а) Будем искать такую последовательность в виде \[A, A + B, A, B, A - B, 2B - A, 2A - 3B, 5B - 3A, 5A - 8B, 13B - 8A, ...\] (каждый последующий член равен разности двух предыдущих). Чтобы такая последовательность подходила под условие, необходимо и достаточно, чтобы
\[\begin{cases}
A > B > A - B > 2B - A > 2A - 3B > 5B - 3A > 5A - 8B > 13B - 8A > 0\\
A, B\in\mathbb{N}.
\end{cases}\]
Данная система эквивалентна системе
\[\begin{cases}
\dfrac{21}{13}B < A < \dfrac{13}{8}B\\
A, B\in\mathbb{N}.
\end{cases}
\qquad\Leftrightarrow\qquad
\begin{cases}
\dfrac{336}{208}B < A < \dfrac{338}{208}B\\
A, B\in\mathbb{N}.
\end{cases}\]
Таким образом, можно взять, например, \(A = 337\), \(B = 208\). При этом получим последовательность
\[337, 545, 337, 208, 129, 79, 50, 29, 21, 8, ...\]
б) Если какой-то из членов последовательности равен \(0\), то, начиная с него, все члены последовательности равны \(0\) (так как результат деления на \(0\) не может совпасть ни с каким действительным числом).
Пусть никакой из членов последовательности не равен \(0\).
1) Пусть \(a_1 > a_2\). Так как остаток от деления не может быть больше делителя, то \(a_2 > a_3 > a_4 > ...\), то есть последовательность убывает.
При этом остатки от деления натуральных чисел будут натуральными числами (\(0\) мы запретили), то есть каждый следующий член последовательности будет натуральным числом, меньшим предыдущего по крайней мере на \(1\).
Тогда член последовательности с номером \(N = a_1\) должен быть натуральным числом, меньшим, чем \(a_1\) по крайней мере на \(N = a_1\), что невозможно.
2) Пусть \(a_2 > a_1\), тогда \(a_3 = a_1\) и этот пункт сводится к пункту 1) при помощи смены обозначений \(a_2 = b_1\), \(a_3 = b_2\), ..., \(a_{n + 1} = b_n\) и дословного повторения рассуждения для последовательности \(b_1, ..., b_n, ...\).
Таким образом, последовательностей, подходящих под условие, у которых никакой из членов не равен \(0\), не бывает. Тогда, начиная с некоторого номера, все члены последовательности Тимура равны \(0\) и, значит, \(T = 1\).
Ответ:
а) \(337, 545, 337, 208, 129, 79, 50, 29, 21, 8, ...\)
б) \(1\)