Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты ЕГЭ-2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Вариант №5 от 06.04.2018

Задание 1

В летнем лагере на каждого участника полагается \(40\) г сахара в день. В лагере \(160\) человек. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на \(6\) дней?

На один день на 160 человек понадобится \(160\cdot 40=6400\) грамм сахара. Тогда на 6 дней понадобится \(6400\cdot 6=38400\) грамм сахара или \(38,4\) кг сахара. Следовательно, нужно приобрести 39 килограммовых пачек сахара.

 

Ответ: 39

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по приведенной диаграмме наименьшую среднемесячную температуру. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Из диаграммы видно, что наименьшая среднемесячная температура была в январе и составила \(-2^\circ C\).

Ответ: -2

Задание 3

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью \(2,8\). Найдите площадь закрашенного сектора.

 

Заметим, что незакрашенный сектор составляет \(\frac18\) от всего круга:
Следовательно, закрашенная фигура составляет \(\frac78\) от всего круга, значит, ее площадь равна \(\frac78\) площади круга: \[\dfrac78\cdot 2,8=2,45\]

Ответ: 2,45

Задание 4

На чемпионате по прыжкам в воду выступают \(25\) спортсменов, среди них \(4\) прыгуна из Италии и \(6\) прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвертым будет выступать прыгун из Италии.

Вероятность того, что прыгун из Италии будет выступать двадцать четвертым, такая же, как если он будет выступать первым, вторым и т.д. Из Италии 4 прыгуна, всего – 25 прыгунов, следовательно, вероятность равна \[\dfrac4{25}=0,16\]

 

Ответ: 0,16

Задание 5

Найдите корень уравнения \[\left(\dfrac16\right)^{x-2}=6^x\]

Так как \(\frac16=6^{-1}\), то \(\left(\frac16\right)^{x-2}=(6^{-1})^{x-2}=6^{-x+2}\).
Следовательно, уравнение примет вид: \[6^{-x+2}=6^x\quad\Leftrightarrow\quad -x+2=x\quad\Leftrightarrow\quad x=1\]

Ответ: 1

Задание 6

Две стороны треугольника равны \(21\) и \(28\). Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна \(15\). Найдите высоту треугольника, опущенную на меньшую из этих сторон.

 

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому проведена эта высота, то \(S_{\triangle}=0,5\cdot 15\cdot 28\). С другой стороны, если обозначить за \(h\) высоту, проведенную к меньшей стороне, то \(S_{\triangle }=0,5\cdot h\cdot 21\). Тогда \[0,5\cdot 15\cdot 28=0,5\cdot h\cdot 21\quad\Leftrightarrow\quad h=\dfrac{15\cdot 28}{21}=20\]

Ответ: 20

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-0,5; 4,3)\). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Для функции \(f(x)\), у которой производная в точке \(x_0\) существует, \(f'(x_0) > 0\) равносильно тому, что \(f(x)\) возрастает в \(x_0\).

 

На интервале \((-0,5; 4,3)\) целыми являются точки \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Среди этих точек \(f(x)\) возрастает только в \(1\), \(2\) и \(4\). Таким образом, производная функции \(y = f(x)\) положительна в \(3\) целых точках.

Ответ: 3

Задание 8

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки \(A, B, C, C_1\) правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\), площадь основания которой равна \(6\), а боковое ребро равно \(9\).

Многогранник, вершинами которого являются точки \(A, B, C, C_1\) – это прямоугольная пирамида, основание которой – \(\triangle ABC\), высота – \(CC_1=9\).


Объем пирамиды равен \(\frac13\) площади основания на высоту, следовательно, \[V_{ABCC_1}=\dfrac13\cdot 6\cdot 9=18\]

Ответ: 18

Задание 9

Найдите значение выражения \[\log_{16} 121-\log_4 2,75\]

Преобразуем выражение: \[\log_{16}121-\log_42,75=\dfrac12\cdot 2\cdot \log_411-\log_42,75= \log_4\dfrac{11}{2,75}=\log_44=1\]

 

