Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Призма»

Призма \(A_1...A_nB_1...B_n\).

 

\(\blacktriangleright\) Многоугольники \(A_1...A_n, \ B_1...B_n\) – основания;
отрезки \(A_1B_1, \ A_2B_2\) и т.д. – боковые ребра;
четырехугольники \(A_1B_1B_2A_2\) и т.д. – боковые грани, представляющие собой параллелограммы.

 

\(\blacktriangleright\) Высота призмы – расстояние между ее основаниями, или, что то же самое, – перпендикуляр, опущенный из вершины одного основания к плоскости другого основания.

 

\(\blacktriangleright\) Объем призмы \({\Large{V=S_{\text{осн}}\cdot h}}\), где \(S_{\text{осн}}\) – площадь основания, \(h\) – высота.

 

\(\blacktriangleright\) Площадь боковой поверхности – сумма площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площадей оснований.

Задание 1
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCA_1B_1C_1\) – треугольная призма с основаниями \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Отрезок \(A_1K\) перпендикулярен плоскости \((ABC)\), \(A_1K = 3\), причем точка \(K\) лежит на медиане \(AM\) треугольника \(ABC\), \(AK = 0,2AB\), \(AB = AC\), \(BC = 10\sqrt{3}\). Найдите угол между плоскостями \((ABC)\) и \((AA_1C)\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Построим \(KP\) перпендикулярно \(AC\).


 

Тогда \(A_1P\) перпендикулярен \(AC\) по теореме о трех перпендикулярах и угол между плоскостями \((ABC)\) и \((AA_1C)\) равен \(\angle A_1PK\).

Так как \(AB = AC\) и \(AM\) – медиана, то треугольник \(ABC\) равнобедренный и \(AM\) – высота. Треугольники \(APK\) и \(AMC\) подобны по двум углам (\(\angle PAK\) – общий), тогда \[\dfrac{PK}{MC} = \dfrac{AK}{AC} = 0,2= \dfrac{1}{5}.\] Так как \(MC = \dfrac{1}{2}BC = 5\sqrt{3}\), то \(PK = \sqrt{3}\).   \[\mathrm{tg}\, \angle A_1PK = \dfrac{A_1K}{PK} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1PK = 60^{\circ},\] так как \(0^\circ< \angle A_1PK < 180^\circ\).

Ответ: 60

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – четырехугольная призма с основаниями \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Точка \(K\) – проекция точки \(A_1\) на плоскость \((ABC)\), \(K\) лежит на \(AD\), причём \(AK : KD = 1 : 3\). \(ABCD\) – параллелограмм со сторонами \(AD = a\), \(AB = 2a\), \(\angle BAD = 60^{\circ}\), \(A_1A = 1,75a\).   Найдите \(\dfrac{V}{a^3}\), где \(V\) – объем призмы.

Добавить задание в избранное





\[V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD}\cdot h,\qquad\qquad S_{ABCD} = AB\cdot AD\cdot\sin\angle BAD = 2a\cdot a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = a^2\sqrt{3}.\] По теореме Пифагора: \[A_1K^2 = AA_1^2 - AK^2 = \dfrac{49}{16}a^2 - \dfrac{1}{16}a^2 = 3a^2\qquad\Rightarrow\qquad A_1K = a\sqrt{3}.\] Таким образом, \[V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3} = 3a^3\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{V}{a^3} = 3.\]

Ответ: 3

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основаниях призмы \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) лежат правильные шестиугольники. \(AD\) и \(BF\) пересекаются в точке \(H\), \(A_1H\) – высота призмы. Ребро \(AA_1\) наклонено к плоскости оснований под углом, тангенс которого равен \(2\). Найдите объем призмы, если \(AF = 2\sqrt3\).

Добавить задание в избранное

\(AH\) – проекция наклонной \(A_1A\) на плоскость \(ABC\), тогда \(\mathrm{tg}\,\angle A_1AH = 2\).

