Математика
Русский язык

15. Решение неравенств

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Решение рациональных неравенств

\(\blacktriangleright\) Рациональное неравенство – это неравенство, которое можно свести к виду \[\large{\dfrac{P(x)}{Q(x)}\geqslant 0} \quad (*)\] где \(P(x),\ Q(x)\) – многочлены.
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant, \ >,\ <\))

 

Способы решения данного неравенства:

 

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности:

\[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} P(x)\geqslant 0\\ Q(x)>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} P(x)\leqslant 0\\ Q(x)<0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере):

 

1 ШАГ. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

 

Пусть после разложения неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)(2x^2+3x+5)(2x-x^2-3)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \geqslant0\] Помним, что если квадратное уравнение:

 

\(\sim\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (дискриминант \(D>0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).

 

\(\sim\) имеет один корень \(x_1\) (\(D=0\)), то \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2\).

 

\(\sim\) не имеет корней (\(D<0\)), то квадратный трехчлен \(ax^2+bc+c\) никогда не может быть равен нулю, соответственно, не разлагается на линейные множители.

 

2 ШАГ. Рассмотрим скобки, в которых находится квадратный трехчлен с \(D<0\).

 

Если при \(x^2\) находится положительный коэффициент, то эти скобки можно вычеркнуть (в нашем неравенстве это \((2x^2+3x+5)\)).

 

Если при \(x^2\) находится отрицательный коэффициент, то при вычеркивании такой скобки знак неравенства меняем на противоположный (в нашем неравенстве это \((2x-x^2-3)\)).
Заметим, что если таких скобок несколько, то вычеркиваем их последовательно по одной, каждый раз меняя знак неравенства на противоположный.

 

Таким образом, неравенство примет вид \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(3-x)(2-3x)^2} \leqslant0\]

3 ШАГ. Рассмотрим линейные скобки.

 

Назовем скобку хорошей, если при \(x\) находится положительный коэффициент (такие скобки не трогаем), и плохой, если при \(x\) находится отрицательный коэффициент (в таких скобках меняем все знаки на противоположные, т.е. делаем их хорошими).

 

Если плохих скобок было четное количество, то знак неравенства не изменится, если нечетное – то знак неравенства изменится на противоположный.

 

В нашем неравенстве одна скобка \((3-x)\) и две скобки \((2-3x)\) (т.к. \((2-3x)^2=(2-3x)(2-3x)\)), т.е. всего три плохих скобки, следовательно, неравенство примет вид: \[\dfrac{x^2(x-1)^3(x+1)}{(x+1)^3(x-3)(3x-2)^2} \geqslant0\quad (**)\]

4 ШАГ. Отметим нули каждой скобки на числовой прямой, причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как у нас) или выколотые (если знак неравенства строгий).

 

Если мы отметили \(n\) точек, то числовая прямая разобьется на \(n+1\) промежутков.

 

Расставим знак на каждом промежутке справа налево.

 

Т.к. все скобки – хорошие, то первый знак всегда будет \("+"\). Если какая-то точка входит в четное количество скобок, то при переходе через нее (справа налево!) знак меняться не будет (например, точка \(-1\) входит в четное количество скобок: одна в числителе и три в знаменателе);

 

если точка входит в нечетное количество скобок, то знак будет меняться (единственная точка \(3\)).

 

5 ШАГ. Запишем ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((**)\) неравенства \(\geqslant 0\), то в ответ пойдут промежутки со знаком \("+"\) и закрашенные точки: \[x\in (-\infty;-1)\cup \left(-1;\frac23\right)\cup \left(\dfrac23;1\right]\cup(3;+\infty)\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[x+10<3x^2\]

Добавить задание в избранное

Перенесем слагаемые в левую часть: \[-3x^2+x+10<0\] Разложим на множители выражение \(-3x^2+x+10\): \[-3x^2+x+10=0 \quad \Rightarrow \quad x_1=2\quad\text{и}\quad x_2=-\dfrac53\] Следовательно, \(-3x^2+x+10=-3(x-2)\left(x-\frac53\right)=-(x-2)(3x+5)\).
Тогда неравенство примет вид \[-(x-2)(3x+5)< 0\quad \Rightarrow \quad (x-2)(3x+5)>0\] Решим его методом интервалов:



Таким образом, подходят \(x\in \left(-\infty;-\frac53\right)\cup(2;+\infty)\).