Ответ: 1

Задание 10

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C=6\cdot 10^{-6}\,\text{Ф}\). Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением \(R=8\cdot 10^6\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0=34\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением \[t=\alpha RC\cdot \log_2\dfrac{U_0}{U} \ (c),\] где \(\alpha=0,8\) – постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее \(76,8\) секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

 

Из условия следует, что \(t\geqslant 76,8\). Подставим все значения из условия и получим следующее неравенство: \[0,8\cdot 8\cdot 10^6\cdot 6\cdot 10^{-6}\cdot \log_2\dfrac{34}{U}\geqslant 76,8 \quad\Leftrightarrow\quad \log_2\dfrac{34}{U}\geqslant 2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{34}{U}\geqslant 4\] Так как \(U>0\), то неравенство можно переписать в виде \[34\geqslant 4U\quad\Leftrightarrow\quad U\leqslant 8,5\] Следовательно, наибольшее возможное значение напряжения \(U=8,5\) (кВ).

Ответ: 8,5

Задание 11

Заказ на \(221\) деталь первый рабочий выполняет на \(4\) часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на \(4\) детали больше?

Пусть \(t\) – время, за которое первый рабочий выполняет заказ на 221 деталь. Тогда \(t+4\) – время, за которое второй рабочий выполняет тот же заказ.
Следовательно, \(\dfrac{221}t\) – количество деталей, которое делает первый рабочий в час, \(\dfrac{221}{t+4}\) – количество деталей, которое делает в час второй рабочий. Получаем уравнение \[\begin{aligned} &\dfrac{221}t=\dfrac{221}{t+4}+4 \ \Big| \cdot t(t+4) \quad\Leftrightarrow\quad 221(t+4)=221t+4t(t+4) \quad\Leftrightarrow \\[2ex] &\Leftrightarrow\quad t^2+4t-221=0 \end{aligned}\] Найдем корни полученного уравнения.
Дискриминант \(D=4^2+4\cdot 221=4\cdot 225=(2\cdot 15)^2\). Следовательно, \[t=\dfrac{-4\pm 30}2\] Так как \(t>0\), то \(t=13\).
Тогда второй рабочий в час делает \(\dfrac{221}{13+4}=13\)

Ответ: 13

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции \(y=12\ln(x+2)-12x+7\) на отрезке \([-1,5;0]\).

Заметим, что функция определена при \(x>-2\).
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, изобразим схематично график функции.

 

1) Найдем производную: \[y'=12\cdot \dfrac{(x+2)'}{x+2}-12=\dfrac{12}{x+2}-12\]

2) Найдем нули производной: \[\dfrac{12}{x+2}-12=0\quad\Rightarrow\quad x=-1\]

3) Определим знаки \(y'\) на получившихся промежутках и затем изобразим схематично график функции \(y\):


Таким образом, мы видим, что до \(-1\) функция возрастает, затем – убывает, следовательно, на отрезке \([-1,5;0]\) наибольшее значение функция принимает в точке \(x=-1\): \[y(-1)=12\cdot \ln (-1+2)-12\cdot (-1)+7=19\]

Ответ: 19

Задание 13

а) Решите уравнение \[15^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[5\pi; \dfrac{13\pi}2\right]\).

а) Преобразуем уравнение \[5^{\cos x}\cdot 3^{\cos x}-3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}=0\quad\Leftrightarrow\quad 3^{\cos x}\cdot \left(5^{\cos x}-5^{\sin x}\right)=0\] Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один равен нулю, а второй не теряет смысла.
Следовательно, либо \(3^{\cos x}=0\), либо \(5^{\cos x}-5^{\sin x}=0\). Первое уравнение не имеет решений, так как при любом \(x\) выражение \(3^{\cos x}>0\) (по свойству показательной функции). Следовательно: \[5^{\cos x}=5^{\sin x}\quad\Leftrightarrow\quad \cos x=\sin x \quad\Leftrightarrow\quad \mathrm{tg}\,x=1\] Решениями будут \(x=\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\).  

б) Отберем корни.   \(5\pi\leqslant \dfrac{\pi}4+\pi n\leqslant \dfrac{13\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{19}4\leqslant n\leqslant \dfrac{25}4\quad\rightarrow\quad n=5;6\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{21\pi}4; \dfrac{25\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{21\pi}4; \dfrac{25\pi}4\)

Задание 14

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) все ребра равны \(5\). На его ребре \(BB_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(KB=4\). Через точки \(K\) и \(C_1\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная прямой \(BD_1\).

