4\cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}\).

Заметим, что \(1,25=\dfrac{5}{4} \Rightarrow\)

\(x=\dfrac{5^4\cdot 664\,200}{4\cdot 9\cdot 41}\).

Выполнив сокращения, получим, что \(x=281\,250\) рублей.

Ответ:

\(281\,250\) рублей.

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых только одно из чисел \(x=6\) и \(x=7\) является решением неравенства

\[(x^2-13x+42)\cdot \log_3{(10+a^2(x-6)-7a(x-6)^2)}\leqslant 0\]

Преобразуем данное неравенство к виду:

\[(x-6)(x-7)\cdot \log_3{(10+a^2(x-6)-7a(x-6)^2)}\leqslant 0\]

Число \(x=6\) является решением неравенства при любом значении параметра \(a\), т.к. в этом случае неравенство равносильно \(0\cdot \log_3{10}\leqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant 0\).

 

Значит, необходимо найти те значения \(a\), при которых число \(x=7\) не будет являться решением неравенства. Это возможно только в том случае, если при \(a=7\) не выполнено ОДЗ логарифма, то есть \(10+a^2(x-6)-7a(x-6)^2\leqslant 0\) при \(x=7\).

 

Действительно, при \(x=7\) неравенство равносильно \(0\cdot \log_3{(10+a^2(7-6)-7a(7-6)^2)}\leqslant 0\). Следовательно, если логарифм определен (то есть его аргумент положителен), то неравенство будет равносильно \(0\leqslant 0\), что верно. Значит необходимо, чтобы при \(x=7\) логарифм не был определен.

 

\[10+a^2(7-6)-7a(7-6)^2\leqslant 0 \quad\Rightarrow \quad 2\leqslant a\leqslant 5\]

Ответ:

\([2;5]\)

Задание 19

Докажите, что произведение любых четырёх последовательных целых чисел делится на \(8\).

Среди любых четырёх последовательных целых чисел всегда есть два последовательных чётных числа, а среди двух последовательных чётных чисел всегда есть одно, которое делится на \(4\).

Так как среди четырёх последовательных целых чисел мы нашли число, которое делится на \(2\) и другое число, которое делится на \(4\), то всё произведение делится на \(8\).

Ответ:

Доказательство