Ответ:

\(\left(-\infty;-\frac53\right)\cup(2;+\infty)\)

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[x^2+34x+289>0\]

Добавить задание в избранное

Заметим, что по формуле квадрата суммы \(x^2+34x+289=(x+17)^2\), следовательно, неравенство принимает вид: \[(x+17)^2>0\] Решим его методом интервалов:


 

Таким образом, нам подходят \(x\in(-\infty;-17)\cup(-17;+\infty)\).

Ответ:

\((-\infty;-17)\cup(-17;+\infty)\)

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[x^2-4x+4\leqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Заметим, что по формуле квадрата разности \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), следовательно, неравенство принимает вид: \[(x-2)^2\leqslant 0\] Решим его методом интервалов:


 

Таким образом, нам подходят \(x\in\{2\}\).

Ответ:

\(\{2\}\)

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство \[x^2+3x+3\geqslant 0\]

Добавить задание в избранное

Разложим на множители выражение \(x^2+3x+3\), для этого решим уравнение \(x^2+3x+3=0\). Оно имеет отрицательный дискриминант, следовательно, не разлагается на множители и принимает значения одного знака: либо положительно, либо отрицательно при всех \(x\). Проверить его знак можно, подставив вместо \(x\) любое число, например, \(x=0\): получим \(3\), следовательно, выражение всегда \(>0\).



Таким образом, нам подходят \(x\in \mathbb{R}\).

Ответ:

\(\mathbb{R}\)

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 3)(x + 4)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (x - 3)(x + 4)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - 1)(x + 2) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = -2\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(x - 3)(x + 4) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = 3\\ x = -4 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-4; -2]\cup[1; 3)\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-4; -2]\cup[1; 3)\)

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 3)(x^2 + 4)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (x - 3)(x^2 + 4)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + 1)(x - 2) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = -1,\qquad\qquad x = 2\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(x + 3)(x^2 + 4) = 0\] так как \(x^2\geqslant 0\), то \(x^2 + 4\geqslant 4\), следовательно, нули знаменателя: \[x = -3\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-\infty; -3)\cup[-1; 2]\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-\infty; -3)\cup[-1; 2]\)

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(-x + 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\geqslant 0 \end{aligned}\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ:

\[\begin{aligned} (x - 1)(x + 5)\neq 0 \end{aligned}\]

Умножая исходное неравенство на \(-1\), получим равносильное неравенство

\[\begin{aligned} \dfrac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 1)(x + 5)}\leqslant 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - 1)(x - 5) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = 1,\qquad\qquad x = 5\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(x - 1)(x + 5) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = 1\\ x = -5 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-5; 1)\cup(1; 5]\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

\((-5; 1)\cup(1; 5]\)

1 2 .... 6

Согласно статистике ФИПИ, довольно часто в ЕГЭ рациональные неравенства, решаемые методом интервалов, вызывают сложности у школьников как из Москвы, так и из других городов. Поскольку задания на данную тему встречаются как в базовом, так и в профильном уровне экзамена по математике, уметь выполнять их необходимо всем без исключения. Для того чтобы восполнить пробелы в знаниях о рациональных неравенствах и других разделах науки и максимально эффективно и качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ, воспользуйтесь образовательным порталом «Школково».

Что мы предлагаем?

Наш ресурс предоставляет вам уникальную возможность грамотно выстроить процесс подготовки к сдаче аттестационного испытания. Прежде всего выпускникам из Москвы и других городов, которым предстоит в скором времени решить ЕГЭ, мы предлагаем повторить теорию по теме «Рациональные неравенства». Благодаря многолетнему практическому опыту наших специалистов материал изложен грамотно и доступно. Каждое определение сопровождается примерами с подробным объяснением способа решения. После того как вы освежили в памяти теорию, предлагаем закрепить материал и выполнить задания из ЕГЭ на решение рациональных неравенств. В раздел «Каталог» мы регулярно добавляем новые интересные задачи. Выполняя их, вы сможете отточить свои навыки.