Решение задач на теорию чисел из ЕГЭ прошлых лет (страница 4)

а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых 60:
\(12, 12, 12, 12, 12\). Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1: \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Решение пункта а) подходит в данном случае.

в) Заметим, что если \[a_i > \dfrac{a_{i-1} + a_{i + 1}}{2},\] то и \[(a_i + 1) > \dfrac{(a_{i-1} + 1) + (a_{i+1} + 1)}{2},\] и \[(a_i - 1) > \dfrac{(a_{i-1} - 1) + (a_{i+1} - 1)}{2}.\]

Изменим условие задачи, разрешив \(a_i\) быть равными \(0\).

Решение исходной задачи получается из решения изменённой: в самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности \(b_1, ..., b_8\), то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\) (если бы это было не так и была бы последовательность \(c_1, ..., c_8\), подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у \(b_1 + 1, ..., b_8 + 1\), то последовательность \(c_1 - 1, ..., c_8 - 1\) подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была бы меньше, чем у \(b_1, ..., b_8\)).

Ясно, что для того, чтобы каждое из \(a_2, ..., a_7\) было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед. Отсюда следует, что среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0.

Пусть на последовательности \(a_1, ..., a_8\) достигается минимум суммы.

Покажем, что \(a_1 = 0 = a_8\). Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой – противоречие.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 0, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 1 (иначе у 1 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 1\), то \(a_3\) должно быть меньше 2, но среди \(a_3, ..., a_6\) нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 1.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 1, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 2 (иначе у 2 не будет меньшего соседа). При этом если \(a_2 = 2\), то \(a_3\) должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2, тогда \(a_3 = 3\), но тогда \(a_4\) не может быть 4 или больше, следовательно \(a_4 = 3\), но тогда \(a_5 < 3\), чего быть не может. Для \(a_7\) аналогично. Итого: среди \(a_2, ..., a_7\) нет и равных 2.

Так как среди \(a_2, ..., a_7\) нет равных 2, то среди \(a_3, ..., a_6\) нет равных 3 (иначе у 3 не будет меньшего соседа).

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у \(a_3\) и \(a_6\). Пусть \(a_3 = 4\), тогда \(a_4 < 5\), то есть \(a_4 = 4\), но тогда \(a_5 < 4\), чего быть не может. Для \(a_6\) аналогично.

Среди \(a_3, ..., a_6\) не может быть больше двух пятёрок (иначе среди \(a_4\) и \(a_5\) была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может).

Итак, искомая последовательность \[0, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 0,\] сумма её членов равна 28. Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие: \[1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1,\] её сумма равна 36.

Ответ:

а) \(10, 13, 14, 13, 10\).

б) Да.

в) \(36\).

Пусть \(i-\)ое выписанное число имеет вид \(10\cdot a_i + b_i\), где \(a_i, b_i \in \{1, 2, ..., 9\}\). Для суммы \(b_i\) по всем значениям индекса \(i\), таким, что слагаемое \(b_i\) есть этой в сумме, используем обозначение \(\underset{i}{\Sigma} b_i\). Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10a_i + b_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} a_i + \underset{i}{\Sigma} b_i.\] Обозначим \(A = \underset{i}{\Sigma} a_i\), \(B = \underset{i}{\Sigma} b_i\), тогда \(363 = 10\cdot A + B\).

После смены мест цифр \(i-\)ое полученное число имеет вид \(10\cdot b_i + a_i\). Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид \[\underset{i}{\Sigma} (10b_i + a_i) = 10\cdot\underset{i}{\Sigma} b_i + \underset{i}{\Sigma} a_i = 10\cdot B + A.\]

а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(363\cdot 4 = 1452\), что равносильно \(10\cdot B + A = 1452\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = 1452 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 1089\), откуда \(B = 121 + A\). Подставляя это в первое уравнение системы, находим \(A = 22\), тогда \(B = 143\).

Попробуем брать в качестве \(b_i\) 9, пока их сумма не превосходит 143 – так можно положить \[b_1 = ... = b_{15} = 9,\quad b_{16} = 143 - 15\cdot 9 = 8,\] то есть в сумме 16 слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{15} = 1,\quad a_{16} = 22 - 15\cdot 1 = 7.\]

б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна \(363\cdot 2 = 726\), что равносильно \(10\cdot B + A = 726\). Рассмотрим систему

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = 726 \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \(9\cdot B - 9\cdot A = 363\), но 363 не делится на 9, следовательно, такой случай невозможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна \(S\), что равносильно системе

\[\begin{aligned} \begin{cases} 10\cdot A + B = 363\\ A + 10\cdot B = S \end{cases} \end{aligned}\]

вычитая из второго уравнения первое, находим, что \[9\cdot B - 9\cdot A = S - 363,\] откуда \[B = \dfrac{S}{9} - \dfrac{121}{3} + A.\] Подставляя это в первое уравнение системы, находим \[A = \dfrac{110}{3} - \dfrac{S}{99},\] откуда в частности следует, что \[\dfrac{S}{99} = s + \dfrac{2}{3},\] то есть \(S = 99s + 66\) для некоторого целого неотрицательного \(s\), тогда \(A = 36 - s\), \(B = 10s + 3\).

Покажем, что \(B < 173\):
в самом деле, если бы было \(B\geqslant 173\), тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее чем \(20\) (так как \(19\cdot 9 < 173\)), но тогда \[10\cdot A + B \geqslant 200 + 173 > 363.\]

Так как \(B < 173\), то \(10s + 3 < 173\), то есть \(s\leqslant 16\). При \(s = 16\) получим \(A = 20\), \(B = 163\).

Аналогично примеру из пункта а) построим решение:

Попробуем брать в качестве \(b_i\) 9, пока их сумма не превосходит 163 – так можно положить \[b_1 = ... = b_{18} = 9,\quad b_{19} = 163 - 18\cdot 9 = 1\], то есть в сумме 19 слагаемых. Тогда можно положить \[a_1 = ... = a_{18} = 1\quad a_{19} = 20 - 18\cdot 1 = 2,\] итого, искомая сумма \(18\times 19 + 21\), максимальная \(S = 99\cdot 16 + 66 = 1650\).

Ответ:

а) \(15\times 19 + 78\), где запись \(15\times 19\) означает сумму из 15 слагаемых, каждое из которых равно 19.

б) Нет.

в) \(1650\).