Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Разложение чисел на простые множители

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разложите число 2016 на простые множители.

Добавить задание в избранное

Будем делить число \(2016\) на \(2\) до тех пор, пока не получится нечетное число: \[2016\rightarrow 1008\rightarrow 504\rightarrow 252\rightarrow 126\rightarrow 63.\] Затем будем делить на \(3\): \[63\rightarrow 21\rightarrow 7.\] Итак, \[2016=2^5\cdot3^2\cdot7.\] Степени мы определили посчитав то, сколько раз мы делили на то или иное число \((\text{на} \ 2,\text{на} \ 3,\text{на} \ 7)\).

Ответ:

\(2^5\cdot 3^2\cdot 7\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 10000. Найдите сумму этих чисел.

Добавить задание в избранное

Так как \(10000 = 2^4\cdot5^4\), то каждое из чисел может содержать в своем разложении на простые множители только \(2\) и \(5\). Заметим, что если число одновременно содержит и двойку и пятерку в своем разложении, то оно делится на \(10\), что противоречит условию.

Поэтому одно число содержит только двойки и значит оно равно \(2^4=16\), а второе число содержит только пятерки и значит оно равно \(5^4=625\). Тогда сумма этих чисел равна \(16+625=641\).

Ответ:

\(641\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно \(594\)?

Добавить задание в избранное

Разложим число \(594\) на простые множители: \[594 = 2\cdot 3^3\cdot 11.\]

Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложении на простые множители число \(11\) (цифры – это: \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 0)\). Следовательно, такого числа не существует.

Ответ:

Нет

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно \(1330\)?

Добавить задание в избранное

Разложим число \(1330\) на простые множители: \[1330 = 2\cdot 5\cdot 7\cdot 19.\]

Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложении на простые множители число \(19\) (цифры – это: \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 0)\). Следовательно, такого числа не существует.

Ответ:

Нет

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Может ли у натурального числа быть ровно \(3\) различных натуральных делителя?

Добавить задание в избранное

У числа \(N\) всегда есть натуральные делители \(1\) и \(N\). При \(N\neq 1\) эти делители различны. Также понятно, что \(N = 1\) не подходит.

Если у числа \(N\) есть делитель \(a\), то у него есть и делитель \(b = N : a\). Чтобы количество делителей у \(N\) было нечётным, необходимо, чтобы для некоторого делителя \(a\) было выполнено \(N : a = a\), то есть должно быть выполнено \(N = a^2\).

Для делимости \(N\) только на \(1\), \(N\) и \(a\) необходимо и достаточно, чтобы \(a\) было простым, то есть разложение \(N\) на простые множители должно иметь вид \(N = a^2\). Таким образом, например, подходит число \(N = 3^2 = 9\).

Ответ:

Да

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Является ли число \(2017!\) полным квадратом?

Добавить задание в избранное

Пусть \(N = M^2\), \(M\in\mathbb{N}\), при этом пусть \(N\) делится на простое число \(p\), тогда \(M^2\) делится на \(p\). Если бы при этом \(M\) не делилось на \(p\), то \(M\) имело бы разложение на простые множители вида \(M = {p_1}^{a_1}\cdot ...\cdot {p_k}^{a_k}\), где при любом \(i\in\{1, ..., k\}\) \(p_i\neq p\), но тогда \(M^2 = {p_1}^{2a_1}\cdot ...\cdot {p_k}^{2a_k}\) – тоже не делилось бы на \(p\). Таким образом, \(M\) делится на \(p\), но тогда \(M^2\) делится на \(p^2\), то есть если квадрат натурального числа делится на данное простое число, то он делится и на квадрат данного простого числа.

Число \(2017!\) не может быть полным квадратом, так как оно делится на простое число \(2017\), но не делится на \(2017^2\) (в произведении \(1\cdot 2\cdot ...\cdot 2017\) есть только один множитель, который делится на \(2017\), и равен он \(2017\)).

Ответ:

Нет

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких натуральных \(n\) число \(4n^2 - 9\) является степенью простого числа (первой, второй, третьей и т.д.)?

Добавить задание в избранное

\[4n^2 - 9 = (2n - 3)(2n + 3)\]

Так как \(4n^2 - 9 = p^m\) для некоторого простого \(p\), то все отличные от \(1\) делители этого числа тоже должны быть степенями \(p\). Тогда либо

\(1)\) \(2n - 3 = 1\), либо

\(2)\) \[\begin{cases} 2n - 3 = p^k\\ 2n + 3 = p^{k+l} \end{cases}\] В случае \(1)\) имеем: \(n = 2\), тогда \(4n^2 - 9 = 7 = 7^1\) – подходит по условию.
В случае \(2)\) имеем: \[p^{k+l} - p^k = 6\qquad\Leftrightarrow\qquad p^k(p^l - 1) = 6\,,\] то есть \(6 = 2\cdot 3\) должно делиться на \(p^k\) – степень простого числа, что возможно только в случае, когда \(p^k = 2\) или \(p^k = 3\).

При \(p^k = 2\) имеем: \(p = 2\), \(k = 1\), \(n = 2,5\) – не подходит.

При \(p^k = 3\) имеем: \(p = 3\), \(k = 1\), \(n = 3\), тогда \(4n^2 - 9 = 27 = 3^3\) – подходит по условию.

Итого: ответ \(n = 2\), \(n = 3\).

Ответ:

2, 3