Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи из ЕГЭ прошлых лет. Задачи на теорию чисел

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа \(194\) получается число \(1109134\)).

а) Приведите пример числа, из которого получается число \(411781109\).

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число \(210811495\)?

в) Какое наибольшее число, кратное \(9\), может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(4+7=11\), то первая цифра искомого числа \(4\), вторая \(7\): \(47...\)
Так как \(7+1=8\), то третья цифра – это \(1\): \(471...\)
Аналогично четвертая, последняя, цифра числа – это \(9\).
Таким образом, число \(4719\).

 

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры – это \(2\) и \(8\), то есть число \(28...\)
Третья цифра не может быть \(1\), так как \(8+1\ne 1\), также третья цифра не может быть \(4\), так как \(8+4\ne 11\). Также она не может быть равна \(9\) или \(5\), так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех- или четырехзначному числу.
Следовательно, ответ: нет.

 

в) Пусть дано трехзначное число \(\overline{abc}\). Тогда из него получится число \(N=\overline{a\,(a+b)\,b\,(b+c)\,c}\).
Заметим, что при \(a+b\geqslant 10\) и \(b+c\geqslant 10\) данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.
Пусть \(a+b=10+x, b+c=10+y\), где \(0\leqslant x,y\leqslant 6\) (так как \(a, b, c\ne 9\)).
Тогда число имеет вид: \(N=\overline{a1xb1yc}\).
По признаку делимости число делится на \(9\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна \(9\). То есть: \[a+1+x+b+1+y+c \ \vdots \ 9\] Так как \(x=a+b-10\), \(y=b+c-10\), то получаем: \[a+1+a+b-10+b+1+b+c-10+c \ \vdots \ 9\quad\Rightarrow\quad 2a+3b+2c-2\cdot 9 \ \vdots \ 9 \quad\Rightarrow\quad 2a+3b+2c \ \vdots \ 9\] Для того, чтобы число \(N\) было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если возьмем наибольшее возможное \(a=8\), тогда можно взять наибольшее возможное \(b=8\). Следовательно, для того, чтобы \(2a+3b+2c \ \vdots \ 9\), нужно взять \(c=7\).
Таким образом, наибольшее число получится из числа \(887\) и равно \(N=8168157\).

Ответ:

а) 4719

б) нет

в) 8168157

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа \(194\) получается число \(1109134\)).

а) Приведите пример числа, из которого получается число \(176148179\).

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число \(3107611090\)?

в) Какое наибольшее число, кратное \(11\), может получиться из трехзначного числа?

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

а) Так как \(1+6=7\), то первая цифра искомого числа \(1\), вторая \(6\): \(16...\)
Так как \(6+8=14\), то третья цифра – это \(8\): \(168...\)
Аналогично четвертая, последняя, цифра числа – это \(9\).
Таким образом, число \(1689\).

 

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры – это \(3\) и \(7\), то есть число \(37...\)
Третья цифра не может быть \(1\), так как \(7+1\ne 6\) и \(7+1\ne 61\). Также она не может быть равна \(0\), \(9\) или \(0\), так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех-, четырех- или пятизначному числу.
Следовательно, ответ: нет.

 

в) Пусть дано трехзначное число \(\overline{abc}\). Тогда из него получится число \(N=\overline{a\,(a+b)\,b\,(b+c)\,c}\).
Заметим, что при \(a+b\geqslant 10\) и \(b+c\geqslant 10\) данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.
Пусть \(a+b=10+x, b+c=10+y\), где \(0\leqslant x,y\leqslant 8\).
Тогда число имеет вид: \(N=\overline{a1xb1yc}\).
По признаку делимости число делится на \(11\) тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, минус сумма цифр, стоящих на четных местах, кратна \(11\). То есть: \[(a+x+1+c)-(1+b+y):11\] Так как \(x=a+b-10\), \(y=b+c-10\), то получаем: \[(a+a+b-10+1+c)-(1+b+b+c-10):11\quad\Rightarrow\quad 2a-b:11\] Для того, чтобы число \(N\) было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если \(a=9\), то \(b=7\) (чтобы \(2a-b:11\)). Заметим, что \(c\) может быть любым. Следовательно, возьмем максимальное \(c=9\).
Таким образом, наибольшее число получится из числа \(979\) и равно \(N=9167169\).

Ответ:

а) 1689

б) нет

в) 9167169

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано \(30\) натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то — зеленые. Все красные числа кратны \(8\), а зеленые – кратны \(3\). Все красные числа отличаются друг от друга, все зеленые числа также отличаются друг от друга. Но между красными и зелеными числами могут быть одинаковые.

