Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства параллелограмма:

 

\(\blacktriangleright\) Противоположные стороны попарно равны;

 

\(\blacktriangleright\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\blacktriangleright\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\).


 

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

 

\(\blacktriangleright\) если противоположные стороны попарно равны;

 

\(\blacktriangleright\) если две стороны равны и параллельны;

 

\(\blacktriangleright\) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

 

\(\blacktriangleright\) если противоположные углы попарно равны.

 

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.


 

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен \(100\), его большая сторона равна \(32\). Найдите меньшую сторону параллелограмма.



Добавить задание в избранное

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна \(100 : 2 = 50\), значит, меньшая сторона параллелограмма равна \(50 - 32 = 18\).

Ответ: 18

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен \(15\). При этом одна сторона этого параллелограмма на \(5\) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.



Добавить задание в избранное

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть \(BC = AB + 5\), тогда периметр параллелограмма \(ABCD\) равен \(AB + BC + CD + AD = AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4\cdot AB + 10 = 15\), откуда находим \(AB = 1,25\). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна \(1,25\).

Ответ: 1,25

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме \(ABCD\): \(BE\) – высота, \(BE = ED = 5\). Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 35. Найдите длину \(AE\).



Добавить задание в избранное

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда \(35 = BE \cdot AD = 5\cdot(5 + AE)\), откуда находим \(AE = 2\).

Ответ: 2

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки \(C\) параллелограмма \(ABCD\) опустили перпендикуляр на продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\). Этот перпендикуляр пересёк прямую \(AD\) в точке \(E\), причём \(CE = DE\). Найдите \(\angle B\) параллелограмма \(ABCD\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle EDC = \angle DCE\). Так как \(\angle DEC = 90^{\circ}\), а сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle EDC = 45^{\circ}\), тогда \(\angle ADC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle B = \angle ADC = 135^{\circ}\).

Ответ: 135

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагональ \(BD\) параллелограмма \(ABCD\) перпендикулярна стороне \(DC\) и равна \(4\). Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\), если \(AD=5\).

Добавить задание в избранное


 

По теореме Пифагора находим: \(AB^2=AD^2 - BD^2 = 25 - 16 = 9\) \(\Rightarrow\) \(AB = 3\). \(S_{ABCD} = 4\cdot3 = 12\).

Ответ: 12

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ


 

В параллелограмме \(ABCD\): \(P_{\triangle AOB} = 8\), \(P_{\triangle AOD} = 9\), а сумма смежных сторон равна \(7\). Найдите произведение этих сторон параллелограмма \(ABCD\).

Добавить задание в избранное

\(P_{\triangle AOB} = AO + OB + AB\), \(P_{\triangle AOD} = AO + OD + AD\), \(BO = OD\) \(\Rightarrow\) \(P_{\triangle AOD} - P_{\triangle AOB} = AD - AB = 1\), но \(AD + AB = 7\) \(\Rightarrow\) \(AD = 4\), \(AB = 3\) \(\Rightarrow\) \(AD\cdot AB = 12\).

Ответ: 12

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр треугольника равен 6. Найдите периметр треугольника, стороны которого параллельны сторонам данного и проходят через его вершины.

Добавить задание в избранное



Пусть длины сторон треугольника \(ABC\): \(AB, BC, CA\) равны \(a, b, c\) соответственно, тогда периметр треугольника \(ABC: P_{ABC} = a + b + c\). Найдем сторону \(EF\): из условия известно, что \(EF\parallel AB, DE\parallel AC, DF\parallel BC\), тогда можно заметить, что четырёхугольники \(ABCF\) и \(ABEC\) – параллелограммы, т. к. стороны этих четырёхугольников попарно параллельны. По свойству параллелограмма противоположные стороны попарно равны, а значит, что \(AB=FC=CE\Rightarrow EF = 2\cdot a\), аналогично доказывается, что: \[DE = 2\cdot c, DF = 2\cdot b\Rightarrow P_{DEF} = 2\cdot (a+b+c) = 2\cdot P_{ABC} = 12.\]

Ответ: 12

Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон или углов параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.