 

а) Докажите, что \(A_1P:PB_1=3:1\), где \(P\) – точка пересечения плоскости \(\alpha\) с ребром \(A_1B_1\).

 

б) Найдите угол наклона плоскости \(\alpha\) к плоскости грани \(BB_1C_1C\).

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости \(BB_1D_1\), содержащей \(BD_1\), прямую \(KN\parallel BD_1\). Пусть \(N\) – точка пересечения с отрезком \(B_1D_1\).

 

Соединив точки \(C_1\) и \(N\), получим прямую, пересекающую \(A_1B_1\) в точке \(P\).

 

Т.к. \(KN\parallel BD_1\), то по теореме Фалеса

\[\dfrac{B_1N}{ND_1}=\dfrac{B_1K}{KB}=\dfrac14.\]

Теперь рассмотрим грань \(A_1B_1C_1D_1\). \(\triangle NB_1P\sim \triangle ND_1C_1\), следовательно,

\[\dfrac{PB_1}{C_1D_1}=\dfrac{B_1N}{ND_1}=\dfrac14 \quad \Rightarrow \quad PB_1=\dfrac14C_1D_1=\dfrac14A_1B_1.\]

Следовательно, \(A_1P=\frac34A_1B_1\) и \(A_1P:PB_1=3:1\).

 

б) Для того, чтобы найти угол между двумя плоскостями, необходимо построить линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Т.к. \(KC_1\) – линия пересечения этих плоскостей, то опустим перпендикуляр \(PH\) на \(KC_1\). По теореме о трех перпендикулярах (\(PB_1\perp (BB_1C_1)\), наклонная \(PH\perp KC_1\)) проекция \(B_1H\perp KC_1\). Следовательно, по определению \(\angle PHB_1\) – линейный угол двугранного угла, образованного данными плоскостями. Его и нужно найти.

 

Заметим, что \(\triangle PHB_1\) прямоугольный, \(PB_1\) известно, следовательно, найдя \(B_1H\), мы сможем найти тангенс нужного нам угла.

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(B_1KC_1\), в котором \(B_1H\) – высота. По теореме Пифагора \(KC_1=\sqrt{KB_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\). Следовательно,

\[S_{B_1KC_1}=\dfrac12KB_1\cdot B_1C_1=\dfrac12B_1H\cdot KC_1 \quad \Rightarrow \quad B_1H=\dfrac{5}{\sqrt{26}}\]

Тогда \[\mathrm{tg}\,\angle PHB_1=\dfrac{PB_1}{B_1H}= \dfrac{\frac54}{\frac{5}{\sqrt{26}}}=\dfrac{\sqrt{26}}4 \quad \Rightarrow \quad \angle PHB_1=\mathrm{arctg}\,\dfrac{\sqrt{26}}4.\]

Ответ:

б) \(\mathrm{arctg}\,\dfrac{\sqrt{26}}4\)

Задание 15

Решите неравенство \(\dfrac{\log_2(32x)}{\log_2x-5}+\dfrac{\log_2x-5}{\log_2(32x)} \geqslant \dfrac{\log_2x^{16}+18}{\log^2_2x-25}\)

 

1) ОДЗ логарифмов: \[\begin{cases} 32x>0\\ x>0\\ x^{16}>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x>0\\ x\ne 0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x>0\]

2) Решим неравенство на ОДЗ.
Так как на ОДЗ:
\(\log_2(32x)=\log_232+\log_2x=5+\log_2x\), \(\log_2 x^{16}=16\log_2x\),
то с помощью замены \(\log_2x=t\) неравенство можно переписать в виде \[\begin{aligned} & \dfrac{5+t}{t-5}+\dfrac{t-5}{5+t}\geqslant \dfrac{16t+18}{t^2-25} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t+5)^2+(t-5)^2-16t-18}{(t-5)(t+5)}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\dfrac{t^2-8t+16}{(t-5)(t+5)}\geqslant 0\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-4)^2}{(t-5)(t+5)}\geqslant 0\end{aligned}\] Решим полученное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \(t\in (-\infty;5)\cup\{4\}\cup(5+\infty)\).

