Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач на прямоугольник

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства прямоугольника:

 

\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:

 

\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;

\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\);


 

\(\blacktriangleright\) Диагонали равны;

 

\(\blacktriangleright\) Все углы прямые.

 

Признаки прямоугольника.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – прямоугольник:

 

\(\blacktriangleright\) все углы прямые;

 

\(\blacktriangleright\) диагонали равны и он является параллелограммом.

 

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.


 

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольнике \(ABCD\): \(AB = \dfrac{2}{5}BC\), периметр \(ABCD\) равен \(42\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Добавить задание в избранное

Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны, тогда \(2\cdot AB + 2\cdot BC = 42\), что при \(AB = \dfrac{2}{5}BC\) равносильно \(\dfrac{4}{5}BC + 2\cdot BC = 42\), откуда находим \(BC = 15\), значит, \(AB = 6\).

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по двум катетам, тогда их площади равны, следовательно, площадь треугольника \(ABC\) равна половине площади \(ABCD\) и равна \(0,5\cdot 6\cdot 15 = 45\).

Ответ: 45

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\) прямоугольника \(ABCD\). Площадь треугольника \(AED\) равна 3. Найдите площадь прямоугольника \(ABCD\).



Добавить задание в избранное

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, тогда площадь треугольника \(AED\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, опущенная из точки \(E\) на \(AD\). Пусть эта высота пересекает \(AD\) в точке \(F\), тогда \(FECD\) – параллелограмм (\(EF \parallel CD, \ EC \parallel FD\)), значит, \(h = CD\) и площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(AD \cdot h\), то есть она в два раза больше, чем площадь треугольника \(AED\) и, следовательно, равна 6.

Ответ: 6

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(O\) – точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\), \(\angle OAD = 28^{\circ}\). Найдите \(\angle AOD\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

В прямоугольнике диагонали пересекаются, точкой пересечения делятся пополам и равны, тогда \(AO = OD\), следовательно, \(\angle ADO = \angle OAD = 28^{\circ}\), тогда \(\angle AOD = 180^{\circ} - 2\cdot 28^{\circ} = 124^{\circ}\).

Ответ: 124

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка \(O\) делит сторону \(BC\) прямоугольника \(ABCD\) на отрезки \(7\) и \(1\), а расстояние от точки \(O\) до стороны \(AD\) равно \(3\). Найдите периметр прямоугольника.

Добавить задание в избранное


 

Расстояние от точки \(O\) до стороны \(AD\) совпадает с длиной смежных сторон к \(AD\), тогда \(P_{ABCD} = 2\cdot(7 + 1 + 3) = 22\).

Ответ: 22

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно \(2,5\). Найдите меньшую сторону прямоугольника.

 

(Задача от подписчиков.)

Добавить задание в избранное


 

Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH=2,5\) – расстояние от точки \(O\) до большей стороны.
Т.к. диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то \(BO=CO\). Следовательно, \(\triangle BOH=\triangle COH\) как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, \(BH=CH\). Таким образом, \(OH\) – средняя линия в \(\triangle ABC\), следовательно, она равна половине \(AB\). Значит, \(AB=2\cdot 2,5=5\).

Ответ: 5

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольнике \(ABCD\) диагональ \(AC = 2\cdot CD\). Найдите разность \(\angle BAC - \angle CAD\). Ответ дайте в градусах.



Добавить задание в избранное

Треугольник \(ACD\) – прямоугольный, причём в нём катет равен половине гипотенузы, значит этот катет лежит против угла в \(30^{\circ}\), то есть \(\angle CAD = 30^{\circ}\).

\(\angle BAC = 90^{\circ} - \angle CAD = 60^{\circ}\), тогда \(\angle BAC - \angle CAD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\).

Ответ: 30

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь прямоугольника равна \(16\). Найдите наименьшую из площадей треугольников, образующихся при пересечении диагоналей данного прямоугольника.

Добавить задание в избранное


 

Диагонали разобьют прямоугольник на \(4\) равных по площади треугольника.
Действительно, т.к. \(\triangle ABC=\triangle ADC\), то и их площади равны. Т.к. медиана делит треугольник на два треугольника, равных по площади, то \(S_{ABO}=S_{CBO}\) и \(S_{ADO}=S_{CDO}\).

 

Площадь каждого треугольника равна \(4\).

Ответ: 4

Выпускники, которые готовятся к сдаче экзамена по математике и рассчитывают на получение достойных баллов, непременно должны справляться с задачами ЕГЭ на нахождение углов, сторон и площадей прямоугольника. Подобные планиметрические задания встречаются в аттестационном испытании каждый год.

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Прямоугольник и его свойства», стоит вспомнить основные понятия из базового школьного курса. При этом рекомендуется следовать определенному алгоритму. Приступая к выполнению задания ЕГЭ, к примеру, на нахождение сторон прямоугольника, сделайте чертеж и отразите на нем все данные, которые известны согласно условию. Затем вспомните относящиеся к ним формулы и теоремы. Применив их, вы сможете найти правильный ответ.

Если задания ЕГЭ по теме «Прямоугольник и его свойства» вызывают у вас затруднения, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Здесь вы сможете освежить в памяти базовый теоретический материал и попрактиковаться в выполнении упражнений. Наши специалисты собрали как простые, так и более сложные задания.

Для каждого из них на сайте представлен подробный алгоритм решения.

Оттачивать практический навык школьники могут в режиме онлайн, находясь в любом городе России.