 

В \(ABCDEF\) все углы равны друг другу, их можно найти по формуле: \(\frac{180^\circ\cdot(n-2)}{6}\), где \(n\) – число сторон правильного многоугольника, тогда каждый угол в правильном шестиугольнике равен: \(\frac{180^\circ\cdot(6-2)}{6} = 120^\circ\).

 

Треугольник \(\triangle ABF\) – равнобедренный, \(\angle ABF = \angle AFB = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\).
В силу симметрии \(ABCDEF\): \(\angle FAH = \angle BAH = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\) \(\Rightarrow\) \(\triangle AHF\) – прямоугольный. В этом треугольнике \(AH\) лежит напротив угла в \(30^\circ\) \(\Rightarrow\) \(AH = \frac{1}{2}\cdot AF = \frac{1}{2}\cdot2\sqrt3\).
В прямоугольном треугольнике \(\triangle A_1AH\): \(A_1H = AH\cdot \mathrm{tg}\, \angle A_1AH = 2\sqrt3\).

 

В шестиугольнике \(ABCDEF\) отрезки \(AD\), \(BE\) и \(CF\) пересекаются в точке \(O\), при этом шестиугольник разделится на \(6\) одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной \(2\sqrt3\) (см. рисунок).


 

Тогда \(S_{ABCDEF} = 6\cdot S_{\text{тр.}} = 6\cdot \frac{1}{2}\cdot2\sqrt3\cdot2\sqrt3\cdot\sin 60^\circ = 6\cdot \frac{1}{2}\cdot2\sqrt3\cdot2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 18\sqrt3\).

 

Теперь найдем объем призмы: \[V = A_1H\cdot S_{ABCDEF} = 2\sqrt3\cdot18\sqrt3 = 108.\]

Ответ: 108

Решение задач по теме «Призма» из раздела «Геометрия в пространстве» является обязательной частью ЕГЭ по математике. Следовательно, понимать алгоритм нахождения правильного ответа должны все учащиеся старших классов. Освоив решение задач по теме «Призма», выпускники смогут успешно выполнять задания с различным количеством действий.

Базовая информация, которую стоит повторить

  • Призма представляет собой многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. Остальные грани — это параллелограммы.
  • Призма называется n-угольной по количеству углов многоугольника в основании. Это может быть треугольник (в этом случае призма является треугольной), пятиугольник и т. д.
  • Призма считается прямой в том случае, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
  • Многогранник, который не является прямым, называется наклонным.

Регулярные занятия с математическим порталом «Школково» — залог качественной подготовки к единому государственному экзамену

С проблемой поиска нужной информации сталкиваются многие выпускники. Учебник не всегда имеется под рукой. А поиск подходящих формул для решения задач на нахождение площади, объема призмы и других параметров зачастую отнимает достаточно большое количество времени.

Образовательный портал «Школково» поможет качественно подготовиться к аттестационному испытанию. Мы предлагаем старшеклассникам и их преподавателям выстроить алгоритм занятия по-новому, переходя от простого к сложному. Специалисты «Школково» убеждены, что именно такой подход позволит выпускникам выявить темы, которые нуждаются в более детальном изучении.

Весь теоретический материал, который поможет вам в выполнении заданий ЕГЭ по теме «Призма», собран в разделе «Теоретическая справка». Представленная информация позволит вам восполнить пробелы в знаниях без помощи репетитора.

Чтобы задачи на призму не вызывали затруднений, мы предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» собраны как достаточно простые задания, так и материалы повышенной сложности, которые также изучаются в рамках школьной программы. Для каждого упражнения на сайте представлен алгоритм решения, разобравшись с которым выпускники смогут без труда найти объем, площадь призмы и другие параметры.

Начните онлайн-занятия на сайте «Школково» уже сейчас, ведь с каждым днем остается все меньше времени на подготовку!