Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, описанная около многоугольника

Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).
Для вписанного треугольника верна формула \[\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R,\] где \(\alpha\) – угол треугольника, лежащий против стороны \(a\).

 

Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле

\[\Large{S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\).
И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\), то около него можно описать окружность. (рис. 2)

 

\(\blacktriangleright\) Около выпуклого четырехугольника описана окружность \(\Leftrightarrow\) \(\large{\angle \alpha =\angle \beta}\). (рис. 3)


 

Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле

\[{\large{S_{\text{впис.4-к}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},}}\]

где \(a,b,c,d\) – его стороны, \(p=\frac12(a+b+c+d)\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 4).

 

\(\blacktriangleright\) Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 5).

 

\(\blacktriangleright\) Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
И наоборот: около равнобедренной (и только равнобедренной) трапеции можно описать окружность (рис. 6).

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен \(108^\circ\). Найдите число вершин многоугольника.

Добавить задание в избранное

1 способ.
Рассмотрим чертеж:



Пусть \(O\) – центр окружности, \(A, B, C\) – три последовательные вершины правильного многоугольника. Тогда \(\angle ABC=108^\circ\).
Заметим, что правильный многоугольник не может иметь 3 или 4 вершины, так как в этом случае это будет правильный треугольник или квадрат, а у этих фигур угол между соседними сторонами равен \(60^\circ\) и \(90^\circ\) соответственно.
Проведем \(OA, OB, OC\) – радиусы. Так как \(AB=BC\), то \(\triangle AOB=\triangle BOC\). К тому же эти треугольники равнобедренные (\(AB\) и \(BC\) их основания), следовательно, \(\angle ABO=\angle CBO=0,5\cdot 108^\circ=54^\circ\). Отсюда \(\angle AOB=180^\circ-2\cdot 54^\circ=72^\circ\).
Значит, дуга \(AB\) равна \(72^\circ\). Так как равные хорды стягивают равные дуги, а все стороны многоугольника равны (он правильный), то \(n\) вершин многоугольника разбивают окружность на \(n\) дуг, градусные меры которых равны \(72^\circ\). То есть \(72^\circ\cdot n=360^\circ\), откуда \(n=5\).

 

2 способ.
Так как многоугольник правильный, его угол равен \(108^\circ\), а сумма всех углов правильного многоугольника равна \(180^\circ\cdot (n-2)\), где \(n\) – число вершин, то \[108^\circ\cdot n=180^\circ(n-2)\quad\Rightarrow\quad n=5\] В таком случае информацию о том, что многоугольник вписан в окружность, мы не использовали.

Ответ:

5

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны \(AB, BC, CD, AD\) четырехугольника \(ABCD\) стягивают дуги описанной окружности, градусные меры которых равны соответственно \(95^\circ, 49^\circ, 71^\circ, 145^\circ\). Найдите угол \(B\) этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Угол \(B\) четырехугольника равен вписанному углу \(ABC\). Этот угол опирается на дугу \(\buildrel\smile\over{ADC}\), равную \(145^\circ+71^\circ=216^\circ\). Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\angle B=\angle ABC=108^\circ\).

Ответ:

108

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(A, B, C, D\), расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги \(AB, BC, CD, DA\), градусные величины которых относятся соответственно как \(4:2:3:6\). Найдите угол \(A\) четырехугольника \(ABCD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как дуги \(AB, BC, CD, DA\) относятся как \(4:2:3:6\), то можно принять дугу \(AB\) за \(4x\), дугу \(BC\) за \(2x\), дугу \(CD\) за \(3x\) и дугу \(DA\) за \(6x\). Так как все эти дуги в совокупности дают целую окружность, градусная мера которой равна \(360^\circ\), то \(4x+2x+3x+6x=360^\circ\), откуда \(x=24^\circ\).
Угол \(A\) равен вписанному углу \(BAD\), опирающемуся на дугу \(\buildrel\smile\over{BCD}\), равную \(2x+3x=5x=120^\circ\). Так как вписанный угол равен половине этой дуги, то \(\angle A=60^\circ\).

Ответ:

60

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Угол \(ABC\) равен \(110^\circ\), угол \(ABD\) равен \(70^\circ\). Найдите угол \(CAD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, \(\angle CAD=\angle CBD\).
\(\angle CBD=\angle ABC-\angle ABD=110^\circ-70^\circ=40^\circ\).

Ответ:

40

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(1\). Противолежащий ей угол \(C\) равен \(30^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[R=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sin30^\circ}=\dfrac12\cdot \dfrac1{\frac12}=1\]

Ответ:

1

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Одна сторона остроугольного треугольника равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Пусть \(AB=R\). Тогда нужно найти \(\angle C\). По теореме синусов: \[\dfrac{AB}{\sin \angle C}=2R\quad\Rightarrow\quad \sin\angle C=\dfrac{AB}{2R}=\dfrac R{2R}=\dfrac12\] Так как треугольник остроугольный, то \(\angle C=30^\circ\).

Ответ:

30

Задание Новое задание
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Угол \(C\) треугольника \(ABC\), вписанного в окружность радиуса \(3\), равен \(30^\circ\). Найдите сторону \(AB\) этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[AB=2R\cdot \sin\angle C=2\cdot 3\cdot \sin30^\circ=3\]

Ответ:

3

Тема «Окружность, описанная около правильного многоугольника» довольно подробно рассматривается в рамках школьной программы. Несмотря на это, задания, относящиеся к данному разделу планиметрии, вызывают у многих старшеклассников определенные сложности. При этом понимать принцип решения задач ЕГЭ с окружностью, описанной около многоугольника, должны выпускники с любым уровнем подготовки.

Как подготовиться к единому госэкзамену?

Для того чтобы задания ЕГЭ по теме «Окружность, описанная около правильного многоугольника» не вызывали у учащихся затруднений, занимайтесь вместе с образовательным порталом «Школково». С нами вы сможете повторить теоретический материал по темам, которые вызывают у вас трудности. Теоремы и формулы, которые раньше казались достаточно сложными, у нас изложены доступно и понятно.

Чтобы освежить в памяти основные определения и понятия об углах и центре окружности, описанной около многоугольника, выпускникам достаточно перейти в раздел «Теоретическая справка». Здесь мы разместили материал, составленный нашими опытными сотрудниками специально для учащихся с различным уровнем подготовки.

Чтобы закрепить усвоенную информацию, старшеклассники могут попрактиковаться в выполнении упражнений. На образовательном портале «Школково» в разделе «Каталог» представлена большая база задач различной сложности для максимально эффективной подготовки к ЕГЭ. В каждом задании на сайте прописан алгоритм решения и дан правильный ответ. База упражнений «Школково» регулярно обновляется и дополняется.

Практиковаться в выполнении задач на нашем сайте учащиеся из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем или репетитором.