Математика
Русский язык

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на растворы, смеси и сплавы

\(\blacktriangleright\) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): \[\text{концентрация вещества}=\dfrac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}\cdot 100\%\]

\(\blacktriangleright\) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сергей смешал раствор, содержащий \(20\%\) кислоты и раствор, содержащий \(40\%\) той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий \(32,5\%\) кислоты, причём объём полученного раствора \(4\) литра. Сколько литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда

\(4 - x\) литров раствора, содержащего \(40\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании,

 

\(\dfrac{20}{100}x\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(20\%\) кислоты, \(\dfrac{40}{100}(4 - x)\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(40\%\) кислоты.

 

Так как в итоге кислоты оказалось \(\dfrac{32,5}{100} \cdot 4 = 1,3\) литра, то:

\[\dfrac{20}{100}x + \dfrac{40}{100}(4 - x) = 1,3,\] откуда находим \(x = 1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Один газ в сосуде А содержал \(21\%\) кислорода, второй газ в сосуде В содержал \(5\%\) кислорода. Масса первого газа в сосуде А была больше массы второго газа в сосуде В на 300 г. Перегородку между сосудами убрали так, что газы перемешались и получившийся третий газ теперь содержит \(14,6\%\) кислорода. Найдите массу третьего газа. Ответ дайте в граммах.

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) грамм – масса второго газа, тогда

\(x + 300\) грамм – масса первого газа,

 

\(\dfrac{21}{100}(x + 300)\) грамм – масса кислорода в первом газе,

 

\(\dfrac{5}{100}x\) грамм – масса кислорода во втором газе,

 

тогда масса кислорода в третьем газе составляет \(\dfrac{14,6}{100}(2x + 300)\) грамм.

 

Так как третий газ возник в результате смешивания первого и второго, то:

\[\dfrac{21}{100}(x + 300) + \dfrac{5}{100}x = \dfrac{14,6}{100}(2x + 300),\] откуда находим \(x = 600\). Таким образом, масса третьего газа равна \(600 + 600 + 300 = 1500\) грамм.

Ответ: 1500

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Иван случайно смешал молоко жирностью \(2,5\%\) и молоко жирностью \(6\%\). В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью \(4,6\%\). Сколько литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана до смешивания?

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана, тогда

\(5 - x\) литров молока жирностью \(6\%\) было у Ивана,

 

\(\dfrac{2,5}{100}x\) – объём жира в молоке жирностью \(2,5\%\), \(\dfrac{6}{100}(5 - x)\) – объём жира в молоке жирностью \(6\%\).

 

Так как в итоге жира оказалось \(\dfrac{4,6}{100} \cdot 5 = 0,23\) литра, то:

 

\(\dfrac{2,5}{100}x + \dfrac{6}{100}(5 - x) = 0,23\), откуда находим \(x = 2\).

Ответ: 2

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В сосуде А содержится 3 литра 17-процентного водного раствора вещества Х. Из сосуда В в сосуд А перелили 7 литров 19-процентного водного раствора вещества Х. Сколько процентов составляет концентрация полученного в сосуде А раствора?

Добавить задание в избранное

Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100\(\%\). До переливания в сосуде А было \(3 \cdot 0,17 = 0,51\) литра вещества Х, в сосуде В было \(7 \cdot 0,19 = 1,33\) литра вещества Х.

После переливания объём вещества Х в сосуде А стал \(0,51 + 1,33 = 1,84\) литра, а объём всего раствора \(3 + 7 = 10\) литров. Тогда концентрация в процентах составила \[\dfrac{1,84}{10} \cdot 100\% = 18,4\%.\]

Ответ: 18,4

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз больше должен быть объём \(5\)-процентного раствора кислоты, чем объём \(10\)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(7\)-процентный раствор?

Добавить задание в избранное

Пусть объём \(5\)-процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(10\)-процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac{x}{y}\) при условии \[0,05x + 0,1y = 0,07(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,,\] таким образом, ответ: \(1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз больше должен быть объём \(20\)-процентного раствора кислоты, чем объём \(14\)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(18\)-процентный раствор?

Добавить задание в избранное

Пусть объём \(20\)-процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(14\)-процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac{x}{y}\) при условии \[0,2x + 0,14y = 0,18(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x}{y} = 2\,,\] таким образом, ответ: \(2\).

Ответ: 2

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Смешав \(25\)-процентный и \(95\)-процентный растворы кислоты и добавив \(20\) кг чистой воды, получили \(40\)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(20\) кг воды добавили \(20\) кг \(30\)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(50\)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(25\)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Добавить задание в избранное

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.
Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(25\)-процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(95\)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(40\)-процентного раствора:


 

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(25\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac{25}{100}\cdot x\) кислоты.

 

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

\[\dfrac{25}{100}\cdot x+\dfrac{95}{100}\cdot y+ \dfrac{0}{100}\cdot 20=\dfrac{40}{100}\cdot (x+y+20)\]

Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\)-процентного раствора:


 

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

\[\dfrac{25}{100}\cdot x+\dfrac{95}{100}\cdot y+ \dfrac{30}{100}\cdot 20=\dfrac{50}{100}\cdot (x+y+20)\]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\). Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\), чтобы сделать их проще на вид:

\[\begin{cases} 25x+95y+0=40(x+y+20)\\ 25x+95y+30\cdot 20=50(x+y+20) \end{cases}\]

Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:

\[\begin{aligned} &\begin{cases} 25x+95y=40(x+y+20)\\ 30\cdot 20=10(x+y+20) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 5x+19y=8(x+y+20)\\ y=40-x \end{cases} \quad \Rightarrow \\[2ex] \Rightarrow \quad &\begin{cases} 3x-11(40-x)+160=0\\ y=40-x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=20\\y=20\end{cases} \end{aligned}\]

Таким образом, раствора с \(25\%\) кислоты было \(20\) кг.

Ответ: 20