 

3) Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_2x<-5\\ &\log_2x=4\\ &\log_2x>5\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x<\dfrac1{32}\\[2ex] &x=16\\ &x>32\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

4) Пересечем полученный ответ с ОДЗ. Тогда итоговый ответ: \[x\in \left(0;\dfrac1{32}\right)\cup\{16\}\cup(32;+\infty)\]

Ответ:

\(\left(0;\frac1{32}\right)\cup\{16\}\cup(32;+\infty)\)

Задание 16

Точка \(M\) лежит на стороне \(BC\) выпуклого четырехугольника \(ABCD\), причем \(B\) и \(C\) – вершины равнобедренных треугольников с основаниями \(AM\) и \(DM\) соответственно, а прямые \(AM\) и \(MD\) перпендикулярны.

 

а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах \(B\) и \(C\) четырехугольника \(ABCD\) пересекаются на стороне \(AD\).

 

б) Пусть \(N\) – точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырехугольника \(ABCD\), если известно, что \(BM:MC=1:3\), а площадь четырехугольника, стороны которого лежат на прямых \(AM, DM, BN\) и \(CN\), равна \(18\).

а) Пусть \(N\) – точка пересечения биссектрисы угла \(ABM\) со стороной \(AD\). Пусть \(S\) – точка пересечения \(AM\) и \(BN\). Так как \(AB=BM\), то \(BN\) содержит медиану и высоту треугольника \(ABM\), откуда следует, что \(AM\perp BN\) и \(S\) – середина \(AM\).

Таким образом, \(NS\) – медиана и высота в треугольнике \(ANM\), следовательно, треугольник \(ANM\) равнобедренный и \(AN=NM\).

 

Треугольник \(AMD\) – прямоугольный (по условию). Предположим, что некоторая точка \(N'\neq N\) – середина \(AD\), тогда \(MN'=AN'\) (\(MN'\) – медиана, проведённая к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, следовательно, равна половине гипотенузы), следовательно, мы имеем два равнобедренных треугольника \(AMN\) и \(AMN'\) с одинаковым углом \(\angle MAN=\angle MAN'\). Значит, эти треугольники равны и \(AN=AN'\), то есть \(N=N'\).

 

Следовательно, мы доказали, что \(N\) – середина \(AD\). Значит, \(MN=ND\).
Рассмотрим \(\triangle CMN\) и \(\triangle CDN\). Они равны по трем сторонам, откуда \(\angle MCN=\angle DCN\), следовательно, \(CN\) – биссектриса \(\angle DCB\).
Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов \(B\) и \(C\) четырехугольника \(ABCD\) пересекаются в середине стороны \(AD\).

 

б) Отметим все найденное на чертеже. Нужно найти \(S_{ABCD}\), если \(S_{SMTN}=18\):


Заметим, что \(AM\perp MD\) и \(NT\perp MD\), следовательно, \(AM\parallel NT\). Аналогично \(NS\parallel MD\). Отсюда следует, что:
1) \(SMTN\) – параллелограмм, а учитывая, что \(\angle SMT=90^\circ\), то это прямоугольник. Следовательно, \(SM\cdot MT=18\) (*).
2) \(\triangle BMS\sim \triangle CMT\).
Значит, можно обозначить \(BS=t\), \(MT=3t\), \(SM=k\), \(CT=3k\). Тогда из (*) \(k\cdot 3t=18\), откуда \(kt=6\).
Тогда \(S_{ABM}=0,5\cdot t\cdot 2k=6\), \(S_{MCD}=54\), \(S_{ASN}=S_{NTD}=0,5\cdot k\cdot 3t=9\).
Следовательно, \[S_{ABCD}=6+54+18+9+9=96\]

Ответ:

