Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые степенные выражения

\(\blacktriangleright\) Выражение \(a^n\) называется степенью, \(a\) – основанием степени, \(n\) – показателем степени.

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы:

 

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{2^{15}}{2^{7}}\).

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{2^{15}}{2^{7}} = 2^{15 - 7} = 2^8 = 256.\]

Ответ: 256

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{3^{111}}{3^{-110}}\cdot 3^{-220}\).

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{3^{111}}{3^{-110}}\cdot 3^{-220} = 3^{111 - (-110)}\cdot 3^{-220} = 3^{221}\cdot 3^{-220} = 3^{221 - 220} = 3^1 = 3.\]

Ответ: 3

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{11^{5,4}}{121^{2,2}}\).

Добавить задание в избранное

Знаменатель представим в виде \(121^{2,2} = (11^2)^{2,2} = 11^{2 \ \! \cdot \ \! 2,2} = 11^{4,4}\).

Теперь исходное выражение представим в эквивалентном виде и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: \[\dfrac{11^{5,4}}{11^{4,4}} = 11^{5,4 - 4,4} = 11^1 = 11.\]

Ответ: 11

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{5^{1,4} \cdot 17^{3,4}}{85^{2,4}}\).

Добавить задание в избранное

Знаменатель представим в виде \(85^{2,4} = (5 \cdot 17)^{2,4} = 5^{2,4} \cdot 17^{2,4}\).

Теперь исходное выражение представим в эквивалентном виде и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: \[\dfrac{5^{1,4} \cdot 17^{3,4}}{5^{2,4} \cdot 17^{2,4}} = \dfrac{5^{1,4}}{5^{2,4}} \cdot \dfrac{17^{3,4}}{17^{2,4}} = 5^{1,4 - 2,4} \cdot 17^{3,4 - 2,4} = 5^{-1} \cdot 17^1 = \dfrac{17}{5} = 3,4.\]

Ответ: 3,4

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{17^{2,8 + 4\pi}}{289^{0,9 + 2\pi}}\).

Добавить задание в избранное

Знаменатель представим в виде \(289^{0,9 + 2\pi} = (17^2)^{0,9 + 2\pi} = 17^{2\cdot (0,9 + 2\pi)} = 17^{1,8 + 4\pi}\).

Теперь исходное выражение представим в эквивалентном виде и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: \[\dfrac{17^{2,8 + 4\pi}}{17^{1,8 + 4\pi}} = 17^{2,8 + 4\pi - (1,8 + 4\pi)} = 17^1 = 17.\]

Ответ: 17

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{3^{3,4 + \sqrt{2}} \cdot 11^{2,4 + \sqrt{2}}}{33^{1,4 + \sqrt{2}}}\).

Добавить задание в избранное

Знаменатель представим в виде \(33^{1,4 + \sqrt{2}} = (3 \cdot 11)^{1,4 + \sqrt{2}} = 3^{1,4 + \sqrt{2}} \cdot 11^{1,4 + \sqrt{2}}\).

Теперь исходное выражение представим в эквивалентном виде и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковыми основаниями: \[\dfrac{3^{3,4 + \sqrt{2}} \cdot 11^{2,4 + \sqrt{2}}}{3^{1,4 + \sqrt{2}} \cdot 11^{1,4 + \sqrt{2}}} = \dfrac{3^{3,4 + \sqrt{2}}}{3^{1,4 + \sqrt{2}}} \cdot \dfrac{11^{2,4 + \sqrt{2}}}{11^{1,4 + \sqrt{2}}} = 3^{3,4 + \sqrt{2} - (1,4 + \sqrt{2})} \cdot 11^{2,4 + \sqrt{2} - (1,4 + \sqrt{2})} = 3^{2} \cdot 11^1 = 99.\]

Ответ: 99

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{22^4\cdot3^3}{6^2\cdot121^2}\).

Добавить задание в избранное

\[\frac{22^4\cdot3^3}{6^2\cdot121^2} = \frac{(2\cdot11)^4\cdot3^3}{(2\cdot3)^2\cdot(11^2)^2} = \frac{2^4\cdot11^4\cdot3^3}{2^2\cdot3^2\cdot11^4} = 2^2\cdot3 = 4\cdot3 = 12\]

Ответ: 12