Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Окружность, описанная около многоугольника

Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).
Для вписанного треугольника верна формула \[\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R,\] где \(\alpha\) – угол треугольника, лежащий против стороны \(a\).

 

Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле

\[\Large{S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}}\]


 

\(\blacktriangleright\) Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\).
И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\), то около него можно описать окружность. (рис. 2)

 

\(\blacktriangleright\) Около выпуклого четырехугольника описана окружность \(\Leftrightarrow\) \(\large{\angle \alpha =\angle \beta}\). (рис. 3)


 

Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле

\[{\large{S_{\text{впис.4-к}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},}}\]

где \(a,b,c,d\) – его стороны, \(p=\frac12(a+b+c+d)\) – полупериметр.

 

\(\blacktriangleright\) Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 4).

 

\(\blacktriangleright\) Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 5).

 

\(\blacktriangleright\) Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
И наоборот: около равнобедренной (и только равнобедренной) трапеции можно описать окружность (рис. 6).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В четырёхугольнике \(ABCD\): диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(M\), \(\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}\). Найдите отношение углов \(CBD\) и \(CAD\).

Добавить задание в избранное

Если в выпуклом четырёхугольнике сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\), то около него можно описать окружность, тогда около \(ABCD\) можно описать окружность.



\(\angle CBD\) и \(\angle CAD\) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, тогда они равны и их отношение равно 1.

Ответ: 1

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) \(\angle ABD=\angle ACD\). Найдите \(\angle A-\angle B+\angle C-\angle D\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Рассмотрим картинку:


 

По признаку около этого четырехугольника можно описать окружность. Следовательно, сумма двух противоположных его углов равна \(180^\circ\). Таким образом, \[\angle A-\angle B+\angle C-\angle D= (\angle A+\angle C)-(\angle B+\angle D)=180^\circ-180^\circ=0^\circ.\]

Ответ: 0

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен \(22\), средняя линия равна \(5\). Найдите боковую сторону трапеции.

Добавить задание в избранное



Так как трапеция вписана в окружность, то трапеция является равнобедренной, следовательно, \(AB=CD\). Средняя линия равна полусумме оснований, следовательно, \(AD+BC=2\cdot 5=10\). Тогда \[AB+BC+CD+AD=10+2AB=22\quad\Rightarrow\quad AB=6.\]

Ответ: 6

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны \(AB, BC, CD, AD\) четырехугольника \(ABCD\) стягивают дуги описанной окружности, градусные меры которых равны соответственно \(95^\circ, 49^\circ, 71^\circ, 145^\circ\). Найдите угол \(B\) этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Угол \(B\) четырехугольника равен вписанному углу \(ABC\). Этот угол опирается на дугу \(\buildrel\smile\over{ADC}\), равную \(145^\circ+71^\circ=216^\circ\). Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то \(\angle B=\angle ABC=108^\circ\).

Ответ: 108

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точки \(A, B, C, D\), расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги \(AB, BC, CD, DA\), градусные величины которых относятся соответственно как \(4:2:3:6\). Найдите угол \(A\) четырехугольника \(ABCD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Так как дуги \(AB, BC, CD, DA\) относятся как \(4:2:3:6\), то можно принять дугу \(AB\) за \(4x\), дугу \(BC\) за \(2x\), дугу \(CD\) за \(3x\) и дугу \(DA\) за \(6x\). Так как все эти дуги в совокупности дают целую окружность, градусная мера которой равна \(360^\circ\), то \(4x+2x+3x+6x=360^\circ\), откуда \(x=24^\circ\).
Угол \(A\) равен вписанному углу \(BAD\), опирающемуся на дугу \(\buildrel\smile\over{BCD}\), равную \(2x+3x=5x=120^\circ\). Так как вписанный угол равен половине этой дуги, то \(\angle A=60^\circ\).

Ответ: 60

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность. Угол \(ABC\) равен \(110^\circ\), угол \(ABD\) равен \(70^\circ\). Найдите угол \(CAD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное

Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, \(\angle CAD=\angle CBD\).
\(\angle CBD=\angle ABC-\angle ABD=110^\circ-70^\circ=40^\circ\).

Ответ: 40

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(1\). Противолежащий ей угол \(C\) равен \(30^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Добавить задание в избранное

По теореме синусов \[\dfrac{AB}{\sin\angle C}=2R\] Следовательно, \[R=\dfrac12\cdot \dfrac{1}{\sin30^\circ}=\dfrac12\cdot \dfrac1{\frac12}=1\]

Ответ: 1

Тема «Окружность, описанная около правильного многоугольника» довольно подробно рассматривается в рамках школьной программы. Несмотря на это, задания, относящиеся к данному разделу планиметрии, вызывают у многих старшеклассников определенные сложности. При этом понимать принцип решения задач ЕГЭ с окружностью, описанной около многоугольника, должны выпускники с любым уровнем подготовки.

Как подготовиться к единому госэкзамену?

Для того чтобы задания ЕГЭ по теме «Окружность, описанная около правильного многоугольника» не вызывали у учащихся затруднений, занимайтесь вместе с образовательным порталом «Школково». С нами вы сможете повторить теоретический материал по темам, которые вызывают у вас трудности. Теоремы и формулы, которые раньше казались достаточно сложными, у нас изложены доступно и понятно.

Чтобы освежить в памяти основные определения и понятия об углах и центре окружности, описанной около многоугольника, выпускникам достаточно перейти в раздел «Теоретическая справка». Здесь мы разместили материал, составленный нашими опытными сотрудниками специально для учащихся с различным уровнем подготовки.

Чтобы закрепить усвоенную информацию, старшеклассники могут попрактиковаться в выполнении упражнений. На образовательном портале «Школково» в разделе «Каталог» представлена большая база задач различной сложности для максимально эффективной подготовки к ЕГЭ. В каждом задании на сайте прописан алгоритм решения и дан правильный ответ. База упражнений «Школково» регулярно обновляется и дополняется.

Практиковаться в выполнении задач на нашем сайте учащиеся из Москвы и других российских городов могут в онлайн-режиме. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем или репетитором.