б) 96

Задание 17

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(5005000\) рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Из условия задачи следует, что кредит в обоих случаях будет выплачиваться аннуитетными платежами.
Пусть \(x\) – ежегодный платеж в случае, когда кредит взят на 3 года; \(y\) – ежегодный платеж в случае, когда кредит взят на 2 года. Тогда можно составить два уравнения: \[\begin{cases} 1,2^3\cdot 5005000=x(1,2^2+1,2+1)\\ 1,2^2\cdot 5005000=y(1,2+1) \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=\dfrac{1,2^3\cdot 5005000}{3,64}\\[2ex] y=\dfrac{1,2^2\cdot 5005000}{2,2}\end{cases}\] Если кредит взят на 3 года, то в сумме клиент отдаст банку за 3 года \(3x\) рублей; если кредит взят на 2 года — то \(2y\) рублей. Следовательно, нужно найти \[\begin{aligned} &3x-2y=3\cdot \dfrac{1,2^3\cdot 5005000}{3,64}-2\cdot \dfrac{1,2^2\cdot 5005000}{2,2}=\\[2ex] &=1,2^2\cdot 5005000\cdot \left(\dfrac{3\cdot 1,2}{3,64}-\dfrac{2}{2,2}\right)=1,2^2\cdot 5000\cdot 91\cdot 11\cdot \dfrac{80}{91\cdot 11}=\\[2ex] &=576000 \end{aligned}\]

Ответ: 576000

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[x^2+(2-a)^2=|x-2+a|+|x-a+2|\]имеет единственный корень.

Перенесем все слагаемые в одну сторону и рассмотрим функцию \(f(x)=x^2+(2-a)^2-|x-2+a|-|x-a+2|\).
Заметим, что \(f(-x)=f(x)\), так как \((-x)^2=x^2\), \(|-x-2+a|=|x+2-a|=|x-a+2|\), \(|-x-a+2|=|x-2+a|\).
Следовательно, если какой-то \(x_0\ne 0\) является корнем уравнения \(f(x)=0\), то и \(-x_0\) является корнем этого уравнения. Таким образом, чтобы уравнение \(f(x)=0\) имело одно решение, нужно, чтобы только \(x=0\) было решением этого уравнения.

 

1) Пусть \(x=0\) – решение уравнения. Тогда его можно подставить в уравнение и получить верное равенство, откуда мы и найдем \(a\):
\(0^2+(2-a)^2-|0-2+a|-|0-a+2|=0\quad\Leftrightarrow\quad 2|a-2|=(a-2)^2 \quad\Leftrightarrow\)   \(2|a-2|=|a-2|^2\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &|a-2|=0\\ &|a-2|=2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=2\\ &a=4\\ &a=0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\)  

2) Выполним проверку, так как мы использовали лишь то, что \(x=0\) является корнем уравнения, но не учитывали то, что он должен быть единственным корнем.

 

Если \(a=2\), то уравнение примет вид \(x^2=|x|+|x|\). Корнями этого уравнения будут \(x=0\) и \(x=\pm 2\). Следовательно, \(a=2\) нам не подходит.
Аналогично делая проверку для остальных \(a\), определяем, что подходят \(a=0;4\).

Ответ:

\(\{0;4\}\)

Задание 19

За Стеной, на крайнем севере Вестероса, Король Ночи поощряет белых ходоков осколками драконьего стекла общей массой \(600\,000\) грамм (размер поощрения каждого белого ходока – целое число, кратное 1000). У него имеется 100 осколков драконьего стекла массой \(1000\) грамм и 100 осколков массой \(5000\) грамм, причем все осколки неделимы.

 

а) Удастся ли Королю Ночи поощрить 40 белых ходоков, если все должны получить поровну?

 

б) Удастся ли Королю Ночи поощрить хранителя Сурового дома драконьим стеклом общей массой \(40\,000\) грамм, а остальное поделить поровну между \(70\) белыми ходоками?

 

в) Какое наибольшее количество белых ходоков удастся поощрить Королю Ночи при любом распределении драконьего стекла между ними?

а) Так как общая масса всех осколков равна \(600\,000\) грамм, то каждому ходоку нужно \(600\,000:40=15\,000\) грамм.
Пусть шести ходокам Король раздаст по 15 осколков, каждый массой \(1000\) грамм.
Тогда у него останется еще 10 осколков по \(1000\) грамм и 100 осколков по \(5000\) грамм.
Седьмому ходоку Король даст 10 осколков по \(1000\) грамм и 1 осколок по \(5000\) грамм. А оставшиеся 99 осколков по \(5000\) грамм разделит поровну (по 3 осколка каждому) между 33 ходоками. Итого Король поощрил 40 ходоков.
Ответ: да.

