Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у смешанных функций

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Все формулы:

 

1. Умножение функции на число: \[{\Large{(c\cdot f)'=c\cdot f'}}\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[{\Large{(f\pm g)'=f'\pm g'}}\]

 

3. Произведение двух функций: \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]

 

4. Частное двух функций: \[{\Large{\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}}}\]

 

5. Сложная функция: \[{\Large{f'(t(x))=f'(t)\cdot t'(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = e^{x-2}\cdot\dfrac{x-4}{x}\) на \([1; 4]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = \left(e^{x - 2}\cdot\dfrac{x-4}{x} + e^{x-2}\cdot\dfrac{x - (x - 4)}{x^2}\right) = e^{x-2}\cdot\left(\dfrac{x-4}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right) = \dfrac{e^{x-2}}{x^2}\cdot(x^2 - 4x + 4).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{e^{x-2}}{x^2}\cdot(x^2 - 4x + 4) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 4x + 4 = 0\] (так как на ОДЗ выражение \(\dfrac{e^{x-2}}{x^2}\) отлично от \(0\)), откуда находим корень \(x = 2\).

 

Производная функции \(y\) не существует при \(x = 0\), но \(x = 0\) не входит в ОДЗ. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([1; 4]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([1; 4]\):



Таким образом, наибольшее значение на отрезке \([1; 4]\) функция \(y\) достигает в \(x = 4\):

\(y(4) = e^{2-2}\cdot 0 = 0\).

Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\) на отрезке \([1; 4]\).

Ответ: 0

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = -\dfrac{e^{2x^2}}{2x^2 + 1}\) на промежутке \([-1; 1]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = -\dfrac{e^{2x^2}\cdot 4x\cdot(2x^2 + 1) - 4x\cdot e^{2x^2}}{(2x^2 + 1)^2} = -8\cdot\dfrac{x^3e^{2x^2}}{(2x^2 + 1)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-8\cdot\dfrac{x^3e^{2x^2}}{(2x^2 + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([-1; 1]\):


 

4) Эскиз графика на промежутке \([-1; 1]\):


 

Таким образом, наибольшего на \([-1; 1]\) значения функция достигает в \(x = 0\).

\[y(0) = -\dfrac{1}{1} = -1\,.\] Итого: \(-1\) – наибольшее значение функции \(y\) на промежутке \([-1; 1]\).

Ответ: -1

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = -\dfrac{x + 1}{x} - \ln (e\cdot x)\) на отрезке \([0,1; 2,1]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x > 0\).

1) \[y' = -\dfrac{1\cdot x - 1\cdot(x + 1)}{x^2} - \dfrac{1}{e\cdot x}\cdot e = \dfrac{1 - x}{x^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1 - x}{x^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная не существует при \(x \leqslant 0\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0,1; 2,1]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([0,1; 2,1]\):


 

Таким образом, наибольшего на \([0,1; 2,1]\) значения функция достигает в \(x = 1\).

\[y(1) = -\dfrac{1 + 1}{1} - \ln (e) = -2 - 1 = -3\,.\] Итого: \(-3\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([0,1; 2,1]\).

Ответ: -3

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = 3x^3e^{3x} + 2x^2e^{2x} + xe^{x}\) на отрезке \([0; 2]\).

Добавить задание в избранное

Первый способ

\(y' = 9x^2e^{3x} + 9x^3e^{3x} + 4xe^{2x} + 4x^2e^{2x} + e^x + xe^x\)

Так как при любом \(x\in[0; 2]\) верно: \(e^x > 0\), \(e^{2x} > 0\), \(e^{3x} > 0\), \(x \geqslant 0\), \(x^2\geqslant 0\), \(x^3\geqslant 0\), то на \([0; 2]\) \(y' > 0\), следовательно на отрезке \([0; 2]\) функция \(y\) возрастает, тогда наименьшее значение она достигает при \(x = 0\): \[y(0) = 0\,.\]

Второй способ

При любом \(a > 0\) функция \(x^a\) возрастает на \([0; 2]\); 2) при любом \(b > 0\) функция \(e^{bx}\) возрастает на \([0; 2]\); 3) произведение возрастающих функций снова возрастающая функция; 4) сумма возрастающих функций снова возрастающая функция.

Из этих четырёх фактов следует, что данная в условии функция возрастает на \([0; 2]\), следовательно, наименьшее на \([0; 2]\) значение она принимает в левом конце этого отрезка, то есть её наименьшее значение равно \(y(0) = 0\).

