ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду:
\[\begin{aligned}
2(-\cos x)^2 = \sqrt{3}\cos x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2\cos^2 x = \sqrt{3}\cos x \qquad\Leftrightarrow\qquad \cos x\left(\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0.
\end{aligned}\]
Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда \(\cos x = 0\) или \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Решения уравнения \(\cos x = 0\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).
Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,
решения уравнения \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).
б) \[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant\dfrac{\pi}{2} + \pi k\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -4\leqslant k\leqslant -2,5,\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = -4\) и \(k = -3\): \(x = -\dfrac{7\pi}{2}\) и \(x = -\dfrac{5\pi}{2}\).
\[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{6}\leqslant n\leqslant -\dfrac{13}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих \(x\) подходящих нет.
\[-\dfrac{7\pi}{2}\leqslant -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leqslant -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{10}{6}\leqslant n\leqslant -\dfrac{11}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = -1\): \(x = -\dfrac{13\pi}{6}\).
Ответ:
а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).
б) \(-\dfrac{7\pi}{2}\), \(-\dfrac{5\pi}{2}\), \(-\dfrac{13\pi}{6}\).