Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Разложение чисел на простые множители

Задание 1 #1100
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разложите число 2016 на простые множители.

Добавить задание в избранное

Будем делить число \(2016\) на \(2\) до тех пор, пока не получится нечетное число: \[2016\rightarrow 1008\rightarrow 504\rightarrow 252\rightarrow 126\rightarrow 63.\] Затем будем делить на \(3\): \[63\rightarrow 21\rightarrow 7.\] Итак, \[2016=2^5\cdot3^2\cdot7.\] Степени мы определили посчитав то, сколько раз мы делили на то или иное число \((\text{на} \ 2,\text{на} \ 3,\text{на} \ 7)\).

Ответ:

\(2^5\cdot 3^2\cdot 7\)

Задание 2 #1101
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 10000. Найдите сумму этих чисел.

Добавить задание в избранное

Так как \(10000 = 2^4\cdot5^4\), то каждое из чисел может содержать в своем разложении на простые множители только \(2\) и \(5\). Заметим, что если число одновременно содержит и двойку и пятерку в своем разложении, то оно делится на \(10\), что противоречит условию.

Поэтому одно число содержит только двойки и значит оно равно \(2^4=16\), а второе число содержит только пятерки и значит оно равно \(5^4=625\). Тогда сумма этих чисел равна \(16+625=641\).

Ответ:

\(641\)

Задание 3 #1102
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно \(594\)?

Добавить задание в избранное

Разложим число \(594\) на простые множители: \[594 = 2\cdot 3^3\cdot 11.\]

Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложении на простые множители число \(11\) (цифры – это: \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 0)\). Следовательно, такого числа не существует.

Ответ:

Нет

Задание 4 #1103
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно \(1330\)?

Добавить задание в избранное

Разложим число \(1330\) на простые множители: \[1330 = 2\cdot 5\cdot 7\cdot 19.\]

Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложении на простые множители число \(19\) (цифры – это: \(1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9, \ 0)\). Следовательно, такого числа не существует.

Ответ:

Нет

Задание 5 #2241
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Может ли у натурального числа быть ровно \(3\) различных натуральных делителя?

Добавить задание в избранное

У числа \(N\) всегда есть натуральные делители \(1\) и \(N\). При \(N\neq 1\) эти делители различны. Также понятно, что \(N = 1\) не подходит.

Если у числа \(N\) есть делитель \(a\), то у него есть и делитель \(b = N : a\). Чтобы количество делителей у \(N\) было нечётным, необходимо, чтобы для некоторого делителя \(a\) было выполнено \(N : a = a\), то есть должно быть выполнено \(N = a^2\).

Для делимости \(N\) только на \(1\), \(N\) и \(a\) необходимо и достаточно, чтобы \(a\) было простым, то есть разложение \(N\) на простые множители должно иметь вид \(N = a^2\). Таким образом, например, подходит число \(N = 3^2 = 9\).

Ответ:

Да

Задание 6 #2242
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Является ли число \(2017!\) полным квадратом?

Добавить задание в избранное

Пусть \(N = M^2\), \(M\in\mathbb{N}\), при этом пусть \(N\) делится на простое число \(p\), тогда \(M^2\) делится на \(p\). Если бы при этом \(M\) не делилось на \(p\), то \(M\) имело бы разложение на простые множители вида \(M = {p_1}^{a_1}\cdot ...\cdot {p_k}^{a_k}\), где при любом \(i\in\{1, ..., k\}\) \(p_i\neq p\), но тогда \(M^2 = {p_1}^{2a_1}\cdot ...\cdot {p_k}^{2a_k}\) – тоже не делилось бы на \(p\). Таким образом, \(M\) делится на \(p\), но тогда \(M^2\) делится на \(p^2\), то есть если квадрат натурального числа делится на данное простое число, то он делится и на квадрат данного простого числа.

Число \(2017!\) не может быть полным квадратом, так как оно делится на простое число \(2017\), но не делится на \(2017^2\) (в произведении \(1\cdot 2\cdot ...\cdot 2017\) есть только один множитель, который делится на \(2017\), и равен он \(2017\)).