 

Третий способ

Заметим, что функция является сложной относительно \(t(x)=x\cdot e^x\): \(y(t(x))=3t^3+2t^2+t\). Следовательно, ее производную можно искать как производную сложной функции: \[y'=(3t^3+2t^2+t)'_{t=x\cdot e^x}\cdot t'_x=(9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}\cdot (x\cdot e^x+e^x)= (9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}\cdot e^x(x+1)\] Заметим, что производная равна нулю тогда и только тогда, когда либо \(x+1=0\), либо \((9t^2+4t+1)_{t=x\cdot e^x}=0\) (т.к. \(e^x>0\) при всех \(x\)). Второе уравнение не имеет решений, т.к. дискриминант \(D<0\). Следовательно, имеем \[x+1=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-1.\] Найдем знаки производной на отрезке \([0;2]\):


 

Следовательно, на отрезке \([0;2]\) функция \(y(x)\) возрастает, значит, наименьшее значение она принимает в начале отрезке. Тогда \[y_{\text{наим.}}(x)=y(0)=0.\]

Ответ: 0

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = 3e^{\frac{2}{3} + x}\cdot\dfrac{x}{x-\frac{4}{3}}\) на \([-1; 1]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \neq \dfrac{4}{3}\). Решим на ОДЗ:

1) \[y' = 3\left(e^{\frac{2}{3} + x}\cdot\dfrac{x}{x-\frac{4}{3}} + e^{\frac{2}{3} + x}\cdot\dfrac{x-\frac{4}{3} - x}{(x-\frac{4}{3})^2}\right) = 3e^{\frac{2}{3} + x}\cdot\left(\dfrac{x}{x-\frac{4}{3}}+\dfrac{x-\frac{4}{3} - x}{(x-\frac{4}{3})^2}\right) = 3\dfrac{e^{\frac{2}{3} + x}}{(x-\frac{4}{3})^2}\cdot\left(x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{4}{3}\right).\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{e^{\frac{2}{3} + x}}{(x-\frac{4}{3})^2}\cdot\left(x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{4}{3}\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - \dfrac{4}{3}x - \dfrac{4}{3} = 0\] (так как на ОДЗ выражение \(\dfrac{e^{\frac{2}{3} + x}}{(x-\frac{4}{3})^2}\) отлично от \(0\)), откуда находим корни \(x_1 = 2,\ x_2 = -\dfrac{2}{3}\).

 

Производная функции \(y\) не существует при \(x = \dfrac{4}{3}\), но \(x = \dfrac{4}{3}\) не входит в ОДЗ.

 

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-1; 1]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([-1; 1]\):



Таким образом, наибольшее значение на отрезке \([-1; 1]\) функция \(y\) достигает в \(x = -\dfrac{2}{3}\):

\(y\left(-\dfrac{2}{3}\right) = 3e^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}}\cdot\dfrac{-\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}} = 3e^{0}\cdot \dfrac{1}{3} = 1\).

Итого: \(1\) – наибольшее значение функции \(y\) на отрезке \([-1; 1]\).

Ответ: 1

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = 2x - \dfrac{9}{8x + 6} + 5\ln(-4x - 3)\) на промежутке \([-2; -0,75)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(4x + 3 < 0\).

1) \[y' = 2 + \dfrac{72}{(8x + 6)^2} + \dfrac{20}{4x + 3} = \dfrac{2(4x + 3)^2 + 18 + 20(4x + 3)}{(4x + 3)^2} = 32\cdot\dfrac{x^2 + 4x + 3}{(4x + 3)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[32\cdot\dfrac{x^2 + 4x + 3}{(4x + 3)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -1\\ x = -3 \end{gathered} \right.\] Производная не существует при \(x \geqslant -0,75\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом промежутке \([-2; -0,75)\):


 

4) Эскиз графика на промежутке \([-2; -0,75)\):


 

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в \(x = -1\).

\[y(-1) = -2 - \dfrac{9}{-8 + 6} + 5\ln(4 - 3) = 2,5\,.\] Итого: \(2,5\) – наименьшее значение функции \(y\) на промежутке \([-2; -0,75)\).

Ответ: 2,5

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = \dfrac{2}{\ln(5) + 1}\cdot\left(\ln(-6x - 1) - \dfrac{5}{6x + 1}\right)\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(6x + 1 < 0\).

1) \[y' = \dfrac{2}{\ln(5) + 1}\cdot\left(\dfrac{-6}{-6x - 1} + \dfrac{30}{(6x + 1)^2}\right) = \dfrac{72}{\ln(5) + 1}\cdot\dfrac{x + 1}{(6x + 1)^2}\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{72}{\ln(5) + 1}\cdot\dfrac{x + 1}{(6x + 1)^2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная не существует при \(x \geqslant -\dfrac{1}{6}\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в \(x = -1\).

\[y(-1) = \dfrac{2}{\ln(5) + 1}\cdot\left(\ln(5) - \dfrac{5}{-5}\right) = 2\,.\] Итого: \(2\) – наименьшее значение функции \(y\).

Ответ: 2