Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

11. Сюжетные текстовые задачи

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на растворы, смеси и сплавы

\(\blacktriangleright\) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): \[\text{концентрация вещества}=\dfrac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}\cdot 100\%\]

\(\blacktriangleright\) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

Задание 1 #846
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сергей смешал раствор, содержащий \(20\%\) кислоты и раствор, содержащий \(40\%\) той же кислоты. В итоге у него получился раствор, содержащий \(32,5\%\) кислоты, причём объём полученного раствора \(4\) литра. Сколько литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты, использовал Сергей при смешивании?

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) литров раствора, содержащего \(20\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда

\(4 - x\) литров раствора, содержащего \(40\%\) кислоты использовал Сергей при смешивании,

 

\(\dfrac{20}{100}x\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(20\%\) кислоты, \(\dfrac{40}{100}(4 - x)\) – объём кислоты в растворе, содержащем \(40\%\) кислоты.

 

Так как в итоге кислоты оказалось \(\dfrac{32,5}{100} \cdot 4 = 1,3\) литра, то:

\[\dfrac{20}{100}x + \dfrac{40}{100}(4 - x) = 1,3,\] откуда находим \(x = 1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 2 #844
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Один газ в сосуде А содержал \(21\%\) кислорода, второй газ в сосуде В содержал \(5\%\) кислорода. Масса первого газа в сосуде А была больше массы второго газа в сосуде В на 300 г. Перегородку между сосудами убрали так, что газы перемешались и получившийся третий газ теперь содержит \(14,6\%\) кислорода. Найдите массу третьего газа. Ответ дайте в граммах.

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) грамм – масса второго газа, тогда

\(x + 300\) грамм – масса первого газа,

 

\(\dfrac{21}{100}(x + 300)\) грамм – масса кислорода в первом газе,

 

\(\dfrac{5}{100}x\) грамм – масса кислорода во втором газе,

 

тогда масса кислорода в третьем газе составляет \(\dfrac{14,6}{100}(2x + 300)\) грамм.

 

Так как третий газ возник в результате смешивания первого и второго, то:

\[\dfrac{21}{100}(x + 300) + \dfrac{5}{100}x = \dfrac{14,6}{100}(2x + 300),\] откуда находим \(x = 600\). Таким образом, масса третьего газа равна \(600 + 600 + 300 = 1500\) грамм.

Ответ: 1500

Задание 3 #843
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Иван случайно смешал молоко жирностью \(2,5\%\) и молоко жирностью \(6\%\). В итоге у него получилось 5 литров молока жирностью \(4,6\%\). Сколько литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана до смешивания?

Добавить задание в избранное

Пусть \(x\) литров молока жирностью \(2,5\%\) было у Ивана, тогда

\(5 - x\) литров молока жирностью \(6\%\) было у Ивана,

 

\(\dfrac{2,5}{100}x\) – объём жира в молоке жирностью \(2,5\%\), \(\dfrac{6}{100}(5 - x)\) – объём жира в молоке жирностью \(6\%\).

 

Так как в итоге жира оказалось \(\dfrac{4,6}{100} \cdot 5 = 0,23\) литра, то:

 

\(\dfrac{2,5}{100}x + \dfrac{6}{100}(5 - x) = 0,23\), откуда находим \(x = 2\).

Ответ: 2

Задание 4 #841
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В сосуде А содержится 3 литра 17-процентного водного раствора вещества Х. Из сосуда В в сосуд А перелили 7 литров 19-процентного водного раствора вещества Х. Сколько процентов составляет концентрация полученного в сосуде А раствора?

Добавить задание в избранное

Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100\(\%\). До переливания в сосуде А было \(3 \cdot 0,17 = 0,51\) литра вещества Х, в сосуде В было \(7 \cdot 0,19 = 1,33\) литра вещества Х.

После переливания объём вещества Х в сосуде А стал \(0,51 + 1,33 = 1,84\) литра, а объём всего раствора \(3 + 7 = 10\) литров. Тогда концентрация в процентах составила \[\dfrac{1,84}{10} \cdot 100\% = 18,4\%.\]

Ответ: 18,4

Задание 5 #2133
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз больше должен быть объём \(5\)-процентного раствора кислоты, чем объём \(10\)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(7\)-процентный раствор?

Добавить задание в избранное

Пусть объём \(5\)-процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(10\)-процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac{x}{y}\) при условии \[0,05x + 0,1y = 0,07(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2} = 1,5\,,\] таким образом, ответ: \(1,5\).

Ответ: 1,5

Задание 6 #2134
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз больше должен быть объём \(20\)-процентного раствора кислоты, чем объём \(14\)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(18\)-процентный раствор?

Добавить задание в избранное

Пусть объём \(20\)-процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(14\)-процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac{x}{y}\) при условии \[0,2x + 0,14y = 0,18(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x}{y} = 2\,,\] таким образом, ответ: \(2\).

Ответ: 2

Задание 7 #2629
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Смешав \(25\)-процентный и \(95\)-процентный растворы кислоты и добавив \(20\) кг чистой воды, получили \(40\)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(20\) кг воды добавили \(20\) кг \(30\)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(50\)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(25\)-процентного раствора использовали для получения смеси?

Добавить задание в избранное

Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.
Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(25\)-процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(95\)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(40\)-процентного раствора:


 

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(25\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac{25}{100}\cdot x\) кислоты.

 

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

\[\dfrac{25}{100}\cdot x+\dfrac{95}{100}\cdot y+ \dfrac{0}{100}\cdot 20=\dfrac{40}{100}\cdot (x+y+20)\]

Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\)-процентного раствора:


 

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

\[\dfrac{25}{100}\cdot x+\dfrac{95}{100}\cdot y+ \dfrac{30}{100}\cdot 20=\dfrac{50}{100}\cdot (x+y+20)\]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\). Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\), чтобы сделать их проще на вид:

\[\begin{cases} 25x+95y+0=40(x+y+20)\\ 25x+95y+30\cdot 20=50(x+y+20) \end{cases}\]

Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:

\[\begin{aligned} &\begin{cases} 25x+95y=40(x+y+20)\\ 30\cdot 20=10(x+y+20) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 5x+19y=8(x+y+20)\\ y=40-x \end{cases} \quad \Rightarrow \\[2ex] \Rightarrow \quad &\begin{cases} 3x-11(40-x)+160=0\\ y=40-x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=20\\y=20\end{cases} \end{aligned}\]

Таким образом, раствора с \(25\%\) кислоты было \(20\) кг.

Ответ: 20