Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение задач на прямоугольник

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\).


 

Свойства прямоугольника:

 

\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:

 

\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;

\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\);


 

\(\blacktriangleright\) Диагонали равны;

 

\(\blacktriangleright\) Все углы прямые.

 

Признаки прямоугольника.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – прямоугольник:

 

\(\blacktriangleright\) все углы прямые;

 

\(\blacktriangleright\) диагонали равны и он является параллелограммом.

 

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.


 

Задание 1 #281
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольнике \(ABCD\): \(AB = \dfrac{2}{5}BC\), периметр \(ABCD\) равен \(42\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).



Так как прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то у него противоположные стороны равны, тогда \(2\cdot AB + 2\cdot BC = 42\), что при \(AB = \dfrac{2}{5}BC\) равносильно \(\dfrac{4}{5}BC + 2\cdot BC = 42\), откуда находим \(BC = 15\), значит, \(AB = 6\).

Треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по двум катетам, тогда их площади равны, следовательно, площадь треугольника \(ABC\) равна половине площади \(ABCD\) и равна \(0,5\cdot 6\cdot 15 = 45\).

Ответ: 45

Задание 2 #283
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка \(E\) лежит на стороне \(BC\) прямоугольника \(ABCD\). Площадь треугольника \(AED\) равна 3. Найдите площадь прямоугольника \(ABCD\).



Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, тогда площадь треугольника \(AED\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, опущенная из точки \(E\) на \(AD\). Пусть эта высота пересекает \(AD\) в точке \(F\), тогда \(FECD\) – параллелограмм (\(EF \parallel CD, \ EC \parallel FD\)), значит, \(h = CD\) и площадь прямоугольника \(ABCD\) равна \(AD \cdot h\), то есть она в два раза больше, чем площадь треугольника \(AED\) и, следовательно, равна 6.

Ответ: 6

Задание 3 #284
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(O\) – точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\), \(\angle OAD = 28^{\circ}\). Найдите \(\angle AOD\). Ответ дайте в градусах.



В прямоугольнике диагонали пересекаются, точкой пересечения делятся пополам и равны, тогда \(AO = OD\), следовательно, \(\angle ADO = \angle OAD = 28^{\circ}\), тогда \(\angle AOD = 180^{\circ} - 2\cdot 28^{\circ} = 124^{\circ}\).

Ответ: 124

Задание 4 #1698
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Точка \(O\) делит сторону \(BC\) прямоугольника \(ABCD\) на отрезки \(7\) и \(1\), а расстояние от точки \(O\) до стороны \(AD\) равно \(3\). Найдите периметр прямоугольника.


 

Расстояние от точки \(O\) до стороны \(AD\) совпадает с длиной смежных сторон к \(AD\), тогда \(P_{ABCD} = 2\cdot(7 + 1 + 3) = 22\).

Ответ: 22

Задание 5 #2643
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно \(2,5\). Найдите меньшую сторону прямоугольника.

 

(Задача от подписчиков.)


 

Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH=2,5\) – расстояние от точки \(O\) до большей стороны.
Т.к. диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то \(BO=CO\). Следовательно, \(\triangle BOH=\triangle COH\) как прямоугольные по катету и гипотенузе. Следовательно, \(BH=CH\). Таким образом, \(OH\) – средняя линия в \(\triangle ABC\), следовательно, она равна половине \(AB\). Значит, \(AB=2\cdot 2,5=5\).

Ответ: 5

Задание 6 #2713
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольнике \(ABCD\) диагональ \(AC = 2\cdot CD\). Найдите разность \(\angle BAC - \angle CAD\). Ответ дайте в градусах.



Треугольник \(ACD\) – прямоугольный, причём в нём катет равен половине гипотенузы, значит этот катет лежит против угла в \(30^{\circ}\), то есть \(\angle CAD = 30^{\circ}\).

\(\angle BAC = 90^{\circ} - \angle CAD = 60^{\circ}\), тогда \(\angle BAC - \angle CAD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\).

Ответ: 30

Задание 7 #2714
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь прямоугольника равна \(16\). Найдите наименьшую из площадей треугольников, образующихся при пересечении диагоналей данного прямоугольника.


 

Диагонали разобьют прямоугольник на \(4\) равных по площади треугольника.
Действительно, т.к. \(\triangle ABC=\triangle ADC\), то и их площади равны. Т.к. медиана делит треугольник на два треугольника, равных по площади, то \(S_{ABO}=S_{CBO}\) и \(S_{ADO}=S_{CDO}\).

 

Площадь каждого треугольника равна \(4\).

Ответ: 4

Выпускники, которые готовятся к сдаче экзамена по математике и рассчитывают на получение достойных баллов, непременно должны справляться с задачами ЕГЭ на нахождение углов, сторон и площадей прямоугольника. Подобные планиметрические задания встречаются в аттестационном испытании каждый год.

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Прямоугольник и его свойства», стоит вспомнить основные понятия из базового школьного курса. При этом рекомендуется следовать определенному алгоритму. Приступая к выполнению заданий ЕГЭ, к примеру, на нахождение сторон прямоугольника или геометрические свойства ромба, сделайте чертеж и отразите на нем все данные, которые известны согласно условию. Затем вспомните относящиеся к ним формулы и теоремы. Применив их, вы сможете найти правильный ответ.

Если задания ЕГЭ по теме «Прямоугольник и его свойства» вызывают у вас затруднения, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Здесь вы сможете освежить в памяти базовый теоретический материал и попрактиковаться в выполнении упражнений. Наши специалисты собрали как простые, так и более сложные задания.

Для каждого из них на сайте представлен подробный алгоритм решения.

Оттачивать практический навык школьники могут в режиме онлайн, находясь в любом городе России.