Ответ:

Нет

Задание 7 #2243
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

При каких натуральных \(n\) число \(4n^2 - 9\) является степенью простого числа (первой, второй, третьей и т.д.)?

Добавить задание в избранное

\[4n^2 - 9 = (2n - 3)(2n + 3)\]

Так как \(4n^2 - 9 = p^m\) для некоторого простого \(p\), то все отличные от \(1\) делители этого числа тоже должны быть степенями \(p\). Тогда либо

\(1)\) \(2n - 3 = 1\), либо

\(2)\) \[\begin{cases} 2n - 3 = p^k\\ 2n + 3 = p^{k+l} \end{cases}\] В случае \(1)\) имеем: \(n = 2\), тогда \(4n^2 - 9 = 7 = 7^1\) – подходит по условию.
В случае \(2)\) имеем: \[p^{k+l} - p^k = 6\qquad\Leftrightarrow\qquad p^k(p^l - 1) = 6\,,\] то есть \(6 = 2\cdot 3\) должно делиться на \(p^k\) – степень простого числа, что возможно только в случае, когда \(p^k = 2\) или \(p^k = 3\).

При \(p^k = 2\) имеем: \(p = 2\), \(k = 1\), \(n = 2,5\) – не подходит.

При \(p^k = 3\) имеем: \(p = 3\), \(k = 1\), \(n = 3\), тогда \(4n^2 - 9 = 27 = 3^3\) – подходит по условию.

Итого: ответ \(n = 2\), \(n = 3\).

Ответ:

2, 3

Практика последних лет показывает, что при сдаче Единого государственного экзамена по математике многие выпускники столкнулись с трудностями в решении уравнений, связанных с разложением натуральных чисел на простые множители. При подготовке к итоговому тестированию, чтобы справиться с подобными заданиями, им следует уделить особое внимание. На портале «Школково» вы сможете подтянуть знания в решении примеров с разложением на множители различного уровня сложности.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для качественной подготовки к аттестационному тестированию по математике!

Без проблем выполнять разложение чисел на простые множители в больших составных уравнениях поможет наш образовательный портал. На сайте представлено все необходимое для изучения различных тематик. Наши преподаватели собрали, систематизировали и предоставили информацию в самой простой и понятной форме, поэтому у школьников не возникнет трудностей в повторении и усвоении материала. Они смогут выполнять не только базовые упражнения, но и задачи повышенной сложности.

На нашем сайте вы найдете правила, формулы и примеры решения задач на разложение произведения простых чисел на множители. В разделе «Теоретическая справка» ученики могут повторить пройденные ранее материалы и освежить знания. Блок «Каталоги» позволяет потренироваться в решении задач.

Советуем начать с простых примеров и постепенно поднимать уровень. Таким образом вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить больше внимания конкретным типам задач с особым алгоритмом выполнения. Если у вас не возникло трудностей после решения нескольких легких уравнений, смело переходите к упражнениям среднего уровня. Задания, которые требуют разъяснений преподавателя, можно добавить в «Избранное», так вы легко найдете вызвавший затруднения пример позже.

База знаний на портале «Школково» постоянно обновляется и дополняется новыми примерами. Благодаря этому у выпускников всегда большой выбор задач различного уровня сложности. А чтобы занятия были максимально эффективными, рекомендуем обращаться к нашему онлайн-сервису каждый день.

Начните подготовку к итоговому тестированию по математике уже сегодня вместе со «Школково», и результат не заставит себя ждать! Уже совсем скоро вы будете легко справляться с теми заданиями на разложение чисел на множители, которые казались вам очень сложными!

Обращаем ваше внимание, что упражнения на нашем портале доступны любому желающему подтянуть свои знания по обязательным предметам. Чтобы начать подготовку к ЕГЭ, зарегистрируйтесь на сайте, так вы сохраните личные результаты и сможете проследить за прогрессом.