Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Разложение на множители тригонометрических уравнений

\(\blacktriangleright\) Напомним стандартные тригонометрические уравнения:
\[\begin{array}{l|c|c} \hline \text{Уравнение} & \text{Ограничения} & \text{Решение}\\ \hline &&\\ \sin x=a & -1\leq a\leq 1 & \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\arcsin a+2\pi n\\ &x=\pi -\arcsin a+2\pi n \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \ , \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \cos x=a & -1\leq a\leq 1 & x=\pm \arccos a+2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{tg}\, x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline &&\\ \mathrm{ctg}\,x=a & a\in \mathbb{R} & x=\mathrm{arcctg}\, a+\pi n, \ n\in \mathbb{Z}\\&&\\ \hline \end{array}\] Иногда для более короткой записи ответ для \(\sin x=a\) записывают как
\(x=(-1)^k\cdot \arcsin a+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}\).

 

\(\blacktriangleright\) Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения нескольких множителей.
Основная формула \[a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)\]

\(\blacktriangleright\) Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла!: \[f(x)\cdot g(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &f(x)=0\\ &g(x)=0\\ \end{aligned} \end{gathered} \right.\\\text{ОДЗ} \end{cases}\]

 

\(\blacktriangleright\) Частное двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \ \Longleftrightarrow \ \begin{cases} f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end{cases}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sin x\cdot \sin\dfrac{\pi}2\cdot \sin\dfrac{\pi}3+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-7\pi;-5\pi).\)

Добавить задание в избранное

а) Для табличных углов \(\dfrac{\pi}2\) и \(\dfrac{\pi}3\) известно, что \(\sin \dfrac{\pi}2=1\) и \(\sin \dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2\).

 

По формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно  

\(2\sin x\cdot 1\cdot \dfrac{\sqrt3}2+2\sin x\cos x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \sin x\left(\cos x+\dfrac{\sqrt3}2\right)=0 \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни.

 

\(-7\pi<\pi n<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -7<n<-5\quad\Rightarrow\quad n=-6.\) Следовательно, \(x=-6\pi.\)

 

\(-7\pi<\dfrac{5\pi}6+2\pi m<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{47}{12}<m<-\dfrac{35}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-3.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{31\pi}6.\)

 

\(-7\pi<-\dfrac{5\pi}6+2\pi m<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{37}{12}<m<-\dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-3.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{41\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\pi n; \quad \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi m;\quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{41\pi}6; \ -\dfrac{31\pi}6; \ -6\pi\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin\left(x+\dfrac{\pi}8\right)=\sin\left(\dfrac{9\pi}8+x\right)\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{3\pi}4;\dfrac{3\pi}4\right].\)

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(\dfrac{9\pi}8=\pi+\dfrac{\pi}8\), следовательно, сделаем замену \(x+\dfrac{\pi}8=t\):

\[\sin t=\sin(\pi+t) \quad\Leftrightarrow\quad \sin t=-\sin t \quad\Leftrightarrow\quad \sin t=0 \quad\Leftrightarrow\quad t=\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Тогда, вернувшись к изначальной переменной, получим ответ \[x=-\dfrac{\pi}8+\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{3\pi}4\leqslant -\dfrac{\pi}8+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}4 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac58\leqslant n\leqslant \dfrac78 \quad\Rightarrow\quad n=0.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{\pi}8.\)

 

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}8+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{\pi}8\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3}\cos x. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду:

\[\begin{aligned} 2(-\cos x)^2 = \sqrt{3}\cos x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2\cos^2 x = \sqrt{3}\cos x \qquad\Leftrightarrow\qquad \cos x\left(\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда \(\cos x = 0\) или \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Решения уравнения \(\cos x = 0\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\dfrac{7\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{2} + \pi k\leq -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -4\leq k\leq -2,5,\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = -4\) и \(k = -3\): \(x = -\dfrac{7\pi}{2}\) и \(x = -\dfrac{5\pi}{2}\).

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leq -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{6}\leq n\leq -\dfrac{13}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих \(x\) подходящих нет.

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leq -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leq -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{10}{6}\leq n\leq -\dfrac{11}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = -1\): \(x = -\dfrac{13\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{7\pi}{2}\), \(-\dfrac{5\pi}{2}\), \(-\dfrac{13\pi}{6}\).