 

а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше \(1395=3+6+\dots+90\), если на доске написаны только кратные \(3\) числа?

б) Может ли на доске быть написано только одно красное число, если сумма всех записанных на доске чисел равна \(1066\)?

в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть написано на доске, если сумма всех чисел равна \(1066\)?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Заметим, что среди красных чисел также могут встречаться числа, кратные \(3\). Например, число \(24\) может встретиться в списке два раза: один раз как красное, второй – как зеленое.

Так как \(1395=3+6+\dots+90\), и чисел \(3, 6, \dots, 90\) – ровно тридцать штук, и они все кратны \(3\), то уберем из них, например, число \(90\), а вместо него возьмем число \(24\) (которое будет красным). Тогда мы получим 29 зеленых чисел: \(3, 6, \dots, 87\) и одно красное \(24\) (кратное \(3\)), причем очевидно, что сумма всех чисел будет строго меньше \(1395\).
Ответ: да.

б) Упорядочим зеленые числа по возрастанию. Тогда наименьшее возможное значение первого числа – это \(3\), второго – это \(6\) и т.д. Наименьшее значение последнего, тридцатого числа, это \(87\). Сумма всех этих чисел равна \(1305\) – и это наименьшее возможное значение суммы 29-ти зеленых чисел. Следовательно, если сумма всех чисел равна \(1066\), то красное число должно быть отрицательным, что невозможно. Ответ: нет.

 

в) Докажем, что наименьшее возможное количество красных чисел – это 7.
Рассмотрим минимальное значение для суммы всех чисел для всех случаев, когда красных чисел от 2 до 6 (то, что на доске не может быть написано одно красное число, мы рассмотрели в пункте б)). Оформим это в таблице: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{зеленые} & \text{красные} & \text{минимальная сумма}\\ \hline 28 \ \text{чисел} & 2 \ \text{числа} & 1242\\ 3, 6, \dots, 84 & 8, 16 & \\ \hline 27 \ \text{чисел} & 3 \ \text{числа} & 1182\\ 3, 6, \dots, 81 & 8, 16, 24 &\\ \hline 26 \ \text{чисел} & 4 \ \text{числа} & 1133\\ 3, 6, \dots, 78 & 8, 16, 24, 32 &\\ \hline 25 \ \text{чисел} & 5 \ \text{чисел} & 1095\\ 3, 6, \dots, 75 & 8, 16, 24, 32, 40 &\\ \hline 24 \ \text{числа} & 6 \ \text{чисел} & 1068\\ 3, 6, \dots, 72 & 8, 16, 24, 32, 40, 48 &\\ \hline \end{array}\] То есть мы брали самые маленькие зеленые числа и самые маленькие красные числа и общая сумма чисел получалась больше \(1066\). Следовательно, для любых наборов красных и зеленых чисел, где красных чисел от 2 до 6, общая сумма чисел будет больше, чем \(1066\).

 

Итак, мы имеем пример для 6 красных чисел, когда сумма всех чисел (зеленых и красных) равна \(1068\). Нужно добавить одно красное число и убрать одно зеленое так, чтобы общая сумма чисел стала равна \(1066\). Для этого нужно убрать одно зеленое число, которое больше добавленного красного числа на \(2\). Теперь смотрим: если мы добавим красное \(56\), то нам нужно убрать зеленое \(58\). Но такого числа среди зеленых нет.
Перебираем дальше: если добавить красное \(64\), то убрать нужно зеленое \(66\), которое как раз у нас имеется! Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 7 красных чисел: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{зеленые} & \text{красные} & \text{сумма}\\ \hline 23 \ \text{числа} & 7 \ \text{чисел} & 1066\\ 3, 6, \dots ,63, 69, 72 & 8, 16, 24, 32, 40, 48, 64 & \\ \hline \end{array}\]

Ответ:

а) да

б) нет

в) 7

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Учитель задумал несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Эти числа и все их возможные произведения (по два числа, по три числа и т.д.) он выписал на доску. Если какое-то число, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно такое число, а другие числа, равные ему, стирают.
Например, если задуманы числа \(1, 5, 6, 5\), то на доске будет набор \(1,5, 6, 30, 25, 150.\)

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
\(2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.\)

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор
\(3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945\)?

в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно \(82\).

