Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на тему «Цилиндр»

Прямой цилиндр:

 

\(\blacktriangleright\) Ось цилиндра – прямая, соединяющая центры его оснований.
Отрезок, соединяющий центры оснований – высота.

 

\(\blacktriangleright\) Образующая цилиндра – перпендикуляр, проведенный из точки границы одного основания к другому основанию.
Заметим, что образующая и высота цилиндра равны друг другу.

 

\(\blacktriangleright\) Площадь боковой поверхности цилиндра \({\Large{S_{\text{бок.пов.}}=2\pi rh}}\), где \(r\) – радиус основания, \(h\) – высота (или образующая).

 

\(\blacktriangleright\) Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей оснований. \[{\Large{S_{\text{полн.пов.}}=2\pi rh+2\pi r^2}}\]

\(\blacktriangleright\) Объем цилиндра \({\Large{V=S_{\text{осн}}\cdot h=\pi r^2h}}\)


 

Заметим, что прямой цилиндр имеет некоторое сходство с прямой призмой, только в ее основаниях лежат многоугольники (граница которых – ломаная), а в основаниях цилиндра – круги (граница которых гладкая).
Поэтому можно сказать, что боковая поверхность прямой призмы “ребристая”, а цилиндра – “гладкая”.

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Про прямые круговые цилиндры \(C_1\) и \(C_2\) известно, что у \(C_1\) радиус основания в два раза больше, чем у \(C_2\), но у \(C_2\) высота в три раза больше, чем у \(C_1\). Найдите отношение объёма цилиндра \(C_2\) к объёму \(C_1\).

Добавить задание в избранное

Обозначим высоту цилиндра \(C_1\) через \(h_1\), а высоту цилиндра \(C_2\) через \(h_2\). Обозначим радиус основания цилиндра \(C_1\) через \(r_1\), а радиус основания цилиндра \(C_2\) через \(r_2\). Тогда \[r_1 = 2r_2,\qquad h_2 = 3h_1\,.\]

Объём цилиндра \(C_1\) равен \(\pi {r_1}^2 h_1 = 4\pi {r_2}^2 h_1\), а объём цилиндра \(C_2\) равен \(3\pi {r_2}^2 h_1\), тогда \[\dfrac{V_{C_2}}{V_{C_1}} = \dfrac{3\pi {r_2}^2 h_1}{4\pi {r_2}^2 h_1} = 0,75\]

Ответ: 0,75

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем цилиндра равен \(64\pi\), а площадь боковой поверхности равна \(32\pi\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Формулы для нахождения объема и боковой поверхности цилиндра: \(V = \pi R^2 h\), \(S_{\text{бок}} = 2\pi R h\). Зная величину объема и боковой поверхности, можно выразить радиус цилиндра: \[\frac{V}{S_{\text{бок}}} = \frac{\pi R^2 h}{2\pi R h} = \frac{R}{2} = \frac{64\pi}{32\pi} = 2\] \(\Rightarrow\) \(R = 4\). Площадь полной поверхности складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований: \[S_{\text{полн}} = 2\pi R h + 2 \pi R^2 = 32\pi + 2 \cdot 16\pi = 64\pi.\] Осталось разделить полученный объем на \(\pi\), тогда окончательно получаем \(64\).

Ответ: 64

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объем цилиндра равен \(100\pi\), а площадь боковой поверхности равна \(25\pi\). Найдите высоту цилиндра.

Добавить задание в избранное

Формулы для нахождения объема и боковой поверхности цилиндра: \(V = \pi R^2 h\), \(S_{\text{бок}} = 2\pi R h\). Зная величину объема и боковой поверхности, можно выразить радиус цилиндра: \[\frac{V}{S_{\text{бок}}} = \frac{\pi R^2 h}{2\pi R h} = \frac{R}{2} = \frac{100\pi}{25\pi} = 4\] \(\Rightarrow\) \(R = 8\). Подставим значение радиуса в формулу объема и найдем из этой формулы искомую высоту: \[V = \pi R^2 h = 64\pi h = 100\pi\] \(\Rightarrow\) \(\displaystyle h = \frac{100}{64} = 1,5625\).

Ответ: 1,5625

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Объём цилиндра \[V = \dfrac{200}{\sqrt{\pi}},\] а отношение радиуса его основания к его высоте равно \(5\). Найдите площадь полной поверхности этого цилиндра.

