Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени)

Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.

 

\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.

 

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:

\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(3^{x + 11} = 27\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(3^{x + 11} = 3^3\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(x + 11 = 3\), что равносильно \(x = -8\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -8

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(5^{7 - 2x} = 25\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(5^{7 - 2x} = 5^2\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(7 - 2x = 2\), что равносильно \(x = 2,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 2,5

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(2017^{5 + x} = 1\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(2017^{5 + x} = 2017^0\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(5 + x = 0\), что равносильно \(x = -5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -5

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(4^{x} = \dfrac{1}{2}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(2^{2x} = 2^{-1}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(2x = -1\), что равносильно \(x = -0,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(2^{4x - 8} = 0,5\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(2^{4x - 8} = 2^{-1}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(4x - 8 = -1\), что равносильно \(x = 1,75\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,75

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(4^{5 + 5x} = 0,5\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(4^{5 + 5x} = 4^{-0,5}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(5 + 5x = -0,5\), что равносильно \(x = -1,1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1,1

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(5^{-7 - 10x} = 0,04\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(5^{-7 - 10x} = 5^{-2}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(-7 - 10x = -2\), что равносильно \(x = -0,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5