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Очевидно, что в нашем задуманном наборе чисел должны быть числа \(2, 3, 5\). Для того, чтобы на доске появилось число \(9\), в нашем наборе либо должна быть \(9\), либо еще одна \(3\).
Рассмотрим набор \(2, 3, 5, 9\). Так как на доске должны быть записаны все попарные произведения, то на доске должно быть число \(3\cdot 9=27\). Его там нет. Следовательно, этот набор невозможен.
Рассмотрим набор \(2, 3, 3, 5\). Проверкой убеждаемся, что он нам подходит.
Ответ: \(2, 3, 3, 5\).

 

б) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа \(3, 5, 7\). Для того, чтобы на доске была написана \(9\), нужно, чтобы в нашем наборе была либо \(9\), либо еще одна \(3\).
Рассмотрим последнее написанное на доске число: \(945=7\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 5\). Заметим, что последнее записанное на доске число – это всегда произведение всех задуманных чисел.
Следовательно, либо этот набор точно содержит числа \(3, 5, 7, 9\), либо содержит \(3, 3, 3, 5, 7\).
Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа \(3, 3, 3, 5, 7\). Тогда на доске должно быть записано число \(3\cdot 3\cdot 3=27\), которого там нет. Следовательно, набор с такими числами точно не может быть задуман.
Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа \(3, 5, 7, 9\). Проверим, подходит ли он. Тогда на доске, например, должно быть число \(7\cdot 9=63\). А его там нет. Следовательно, набор не подходит.
Ответ: нет.

 

в) Как уже говорилось в п. б), наибольшее число на доске – это произведение всех задуманных чисел. Следовательно, \(82=2\cdot 41\) (разложили на простые множители) – произведение всех чисел.
Таким образом, либо у нас набор \(82, 1, 1, 1, 1, 1\), либо \(2, 41, 1, 1, 1, 1\).
Если бы в наборе было какое-то число, отличное от \(1, 2, 41\) и \(82\), то оно было бы делителем \(82\). А мы уже выяснили, что у \(82\) делители только \(1, 2, 41, 82\).

Ответ:

а) 2, 3, 3, 5

б) нет

в) 1, 1, 1, 1, 1, 82 или 1, 1, 1, 1, 2, 41

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано \(100\) различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна \(5120\).
а) Может ли на доске быть написано число \(230\)?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число \(14\)?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных \(14\), написано на доске?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Упорядочим числа по возрастанию \(a_1, a_2, \dots, a_{100}\). Пусть одно из этих чисел равно \(230\). Пусть все оставшиеся 99 чисел – это \(1, 2, 3, \dots, 99\). Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть \(230\). Вычислим ее: \[\dfrac{1+99}2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

 

б) Предположим, что на доске нет числа \(14\). Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\). Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac{1+101}2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

 

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные \(14\) (это числа \(14, 28, 42, 56\)): \[1, 2, \dots, 69, \quad 71, 72, \dots, 83, \quad 85, 86, \dots, 97, \quad 100, 101, 102, 103, 115.\] Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных \(14\).
Возьмем набор чисел от \(1\) до \(100\). Сумма чисел в данном наборе равна \(5050\). Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные \(14\), странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это \(98\). Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это \(101\). После этого мы получим минимальную сумму, равную \(5053\). Она меньше, чем \(5120\), поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа \(98, 84, 70\). Вместо них добавим \(101, 102, 103\). Получим при этом минимальную сумму, равную \(5104\). Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав \(56\) и добавив \(104\), получим минимальную сумму \(5152\), что больше, чем \(5120\). В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 4

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На доске написано \(30\) различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается на \(4\) или \(8\). Известно, что сумма чисел, написанных на доске, равняется \(2786\).

 

а) Может ли на доске быть написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\), и чисел, оканчивающихся на \(8\)?

б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на \(8\)?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на \(8\), может быть на доске?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Если на доске написано поровну чисел, оканчивающихся на \(4\), и чисел, оканчивающихся на \(8\), то чисел каждого вида по 15 штук. Следовательно, если сложить все эти числа, то последняя цифра их суммы будет равна последней цифре числа \(15\cdot 4+15\cdot 8=180\), то есть последняя цифра должна быть равна \(0\), что противоречит условию.
Следовательно, ответ: нет.

