Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые дробные выражения

Справедливы следующие формулы сокращенного умножения:

\(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

\(\blacktriangleright\) Куб суммы и куб разности: \[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления:
\(13^3+3\cdot 13^2\cdot 7+3\cdot 13\cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000\)

 

\(\blacktriangleright\) Разность квадратов: \[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\).

Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:

 

\(\dfrac{7^6-2^6}{7^4+14^2+16}=\dfrac{(7^2-2^2)(7^4+7^2\cdot2^2+2^4)}{7^4+(7\cdot2)^2+2^4}=7^2-2^2=45\)

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{9}}\).

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{9}} = \dfrac{1}{3} : \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{6} = 1,5.\]

Ответ: 1,5

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{\frac{12}{5}}{2\frac{2}{5}}\).

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{\frac{12}{5}}{2\frac{2}{5}} = \dfrac{\frac{12}{5}}{\frac{12}{5}} = 1\] (так как тут ненулевое число делим на себя).

Ответ: 1

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{2016}{2017}\cdot\dfrac{2017}{504}\).

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{2016}{2017}\cdot\dfrac{2017}{504} = \dfrac{2016\cdot 2017}{2017\cdot 504} = \dfrac{2016}{504} = \dfrac{4}{1} = 4.\]

Ответ: 4

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{|3 - \pi|}{3 - \pi}\).

Добавить задание в избранное

Так как \(\pi > 3\), то \(|3 - \pi| = -(3 - \pi)\). Тогда: \[\frac{|3 - \pi|}{3 - \pi} = \frac{-(3 - \pi)}{3 - \pi} = -1.\]

Ответ: -1

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(41\cdot39\).

Добавить задание в избранное

\[41\cdot39 = (40 + 1)\cdot(40 - 1) = 40^2 - 1^2 = 1600 - 1 = 1599\]

Ответ: 1599

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle 99\frac{1}{2}\cdot100\frac{1}{2}\).

Добавить задание в избранное

\[99\frac{1}{2}\cdot100\frac{1}{2} = (100 - \frac{1}{2})\cdot(100 + \frac{1}{2}) = 100^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10\,000 - \frac{1}{4} = 9\,999\frac{3}{4} = 9\,999,75\]

Ответ: 9999,75

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}\).

Добавить задание в избранное

\[\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} = \dfrac{1}{5}.\]

Ответ: 0,2

1 2 .... 4

Задания на преобразования дробных выражений встречаются как в базовом, так и в профильном уровне ЕГЭ по математике. И, как показывает статистика последних лет, данные задачи вызывают сложность у большого количества школьников.

Для преобразования сложных дробных выражений в ЕГЭ школьнику необходимо выучить формулы сокращенного умножения. Зная их, выпускник сможет найти правильный ответ при более компактной записи решения.

Необходимо запомнить

Формула квадрата суммы, которую обязательно нужно знать всем, кому предстоит сдача ЕГЭ, выглядит следующим образом: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). С ней учащийся впервые встречается в средних классах, поэтому при подготовке к сдаче к аттестационного испытания ее непременно стоит повторить.

Также нужно освежить в памяти формулу квадрата разности \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), которую также часто требуется применить при решении задач в ЕГЭ. Она позволит сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и быстро получить ответ.

Также стоит запомнить формулы куба суммы и разности:

\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\] \[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\]

Обратите внимание на то, что, применив их «зеркально», вы сможете значительно упростить вычисления.

Разность квадратов — еще одна формула, которую нужно запомнить. Выглядит она следующим образом: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

И последние формулы сокращенного умножения — сумма и разность кубов:

\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

Нюансы решения. Встретив дробное выражение в задании, школьник прежде всего должен привести его к более простому виду. Для этого знаменатель и множитель нужно разложить на множители, воспользовавшись формулой сокращенного умножения. Повторить данный материал можно, посетив раздел «Теоретическая справка».

Для того чтобы школьник из Москвы, как и любого другого населенного пункта РФ, смог не только выучить формулы сокращенного умножения (в ЕГЭ их непременно потребуется использовать), но и отточить навыки решения заданий по данной теме, наш образовательный портал подготовил много интересных задач. К каждому упражнению дается правильный ответ и подробное решение.