Математика
Русский язык

13. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

а) Решите уравнение \[2\sin x\cdot \sin\dfrac{\pi}2\cdot \sin\dfrac{\pi}3+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-7\pi;-5\pi).\)

Добавить задание в избранное

а) Для табличных углов \(\dfrac{\pi}2\) и \(\dfrac{\pi}3\) известно, что \(\sin \dfrac{\pi}2=1\) и \(\sin \dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2\).

 

По формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно  

\(2\sin x\cdot 1\cdot \dfrac{\sqrt3}2+2\sin x\cos x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \sin x\left(\cos x+\dfrac{\sqrt3}2\right)=0 \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\)

 

б) Отберем корни.

 

\(-7\pi<\pi n<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -7<n<-5\quad\Rightarrow\quad n=-6.\) Следовательно, \(x=-6\pi.\)

 

\(-7\pi<\dfrac{5\pi}6+2\pi m<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{47}{12}<m<-\dfrac{35}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-3.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{31\pi}6.\)

 

\(-7\pi<-\dfrac{5\pi}6+2\pi m<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{37}{12}<m<-\dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-3.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{41\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\pi n; \quad \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi m;\quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{41\pi}6; \ -\dfrac{31\pi}6; \ -6\pi\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin\left(x+\dfrac{\pi}8\right)=\sin\left(\dfrac{9\pi}8+x\right)\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{3\pi}4;\dfrac{3\pi}4\right].\)

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(\dfrac{9\pi}8=\pi+\dfrac{\pi}8\), следовательно, сделаем замену \(x+\dfrac{\pi}8=t\):

\[\sin t=\sin(\pi+t) \quad\Leftrightarrow\quad \sin t=-\sin t \quad\Leftrightarrow\quad \sin t=0 \quad\Leftrightarrow\quad t=\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

Тогда, вернувшись к изначальной переменной, получим ответ \[x=-\dfrac{\pi}8+\pi n, n\in\mathbb{Z}.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\dfrac{3\pi}4\leqslant -\dfrac{\pi}8+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}4 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac58\leqslant n\leqslant \dfrac78 \quad\Rightarrow\quad n=0.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{\pi}8.\)

 

Ответ:

а) \(-\dfrac{\pi}8+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\dfrac{\pi}8\)

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 2\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + x\right) = \sqrt{3}\cos x. \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\dfrac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольное.
По формулам приведения можно преобразовать исходное уравнение к виду:

\[\begin{aligned} 2(-\cos x)^2 = \sqrt{3}\cos x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2\cos^2 x = \sqrt{3}\cos x \qquad\Leftrightarrow\qquad \cos x\left(\cos x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0. \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда \(\cos x = 0\) или \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Решения уравнения \(\cos x = 0\) имеют вид: \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

 

Решения уравнения \(\cos x = a\) имеют вид: \(x = \pm\mathrm{arccos}\, a + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\), следовательно,   решения уравнения \(\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеют вид: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

 

б) \[-\dfrac{7\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{2} + \pi k\leq -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -4\leq k\leq -2,5,\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходят \(x\) при \(k = -4\) и \(k = -3\): \(x = -\dfrac{7\pi}{2}\) и \(x = -\dfrac{5\pi}{2}\).

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leq\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leq -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{11}{6}\leq n\leq -\dfrac{13}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда среди этих \(x\) подходящих нет.

\[-\dfrac{7\pi}{2}\leq -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\leq -2\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{10}{6}\leq n\leq -\dfrac{11}{12},\] но \(x\in\mathbb{Z}\), тогда подходит \(x\) при \(n = -1\): \(x = -\dfrac{13\pi}{6}\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k\), \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{7\pi}{2}\), \(-\dfrac{5\pi}{2}\), \(-\dfrac{13\pi}{6}\).

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x+\sin 2x=0\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([0;2\pi].\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле синуса двойного угла уравнение преобразуется в \[\sin x+2\sin x\cos x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1+2\cos x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\cos x=-\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pm \dfrac{2\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

 

\(0\leqslant \pi n\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad 0\leqslant n\leqslant 2 \quad\Rightarrow\quad n=0; \ 1; \ 2.\) Следовательно, \(x=0; \ \pi; \ 2\pi.\)

 

\(0\leqslant \dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac13\leqslant m\leqslant \dfrac23 \quad\Rightarrow\quad m=0.\) Следовательно, \(x=\dfrac{2\pi}3.\)

 

\(0\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi m\leqslant 2\pi \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac13\leqslant m \leqslant \dfrac43\quad\Rightarrow\quad m=1.\) Следовательно, \(x=\dfrac{4\pi}3.\)

Ответ:

а) \(\pi n, \quad \pm\dfrac{2\pi}3+2\pi m; \quad n,m\in\mathbb{Z}\)  

б) \(0; \ \dfrac{2\pi}3; \ \pi; \ \dfrac{4\pi}3; \ 2\pi\)

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\cos 2x+\sin x=1\]

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([-\pi;\pi].\)

Добавить задание в избранное

а) По формуле косинуса двойного угла \(\cos 2x=1-2\sin^2x\) уравнение перепишется в виде \[1-2\sin^2x+\sin x=1\quad\Leftrightarrow\quad \sin x(1-2\sin x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\sin x=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\dfrac{\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни.

