Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Показательные уравнения (с неизвестной в показателе степени)

Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.

 

\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.

 

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:

\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1 #385
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(3^{x + 11} = 27\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(3^{x + 11} = 3^3\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(x + 11 = 3\), что равносильно \(x = -8\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -8

Задание 2 #386
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(5^{7 - 2x} = 25\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(5^{7 - 2x} = 5^2\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(7 - 2x = 2\), что равносильно \(x = 2,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 2,5

Задание 3 #388
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(2017^{5 + x} = 1\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(2017^{5 + x} = 2017^0\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(5 + x = 0\), что равносильно \(x = -5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -5

Задание 4 #390
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(4^{x} = \dfrac{1}{2}\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(2^{2x} = 2^{-1}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(2x = -1\), что равносильно \(x = -0,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

Задание 5 #391
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(2^{4x - 8} = 0,5\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(2^{4x - 8} = 2^{-1}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(4x - 8 = -1\), что равносильно \(x = 1,75\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,75

Задание 6 #392
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(4^{5 + 5x} = 0,5\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(4^{5 + 5x} = 4^{-0,5}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(5 + 5x = -0,5\), что равносильно \(x = -1,1\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -1,1

Задание 7 #393
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(5^{-7 - 10x} = 0,04\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \(5^{-7 - 10x} = 5^{-2}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(-7 - 10x = -2\), что равносильно \(x = -0,5\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или иррациональным уравнениям со знаком корня. База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!