 

б) Рассмотрим все подряд идущие 30 натуральных чисел, оканчивающихся на \(4\), начиная с самого маленького: \(4, \ 14, \ 24, \ 34, \ \dots, 284, \ 294\). Эти числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(10\). Следовательно, их сумма равна \[\dfrac{4+294}2\cdot 30=4470\] Заметим, что это намного больше, чем \(2786\). И заметим, что это наименьшая возможная сумма 30-ти различных чисел, оканчивающихся на \(4\). Как нам максимально уменьшить эту сумму, добавив 4 числа, оканчивающихся на \(8\) (а значит и убрав 4 числа, оканчивающихся на \(4\), ведь количество чисел должно быть всегда равно \(30\))? Нужно убрать самые большие числа, оканчивающиеся на \(4\), и добавить самые маленькие, оканчивающиеся на \(8\). То есть нужно убрать \(294, \ 284, \ 274, \ 264\) и добавить \(8, \ 18, \ 28, \ 38\). Но в этом случае сумма всех чисел будет равна \[\begin{aligned} &4470-294-284-274-264+8+18+28+38=\\ &4470-(294-8)-(284-18)-(274-28)-(264-38)=\\ & 4470-286-266-246-226=\\ &3446>2786\end{aligned}\] Следовательно, ответ: нет.

 

в) Назовем числа, оканчивающиеся на \(4\), “числа Ч”, а оканчивающиеся на \(8\) – “числа В”.
Из пункта б) следует, что для того, чтобы понять, какое наименьшее количество чисел В может быть на доске, нужно убирать самые большие числа Ч и добавлять самые маленькие числа В, чтобы для начала их сумма максимально приблизилась к числу \(2786\).
Уберем еще \(254\) и добавим \(48\). Тогда, аналогично алгоритму в пункте б), нужно уменьшить сумму на \(206\): \(3446-206=3240\). Уберем еще два числа Ч \(244\) и \(234\) и добавим \(58\) и \(68\), тогда сумма равна \(3240-186-166=2888\). Итак, это наименьшая возможная сумма, если среди написанных чисел будет 7 чисел В.
Заметим, что каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\). Если изначально (когда было 30 чисел Ч) последняя цифра их суммы была равна \(0\), то после 8-ми замен (убираем число Ч и добавляем число В) последняя цифра суммы будет как у числа \(\overline{\dots0}-8\cdot 6=\overline{\dots2}\). По условию сумма должна быть равна \(2786\), следовательно, 8 чисел В на доске быть не может.
А вот для 9-ти чисел В на доске последняя цифра суммы всех чисел будет равна \(6\)!

Докажем, что 9 – наименьшее количество чисел В, которое может быть написано на доске.
Сейчас мы имеем 7 чисел В: \(8, \ 18, \ 28, \ 38, \ 48, \ 58, \ 68\)
и 23 числа Ч: \(4, \ 14, \ 24, \ \dots, 214, \ 224\).
Их сумма равна \(2888\).
Нам нужно получить сумму \(2786\), то есть уменьшить имеющуюся у нас сумму на \(102\). Как говорилось ранее, “каждый раз, убирая любое число Ч и добавляя любое число В, мы уменьшаем сумму всех чисел на число \(\overline{\dots6}\)”. Представим \(102=46+56\).
Уберем первый раз число Ч и добавим число В так, чтобы сумма всех чисел уменьшилась на \(46\), а потом второй раз так, чтобы сумма уменьшилась на \(56\).
Пример: убираем \(124\) и добавляем \(78\); убираем \(144\) и добавляем \(88\).
Таким образом, мы построили пример, когда на доске написано 9 чисел В и доказали, что меньше 9-ти не может быть, чтд.

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 9

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Каждый из \(28\) студентов написал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от \(0\) до \(20\) включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил \(15\). Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно \(S\).

 

а) Приведите пример, когда \(S<15\).

б) Могло ли значение \(S\) быть равным \(5\)?

в) Какое наименьшее значение могло принимать \(S\), если обе контрольные писали только \(10\) студентов?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

