Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник - выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.


 

\(\blacktriangleright\) Каждый угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

 

\(\blacktriangleright\) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на \(6\) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \[S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

К окружности, описанной около правильного шестиугольника \(ABCDEF\), в точке \(A\) проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой \(AD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке \(AD\), то есть \(AD\) – диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и \(AD\) равен \(90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен \(\sqrt{12}\). Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника радиус \(r\) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.


 

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне \(a\). Тогда из прямоугольного треугольника:

\[a^2=\left(\frac a2\right)^2+r^2 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac 2{\sqrt3}\,r \quad\Rightarrow \quad a=\dfrac2{\sqrt3}\cdot \sqrt{12}=4\]

Таким образом, и радиус описанной окружности равен \(4\).

Ответ: 4

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь правильного шестиугольника равна \(24\sqrt3\). Найдите длину его большей диагонали.

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если \(AB=a\), то \(AD=BF=CE=2a\).


 

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна \(\frac{\sqrt3}4 a^2\), то площадь всего шестиугольника равна

\[S=6\cdot \dfrac{\sqrt3}4a^2=24\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad a=4 \quad \Rightarrow \quad AD=2a=8.\]

Ответ: 8

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\). Расстояние от точки \(O\) до одной из его сторон равно \(4\sqrt{3}\). Найдите радиус этой окружности.

Добавить задание в избранное





Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

\(OK\) – высота в треугольнике \(AOF\), опущенная из \(O\). Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то \(OK = 4\sqrt{3}\).
Пусть \(R\) – радиус описанной окружности, тогда \(OF = R\), \(KF = 0,5R\) (так как \(OK\) ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора \(R^2 = (0,5R)^2 + (4\sqrt{3})^2\), откуда \(R = 8\).

Ответ: 8

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона правильного шестиугольника \(ABCDEF\) равна \(\sqrt[4]{3}\). Найдите его площадь.

Добавить задание в избранное

Пусть \(O\) – центр описанной около \(ABCDEF\) окружности



тогда треугольники \(AOF\), \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOE\), \(EOF\) – равносторонние и все они попарно равны.
\[S_{\triangle{AOF}} = 0,5 AF^2 \cdot \sin{60^{\circ}} = \dfrac{AF^2\sqrt{3}}{4}, \qquad\qquad S_{ABCDEF} = 6\cdot S_{\triangle{AOF}} = \dfrac{3\sqrt{3}AF^2}{2}.\] В данной задаче \(S_{ABCDEF} = 6\cdot S_{\triangle{AOF}} = \dfrac{3\sqrt{3}AF^2}{2} = 4,5\).

Ответ: 4,5

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника со стороной \(\sqrt{108}\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим правильный шестиугольник \(ABCDFE\) и в нем треугольник \(ABC\). Параллельными сторонами являются пары \(AB\) и \(DF\), \(BC\) и \(FE\), \(CD\) и \(EA\).
Помним, что угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\).


 

\(\triangle ABC\) равнобедренный (\(AB=BC\,\)), следовательно, \(\angle BAC=0,5\cdot (180^\circ-120^\circ)=30^\circ\). Таким образом, \(\angle CAE=120^\circ-30^\circ=90^\circ\).

 

Следовательно, \(AC\) – расстояние между сторонами \(AE\) и \(CD\) (по определению расстояние между двумя параллельными прямыми – отрезок, проведенный из любой точки одной прямой перпендикулярно ко второй прямой).

Найдем \(AC\) по теореме косинусов (\(AB=BC=a=\sqrt{108}\)):

 

\(AC^2=a^2+a^2-2a^2\cdot \cos120^\circ=2a^2(1-\cos120^\circ)=2\cdot 108\cdot \left(1+\frac12\right)=3\cdot 108 \quad \Rightarrow \)

 

\(\Rightarrow \quad AC=\sqrt{3\cdot 108}=\sqrt{3\cdot 3\cdot 36}=3\cdot 6=18.\)

Ответ: 18

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\). Во сколько раз площадь этого шестиугольника больше площади треугольника \(AOK\), где \(K\) – середина стороны \(BC\).

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника центр описанной окружности лежит на пересечении больших его диагоналей. Следовательно, \(AO\) – радиус описанной окружности. Также по свойству радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника, следовательно, \(AB=AO=x\).

 

Т.к. \(\triangle AOB\) – правильный, то \(\angle AOB=60^\circ\). \(\triangle BOC\) также правильный. Т.к. по условию \(OK\) – медиана в правильном \(\triangle BOC\), то она и биссектриса, то есть \(\angle BOK=\frac12\cdot 60^\circ=30^\circ\). Таким образом, \(\angle AOK=90^\circ\), то есть \(\triangle AOK\) – прямоугольный.


 

Следовательно, \[S_{\triangle AOK}=\dfrac12\cdot AO\cdot OK=\dfrac x2\cdot OK\]

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести правильных треугольников:

\[S_{ABCDEF}=6\cdot \dfrac12\cdot BC\cdot OK=6\cdot \dfrac x2\cdot OK\]

Таким образом, \[\dfrac{S_{ABCDEF}}{S_{\triangle AOK}}=6.\]

Ответ: 6

Теме «Правильный шестиугольник и его свойства» в ЕГЭ по математике традиционно отводится сразу несколько заданий. Причем в зависимости от условия от учащегося может требоваться как развернутый, так и краткий ответ. Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т. д.

Восполнить пробелы в знаниях, «прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Наши специалисты подготовили и изложили весь базовый материал для подготовки к ЕГЭ в максимально доступной форме.

Чтобы школьники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем повторить базовые понятия: каковы свойства правильного шестиугольника, описанного около окружности, как вычисляется его площадь, чему равны его углы и т. д. Весь необходимый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Он был разработан нашими сотрудники на основе богатого практического опыта.

Для закрепления полученных знаний предлагаем потренироваться в решении соответствующих задач. Найти их вы сможете в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлены алгоритм решения и правильный ответ.

Готовиться к ЕГЭ школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.