а) Решите уравнение \[2\sin x\cdot \sin\dfrac{\pi}2\cdot \sin\dfrac{\pi}3+\sin 2x=0\]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \((-7\pi;-5\pi).\)
а) Для табличных углов \(\dfrac{\pi}2\) и \(\dfrac{\pi}3\) известно, что \(\sin \dfrac{\pi}2=1\) и \(\sin \dfrac{\pi}3=\dfrac{\sqrt3}2\).
По формуле синуса двойного угла \(\sin 2x=2\sin x\cos x\), следовательно
\(2\sin x\cdot 1\cdot \dfrac{\sqrt3}2+2\sin x\cos x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \sin x\left(\cos x+\dfrac{\sqrt3}2\right)=0 \quad \Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=0\\[2ex] &\cos x=-\dfrac{\sqrt3}2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pm \dfrac{5\pi}6+2\pi m, m\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\)
б) Отберем корни.
\(-7\pi<\pi n<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -7<n<-5\quad\Rightarrow\quad n=-6.\) Следовательно, \(x=-6\pi.\)
\(-7\pi<\dfrac{5\pi}6+2\pi m<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{47}{12}<m<-\dfrac{35}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-3.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{31\pi}6.\)
\(-7\pi<-\dfrac{5\pi}6+2\pi m<-5\pi \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac{37}{12}<m<-\dfrac{25}{12}\quad\Rightarrow\quad m=-3.\) Следовательно, \(x=-\dfrac{41\pi}6.\)
Ответ:
а) \(\pi n; \quad \pm \dfrac{5\pi}6+2\pi m;\quad n,m\in\mathbb{Z}\)
б) \(-\dfrac{41\pi}6; \ -\dfrac{31\pi}6; \ -6\pi\)