Найдите наибольшее значение функции \(y = e^{x-2}\cdot\dfrac{x-4}{x}\) на \([1; 4]\).
ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:
1) \[y' = \left(e^{x - 2}\cdot\dfrac{x-4}{x} + e^{x-2}\cdot\dfrac{x - (x - 4)}{x^2}\right) = e^{x-2}\cdot\left(\dfrac{x-4}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right) = \dfrac{e^{x-2}}{x^2}\cdot(x^2 - 4x + 4).\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{e^{x-2}}{x^2}\cdot(x^2 - 4x + 4) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 4x + 4 = 0\] (так как на ОДЗ выражение \(\dfrac{e^{x-2}}{x^2}\) отлично от \(0\)), откуда находим корень \(x = 2\).
Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([1; 4]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([1; 4]\):
Таким образом, наибольшее значение на отрезке \([1; 4]\) функция \(y\) достигает в \(x = 4\):
\(y(4) = e^{2-2}\cdot 0 = 0\).
Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\) на отрезке \([1; 4]\).
Ответ: 0