 

б) Если хранителю Сурового дома Король даст \(40\,000\) грамм стекла, то 70 ходокам он должен в сумме отдать \(600\,000-40\,000=560\,000\) грамм.
Каждому ходоку нужно дать по \(8\,000\) грамм. Так как у Короля имеются осколки массой \(1000\) и \(5000\) грамм, то на каждого ходока нужно использовать как минимум 3 осколка массой \(1000\) грамм каждый. Следовательно, так как ходоков 70, то всего Королю нужно как минимум \(70\cdot 3=210\) таких осколков. А у него таких осколков 100.
Следовательно, ответ: нет.

 

в) Давайте сначала разберемся, что значит фраза “при любом распределении драконьего стекла между ними”. Это значит, что при любом размере поощрения каждого ходока, например, первому ходоку \(7\,000\) грамм драконьего стекла, второму – \(13\,000\), третьему – \(2\,000\) и т.д. (главное, чтобы в сумме все поощрения были равны \(600\,000\) грамм), Король смог имеющимися осколками каждому выдать нужное количество драконьего стекла. Также “при любом распределении драконьего стекла между ними” – это значит, что мы не знаем, при каком именно. А значит не имеем права брать какое-то конкретное распределение и решать задачу, используя только его.
Давайте вспомним, почему нам не получилось выдать поощрения ходокам в пункте б). Нам не хватило осколков по \(1000\) грамм, так как на каждого ходока уходило минимум три таких осколка.
А как можно сделать так, чтобы минимально тратить на поощрения ходока еще больше \(1000\)-граммовых осколков? Например, можно назначить ходоку поощрения в \(4000\) грамм, тогда никаким иным способом, кроме как выдать ему четыре осколка по \(1000\) грамм, поощрить его не получится. И чем больше таких ходоков будет, тем быстрее кончатся слитки по \(1000\) грамм. То есть самый худший случай, когда каждому ходоку нужно выдать четыре осколка по \(1000\) грамм.
Начнем искать ответ, начиная с 25 ходоков, так как всего 100 осколков по \(1000\) грамм и худший вариант – когда каждый получит по четыре осколка.
Пусть у нас есть некоторое распределение поощрений для этих 25 ходоков. Начнем выдавать поощрения всем по очереди, начиная с первого ходока. Очевидно, что осколков по \(1000\) грамм нам хватит до самого конца, и \(5000\)-граммовых нам тоже хватит до самого конца, так как если бы их не хватило, то это значило бы, что сумма всех поощрений больше \(600\,000\) грамм.
Теперь посмотрим, удастся ли нам сделать то же самое для 26 ходоков. Сначала раздадим всем ходокам \(5000\)-граммовые осколки так, чтобы каждому осталось доплатить сумму, меньшую, чем \(5000\) грамм. Заметим, что мы тогда раздали \(500\,000\) грамм драконьего стекла и нам осталось раздать еще \(100\,000\). Дальше первым 25-ти ходокам раздадим необходимое количество осколков по \(1000\) грамм. Это мы сделать точно сможем по доказанному ранее. Пусть мы раздали \(x\) \(1000\)-граммовых осколков первым 25-ти ходокам. Тогда всего у нас осталось \(1000\)-граммовых осколков \(100-x\). Следовательно, всего нам осталось раздать \(100\,000-1000x=1000(100-x)\) грамм драконьего стекла. То есть в любом случае количество драконьего стекла, которое у нас осталось, совпадает с количеством драконьего стекла, которое нужно доплатить 26 ходоку, а значит мы всегда сможем это сделать.

 

Покажем, что для 27 ходоков существует распределение поощрений, которые мы выдать не сможем.
26 ходокам по \(4000\) грамм, а 27-ому – \(496\,000\) грамм. Выдать поощрения мы не сможем, так как нам понадобится как минимум 105 \(1000\)-граммовых осколков драконьего стекла.

Ответ:

а) да

б) нет

в) 26