а) Пусть 5 человек писали только первую контрольную и получили за нее по 0 баллов, еще 5 человек писали только вторую контрольную и получили за нее по 0 баллов.
Пусть оставшиеся 18 человек писали обе контрольные, причем каждый получил за обе одинаковое количество баллов: \[\begin{array}{l|c|c} \text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\ \hline 1&0 & -\\ \hline 2&0 & -\\ \hline 3&0 & -\\ \hline 4&0 & -\\ \hline 5&0 & -\\ \hline 6&- & 0\\ \hline 7&- & 0\\ \hline 8&- & 0\\ \hline 9&- & 0\\ \hline 10&- & 0\\ \hline 11 & a_1 & a_1\\ \hline ... & ... & ...\\ \hline 28 & a_{18} & a_{18}\\ \hline\\ \end{array}\] где “\(-\)” значит, что человек не писал контрольную.
Для того, чтобы среднее арифметическое оценок за I контрольную (или за II контрольную) было равно \(15\), нужно, чтобы \[\dfrac{a_1+\dots+a_{18}+5\cdot 0}{23}=15\quad\Rightarrow\quad a_1+\dots+a_{18}=15\cdot 23\] То есть найти такие 18 чисел, сумма которых равна \(15\cdot 23\). Возьмем 15 чисел, равных \(20\), и 3 числа, равных \(15\): \(15\cdot 20+3\cdot 15=15\cdot 23\). То есть будет такая таблица: \[\begin{array}{l|c|c} \text{Номер человека} & \text{Балл за I контр.} & \text{Балл за II контр.}\\ \hline 1&0 & -\\ \hline 2&0 & -\\ \hline 3&0 & -\\ \hline 4&0 & -\\ \hline 5&0 & -\\ \hline 6&- & 0\\ \hline 7&- & 0\\ \hline 8&- & 0\\ \hline 9&- & 0\\ \hline 10&- & 0\\ \hline 11 & 20 & 20\\ \hline ... & ... & ...\\ \hline 25 & 20 & 20\\ \hline 26 & 15 & 15\\ \hline 27 & 15 & 15\\ \hline 28 & 15 & 15\\ \hline\\ \end{array}\] Видим, что среднее арифметическое лучших оценок всех учеников равно: \[\dfrac{15\cdot 20+3\cdot 15+10\cdot 0}{28}<15\] (мы получили дробь, у которой числитель такой же, как в среднем арифметическом для каждой контрольной, а вот знаменатель уже не 23, а 28!)

 

б) Пусть \(M\) – сумма максимальных баллов всех студентов. Предположим, что \(S=5\), то есть \[\dfrac M{28}=5\quad\Rightarrow\quad M=140\] Заметим, что либо первую, либо вторую контрольную писало не менее 14 человек (так как если каждую контрольную писало менее 14 человек, то всего студентов менее 28). Можно считать, что не менее 14 человек писало первую контрольную. Пусть \(\Sigma\) – сумма баллов по первой контрольной, \(x\geqslant 14\) – количество человек, писавших эту контрольную. Тогда \[\dfrac{\Sigma}x=15\quad\Rightarrow\quad \Sigma=15x\geqslant 15\cdot 14>140=M\] Докажем, что \(M\geqslant \Sigma\).
Действительно, возьмем произвольного студента. Если он писал только первую контрольную, то его балл будет участвовать и в \(M\), и в \(\Sigma\). Если он писал только вторую контрольную, то его балл будет участвовать в \(M\), но не будет участвовать в \(\Sigma\). Если он писал обе контрольные, то в \(\Sigma\) будет участвовать его балл за первую контрольную, а в \(M\) – его наибольший балл (то есть либо этот же балл, либо выше). Таким образом, во-первых, слагаемых в \(M\) будет больше, чем в \(\Sigma\), часть из них будет совпадать со слагаемыми из \(\Sigma\), а часть будет больше или равна. Чтд.
Ответ: нет.

 

в) Пусть \(a\) – сумма баллов тех, кто писал только первую контрольную, \(b\) – кто писал только вторую контрольную, \(M\) – сумма максимальных баллов среди 10-ти, писавших обе, \(m\) – сумма минимальных баллов среди этих 10-ти.
Тогда \[\dfrac{a+b+M}{28}=S\] Заметим, что среднее арифметическое всех оценок по всем контрольным также равно \(15\) (только вот количество ВСЕХ оценок уже равно \(28+10\)). Следовательно, \[\dfrac{a+b+M+m}{28+10}=15\quad\Rightarrow\quad a+b+M=15\cdot 38-m\] Тогда \[S=\dfrac{15\cdot 38-m}{28}\] Заметим, что так как максимальная оценка за контрольную – 20 баллов, то \(M\leqslant 20\cdot 10\). Следовательно, \(m\leqslant M\leqslant 20\cdot 10\). Тогда: \[S\geqslant \dfrac{15\cdot 38-20\cdot 10}{28}=\dfrac{185}{14}\] Приведем пример для \(S=\frac{185}{14}\). Из получения оценки следует, что \(m=M=10\cdot 20\), то есть 10 студентов, писавших обе контрольные, получили по 20 баллов за каждую. Тогда \(a+b=28S-M=170\). Если взять \(a=b=85\), то количество \(x\) студентов, писавших только первую контрольную, ищется: \[\dfrac{200+85}{10+x}=15\quad\Rightarrow\quad x=9\] Тогда только вторую контрольную тоже должно писать 9 человек.
То есть мы пришли к тому, что нужно показать, что есть такие 9 натуральных чисел от \(0\) до \(20\), которые в сумме дают \(85\). Есть: \(5+10+10+10+10+10+10+10+10=85\).

Ответ:

а) пример

б) нет

в) \(\frac{185}{14}\)