 

\(-\pi\leqslant \pi n\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1 \quad\Rightarrow\quad n=-1; \ 0; \ 1.\) Следовательно, \(x=-\pi; \ 0; \ \pi.\)

 

\(-\pi\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi m\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac7{12}\leqslant m\leqslant \dfrac5{12} \quad\Rightarrow\quad m=0.\) Следовательно, \(x=\dfrac{\pi}6.\)

 

\(-\pi\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi k\leqslant \pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{11}{12}\leqslant k \leqslant \dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad k=0.\) Следовательно, \(x=\dfrac{5\pi}6.\)

Ответ:

а) \(\pi n; \quad \dfrac{\pi}6+2\pi m;\quad \dfrac{5\pi}6+2\pi k; \quad n,m,k\in\mathbb{Z}\)  

б) \(-\pi; \ 0; \ \dfrac{\pi}6; \ \dfrac{5\pi}6; \ \pi\)

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sin x\sin 2x=\cos x\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left(-7\pi;-\dfrac{11\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

 

\(2\sin^2 x\cos x-\cos x=0 \Rightarrow \cos x(2\sin^2x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &2\sin^2x-1=0 \end{aligned} \end{gathered}\right.\)

 

Т.к. по формуле косинуса двойного угла \(\cos2x=1-2\sin^2x \Rightarrow 2\sin^2x-1=-\cos 2x\). Значит:

\[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\cos x=0\\ &-\cos2x=0 \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad \Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x_2=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]

б) Отберем корни:

 

1) \(-7\pi<x_1\leqslant -\dfrac{11\pi}2 \Rightarrow -7,5<n\leqslant -6 \Rightarrow n=-7;-6 \Rightarrow x=-\dfrac{13\pi}2; -\dfrac{11\pi}2\)

 

2) \(-7\pi<x_2\leqslant -\dfrac{11\pi}2 \Rightarrow -14,5<m\leqslant -11,5 \Rightarrow m=-14;-13;-12 \Rightarrow x=-\dfrac{27\pi}4; -\dfrac{25\pi}4; -\dfrac{23\pi}4\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}2+\pi n,\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}2 m, \ n,m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{27\pi}4; -\dfrac{13\pi}2;-\dfrac{25\pi}4; -\dfrac{23\pi}4;-\dfrac{11\pi}2\)

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

а) Решите уравнение \[\sqrt{\pi}\mathrm{ctg}\,x+\sqrt3\sin x-\cos x=\sqrt{3\pi}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \(\left[-\pi;\dfrac{\pi}2\right]\).

Добавить задание в избранное

а) ОДЗ: \(\sin x\ne 0\). Решим на ОДЗ. Т.к. на ОДЗ \(\cos x=\dfrac{\cos x\sin x}{\sin x}=\mathrm{ctg}\,x\sin x \Rightarrow\)

 

\(\sqrt{\pi}\mathrm{ctg}\,x -\sin x\mathrm{ctg}\, x+\sqrt3\sin x-\sqrt3\cdot \sqrt{\pi}=0 \Rightarrow \mathrm{ctg}\, x(\sqrt{\pi} -\sin x)-\sqrt3(\sqrt{\pi}-\sin x)=0 \Rightarrow\)

 

\((\sqrt{\pi}-\sin x)(\mathrm{ctg}\, x-\sqrt3)=0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=\sqrt{\pi}\\ &\mathrm{ctg}\, x=\sqrt3 \end{aligned} \end{gathered}\right. \)

 

Т.к. \(\pi>3 \Rightarrow \sqrt{\pi}>\sqrt3>1 \Rightarrow\) уравнение \(\sin x=\sqrt{\pi}\) не имеет решений. Значит, решением исходного уравнения будет:

\[\mathrm{ctg}\, x=\sqrt3 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\]

б) Отберем корни:

\[-\pi\leqslant \dfrac{\pi}6+\pi n\leqslant \dfrac{\pi}2 \Rightarrow -\dfrac76\leqslant n \leqslant \dfrac13 \Rightarrow n=-1;0 \Rightarrow x=-\dfrac{5\pi}6;\dfrac{\pi}6\]

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+\pi n, n\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{5\pi}6;\dfrac{\pi}6\)

1 2 .... 4