Добавить задание в избранное




 

\[V_{\text{цил}} = \pi R^2 H = \dfrac{200}{\sqrt{\pi}},\] \(\dfrac{R}{H} = 5\), где \(R\) – радиус основания цилиндра, \(H\) – его высота, тогда \(R = 5H\), следовательно, \[\pi \cdot 25 H^3 = \dfrac{200}{\sqrt{\pi}}\qquad\Rightarrow\qquad H^3 = \dfrac{8}{\pi\sqrt{\pi}},\] откуда \(H = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\), \(R = \dfrac{10}{\sqrt{\pi}}\). \[S_{\text{полн}} = 2\pi R H + \pi R^2 = 2\pi R(H + R) = 2\pi\cdot\dfrac{10}{\sqrt{\pi}}\cdot\dfrac{12}{\sqrt{\pi}} = 240.\]

Ответ: 240

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(AD\) – ось цилиндра, \(BC\) – его образующая, \(S_{ABCD} = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}}\), \(\angle CAD = 60^\circ\). Найдите объём цилиндра.

Добавить задание в избранное




 

Так как \(AD\) и \(BC\) – высоты цилиндра, то \(ABCD\) – прямоугольник, тогда \[S_{ABCD} = AD\cdot DC = H\cdot R = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}}.\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ADC\):
Т.к. \(\angle DAC = 60^\circ\), то \[AD = \mathrm{tg}\, \angle ACD\cdot DC = \mathrm{tg}\, 30^\circ\cdot R = \dfrac{R}{\sqrt{3}},\] т.е. \(H = \dfrac{R}{\sqrt{3}}\) или \(R = \sqrt{3}H\).

Подставляя выражение для \(R\) в \(S_{ABCD}\), получим: \[H^2\cdot\sqrt{3} = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi^2}},\] откуда \(H = \dfrac{4}{\sqrt[3]{\pi}}\), тогда \(R = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt[3]{\pi}}\).

\[V_{\text{цил}} = \pi R^2 H = \pi\cdot \dfrac{16\cdot 3}{\sqrt[3]{\pi^2}}\cdot\dfrac{4}{\sqrt[3]{\pi}} = 192.\]

Ответ: 192

Повторение базовой теории и формул, в том числе и тех, которые позволяют выполнить расчет объема цилиндра, — один из основных этапов подготовки к ЕГЭ. Несмотря на то, что эта тема достаточно подробно рассматривается на уроках математики в школе, с необходимостью вспомнить основной материал и «прокачать» навык решения задач сталкиваются многие учащиеся. Понимая, как вычислить объем и другие неизвестные параметры цилиндра, старшеклассники смогут получить достаточно высокие баллы по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы, которые стоит вспомнить

Чтобы вопрос, как посчитать объем цилиндра и выполнить измерение других неизвестных параметров при решении задач, не ставил ученика в тупик, рекомендуем повторить основные свойства этой фигуры прямо сейчас в режиме онлайн.

Важно помнить, что:

  • Цилиндр представляет собой тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и двумя кругами. Цилиндрическая поверхность является боковой. А круги представляют собой основания фигуры.
  • Высота цилиндра есть расстояние между плоскостями его оснований.
  • Все его образующие являются параллельными и равными между собой.
  • Радиус цилиндра есть радиус его основания.
  • Фигура называется прямой, если ее образующие перпендикулярны основаниям.

Как подготовиться к экзамену качественно и эффективно?

Занимаясь накануне прохождения аттестационного испытания, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска необходимой информации. Далеко не всегда школьный учебник оказывается под рукой, когда это требуется. А найти формулы, которые помогут рассчитать площадь и другие неизвестные параметры цилиндра, часто бывает достаточно сложно даже в Интернете в онлайн-режиме.

Занимаясь вместе с математическим порталом «Школково», выпускники смогут избежать типовых ошибок и успешно сдать единый госэкзамен. Мы предлагаем выстроить процесс подготовки по-новому, переходя от простого к сложному. Это позволит учащимся определить непонятные для себя тематики и ликвидировать пробелы в знаниях.

Весь базовый материал, который поможет в решении задач на тему «Цилиндр», выпускники смогут найти в разделе «Теоретическая справка». Специалисты «Школково» изложили с доступной форме все необходимые определения и формулы.

Для закрепления полученных знаний учащиеся могут попрактиковаться в решении задач на тему «Цилиндр». Большая, постоянно обновляющаяся подборка заданий представлена в разделе «Каталог».

Чтобы во время подготовки к ЕГЭ быстро найти конкретную задачу по теме «Цилиндр» и освежить в памяти алгоритм ее решения, выпускники могут предварительно сохранить ее в «Избранное». Отрабатывать собственные навыки на нашем сайте имеют возможность не только столичные школьники, но и учащиеся из других российских городов.