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([0;2\pi].\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле синуса двойного угла уравнение преобразуется в \[\sin x+2\sin x\cos x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\cos x=-\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

 

\(0\leqslant \pi n\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad 0\leqslant n\leqslant 2 \quad\Rightarrow\quad n=0; \ 1; \ 2.\) Следовательно, \(x=0; \ \pi; \ 2\pi.\)

 

\(0\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac13\leqslant m\leqslant \dfrac23 \quad\Rightarrow\quad m=0.\) Следовательно, \(x=\dfrac{2\pi}3.\)

 

\(0\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac13\leqslant m \leqslant \dfrac43\quad\Rightarrow\quad m=1.\) Следовательно, \(x=\dfrac{4\pi}3.\)

Ответ:

а) \(\pi n, \quad \pm\dfrac{2\pi}3+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(0; \ \dfrac{2\pi}3; \ \pi; \ \dfrac{4\pi}3; \ 2\pi\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos 2x+\sin x=1\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-\pi;\pi].\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле косинуса двойного угла \(\cos 2x=1-2\sin^2x\) уравнение перепишется в виде \[1-2\sin^2x+\sin x=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1-2\sin x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\sin x=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\pi\leqslant \pi n\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1 \quad\Rightarrow\quad n=-1; \ 0; \ 1.\) Следовательно, \(x=-\pi; \ 0; \ \pi.\)

 

\(-\pi\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi m\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac7{12}\leqslant m\leqslant \dfrac5{12} \quad\Rightarrow\quad m=0.\) Следовательно, \(x=\dfrac{\pi}6.\)

 

\(-\pi\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant k \leqslant \dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad k=0.\) Следовательно, \(x=\dfrac{5\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\pi n; \quad \dfrac{\pi}6+2\pi m;\quad \dfrac{5\pi}6+2\pi k; \quad n,m,k\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\pi; \ 0; \ \dfrac{\pi}6; \ \dfrac{5\pi}6; \ \pi\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x\sin 2x=\cos x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-7\pi;-\dfrac{11\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

 

\(2\sin^2 x\cos x-\cos x=0 \Rightarrow \cos x(2\sin^2x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &2\sin^2x-1=0 \end{aligned} \end{gathered}\right.\)

 

Т.к. по формуле косинуса двойного угла \(\cos2x=1-2\sin^2x \Rightarrow 2\sin^2x-1=-\cos 2x\). Значит:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &-\cos2x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни:

 

1) \(-7\pi<x_1\leqslant -\dfrac{11\pi}2 \Rightarrow -7,5<n\leqslant -6 \Rightarrow n=-7;-6 \Rightarrow x=-\dfrac{13\pi}2; -\dfrac{11\pi}2\)

 

2) \(-7\pi<x_2\leqslant -\dfrac{11\pi}2 \Rightarrow -14,5<m\leqslant -11,5 \Rightarrow m=-14;-13;-12 \Rightarrow x=-\dfrac{27\pi}4; -\dfrac{25\pi}4; -\dfrac{23\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n,\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{27\pi}4; -\dfrac{13\pi}2;-\dfrac{25\pi}4; -\dfrac{23\pi}4;-\dfrac{11\pi}2\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sqrt{\pi}\mathrm{ctg}\,x+\sqrt3\sin x-\cos x=\sqrt{3\pi}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\dfrac{\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\sin x\ne 0\). Решим на ОДЗ. Т.к. на ОДЗ \(\cos x=\dfrac{\cos x\sin x}{\sin x}=\mathrm{ctg}\,x\sin x \Rightarrow\)

 

\(\sqrt{\pi}\mathrm{ctg}\,x -\sin x\mathrm{ctg}\, x+\sqrt3\sin x-\sqrt3\cdot \sqrt{\pi}=0 \Rightarrow \mathrm{ctg}\, x(\sqrt{\pi} -\sin x)-\sqrt3(\sqrt{\pi}-\sin x)=0 \Rightarrow\)

 

\((\sqrt{\pi}-\sin x)(\mathrm{ctg}\, x-\sqrt3)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=\sqrt{\pi}\\ &\mathrm{ctg}\, x=\sqrt3 \end{aligned} \end{gathered}\right. \)

 

Т.к. \(\pi>3 \Rightarrow \sqrt{\pi}>\sqrt3>1 \Rightarrow\) уравнение \(\sin x=\sqrt{\pi}\) не имеет решений. Значит, решением исходного уравнения будет:

\[\mathrm{ctg}\, x=\sqrt3 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[-\pi\leqslant \dfrac{\pi}6+\pi n\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac76\leqslant n \leqslant \dfrac13 \Rightarrow n=-1;0 \Rightarrow x=-\dfrac{5\pi}6;\dfrac{\pi}6\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{5\pi}6;\dfrac{\pi}6\)

1 2 .... 4