Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник - выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.


 

\(\blacktriangleright\) Каждый угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

 

\(\blacktriangleright\) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на \(6\) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

 

\(\blacktriangleright\) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

 

\(\blacktriangleright\) Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \[S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\]

Задание 1 #2430
Уровень задания: Равен ЕГЭ

К окружности, описанной около правильного шестиугольника \(ABCDEF\), в точке \(A\) проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой \(AD\). Ответ дайте в градусах.

Добавить задание в избранное



Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке \(AD\), то есть \(AD\) – диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и \(AD\) равен \(90^\circ\).

Ответ: 90

Задание 2 #2427
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен \(\sqrt{12}\). Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника радиус \(r\) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.


 

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне \(a\). Тогда из прямоугольного треугольника:

\[a^2=\left(\frac a2\right)^2+r^2 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac 2{\sqrt3}\,r \quad\Rightarrow \quad a=\dfrac2{\sqrt3}\cdot \sqrt{12}=4\]

Таким образом, и радиус описанной окружности равен \(4\).

Ответ: 4

Задание 3 #3589
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр правильного шестиугольника равен \(72\). Найдите диаметр описанной окружности.

Добавить задание в избранное

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:



Так как угол правильного шестиугольника равен \(180^\circ(6-2):6=120^\circ\), а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, \(\angle BAO=\angle ABO=60^\circ\), следовательно, \(\triangle ABO\) – равносторонний. То есть радиус окружности равен \(AO\) и равен \(AB\). Так как периметр шестиугольника равен \(72\), то его сторона равна \(72:6=12\). Тогда диаметр описанной окружности равен \(2\cdot 12=24\).

Ответ: 24

Задание 4 #3588
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной \(\sqrt3\).

Добавить задание в избранное

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2\cdot (\sqrt3)^2=3\sqrt3\cdot r\quad\Rightarrow\quad r=1,5\]

Ответ: 1,5

Задание 5 #3587
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен \(\sqrt3\).

Добавить задание в избранное

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2a^2=3a\cdot \sqrt3\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Ответ: 2

Задание 6 #2429
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь правильного шестиугольника равна \(24\sqrt3\). Найдите длину его большей диагонали.

Добавить задание в избранное

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если \(AB=a\), то \(AD=BF=CE=2a\).


 

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна \(\frac{\sqrt3}4 a^2\), то площадь всего шестиугольника равна

\[S=6\cdot \dfrac{\sqrt3}4a^2=24\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad a=4 \quad \Rightarrow \quad AD=2a=8.\]

Ответ: 8

Задание 7 #666
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Около правильного шестиугольника \(ABCDEF\) описана окружность с центром в точке \(O\). Расстояние от точки \(O\) до одной из его сторон равно \(4\sqrt{3}\). Найдите радиус этой окружности.

Добавить задание в избранное





Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

\(OK\) – высота в треугольнике \(AOF\), опущенная из \(O\). Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то \(OK = 4\sqrt{3}\).
Пусть \(R\) – радиус описанной окружности, тогда \(OF = R\), \(KF = 0,5R\) (так как \(OK\) ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора \(R^2 = (0,5R)^2 + (4\sqrt{3})^2\), откуда \(R = 8\).

Ответ: 8

Теме «Правильный шестиугольник и его свойства» в ЕГЭ по математике традиционно отводится сразу несколько заданий. Причем в зависимости от условия от учащегося может требоваться как развернутый, так и краткий ответ. Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т. д.

Восполнить пробелы в знаниях, «прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Наши специалисты подготовили и изложили весь базовый материал для подготовки к ЕГЭ в максимально доступной форме.

Чтобы школьники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем повторить базовые понятия: каковы свойства правильного шестиугольника, описанного около окружности, как вычисляется его площадь, чему равны его углы и т. д. Весь необходимый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Он был разработан нашими сотрудники на основе богатого практического опыта.

Для закрепления полученных знаний предлагаем потренироваться в решении соответствующих задач, а также заданий по теме «Параллелограмм в ЕГЭ». Найти их вы сможете в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлены алгоритм решения и правильный ответ.

Готовиться к ЕГЭ школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.