5. Решение уравнений
Показательное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) в показателе степени.
\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.
\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное уравнение:
\[\large{{a^{f(x)}=a^{g(x)}} \quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g(x)}\] где \(a>0, a\ne 1\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы:
\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]
Найдите корень уравнения \(5^{x - 16} = \dfrac{1}{625}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(5^{x - 16} = 5^{-4}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(x - 16 = -4\), что равносильно \(x = 12\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 12
Найдите корень уравнения \(7^{x + 7} = \dfrac{1}{343}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \(7^{x + 7} = 7^{-3}\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(x + 7 = -3\), что равносильно \(x = -10\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -10
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1 - x} = \dfrac{1}{4}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1 - x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2,\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(1 - x = 2\), что равносильно \(x = -1\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -1
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x + 1} = \dfrac{4}{9}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x + 1} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2,\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(x + 1 = 2\), что равносильно \(x = 1\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 1
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{7}{2017}\right)^{3x + 31} = \dfrac{7}{2017}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{7}{2017}\right)^{3x + 31} = \left(\dfrac{7}{2017}\right)^1,\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(3x + 31 = 1\), что равносильно \(x = -10\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -10
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x + 11} = \dfrac{9}{4}\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x + 11} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2},\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(x + 11 = -2\), что равносильно \(x = -13\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -13
Найдите корень уравнения \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^{18 - 5x} = 25\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Исходное уравнение есть \[\left(\dfrac{1}{5}\right)^{18 - 5x} = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-2},\] оно имеет стандартный вид и равносильно \(18 - 5x = -2\), что равносильно \(x = 4\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 4
