Математика
Русский язык

19. Задачи на теорию чисел

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Делимость чисел и признаки делимости

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Верно ли, что если число делится на \(8\) и на \(6\), то оно делится и на \(48\)?

Добавить задание в избранное

Например, \(24\) делится на \(8\) и на \(6\), но не делится на \(48\).

Ответ:

Нет

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что произведение любых трёх последовательных целых чисел делится на

а) \(3\)

б) \(6\).

Добавить задание в избранное

а) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть число, делящееся на \(3\), следовательно, всё произведение делится на \(3\).

б) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть чётное число, поэтому, учитывая пункт а), всё произведение делится на \(6\).

Ответ:

а) Доказательство

б) Доказательство

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что число \(n^3 - n\) делится на \(6\) при любом целом \(n\).

Добавить задание в избранное

\[n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1)\] – произведение трёх последовательных чисел, следовательно, среди них есть число, которое делится на \(2\) и есть число, которое делится на \(3\), тогда оно делится на \(6\).

Ответ:

Доказательство

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что произведение любых четырёх последовательных целых чисел делится на \(8\).

Добавить задание в избранное

Среди любых четырёх последовательных целых чисел всегда есть два последовательных чётных числа, а среди двух последовательных чётных чисел всегда есть одно, которое делится на \(4\).

Так как среди четырёх последовательных целых чисел мы нашли число, которое делится на 2 и другое число, которое делится на 4, то всё произведение делится на \(8\).

Ответ:

Доказательство

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что \(n(n^2 - 4)(n^2 - 1)\) делится на \(120\) при любом \(n\in\mathbb{Z}\).

Добавить задание в избранное

\[n(n^2 - 4)(n^2 - 1) = n(n - 2)(n + 2)(n - 1)(n + 1) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)\] – произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых последовательных \(5\) целых чисел всегда есть число, которое делится на \(3\), есть число, которое делится на \(5\), а также всегда есть два последовательных чётных числа.

Таким образом, при любом \(n\in\mathbb{Z}\) число \(n(n^2 - 4)(n^2 - 1)\) делится на \(3\), делится на \(5\), делится на \(8\), следовательно оно делится и на \(120\).

Ответ:

Доказательство

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Вставьте вместо звёздочек в числе \(2\ast 45\ast 6\) цифры так, чтобы полученное число делилось

а) на 12

б) на 36.

В ответ запишите все полученные числа.

Добавить задание в избранное

а) Для того, чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на \(3\) и на \(4\). По признаку делимости на \(4\), две последние цифры числа могут быть \(16\), \(36\), \(56\), \(76\), \(96\). Для каждого из этих случаев подберём оставшуюся цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на \(3\) (по признаку делимости на \(3\)):
\(204516\), \(234516\), \(264516\), \(294516\)
\(214536\), \(244536\), \(274536\)
\(224556\), \(254556\), \(284556\)
\(204576\), \(234576\), \(264576\), \(294576\)
\(214596\), \(244596\), \(274596\).

б) Для того, чтобы число делилось на 36, оно должно делиться на \(9\) и на \(4\). По признаку делимости на \(4\), две последние цифры числа могут быть \(16\), \(36\), \(56\), \(76\), \(96\). Для каждого из этих случаев подберём оставшуюся цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на \(9\) (по признаку делимости на \(3\)):
\(204516\), \(294516\)
\(274536\)
\(254556\)
\(234576\)
\(214596\).

Ответ:

а) \(204516\), \(234516\), \(264516\), \(294516\), \(214536\), \(244536\), \(274536\), \(224556\), \(254556\), \(284556\), \(204576\), \(234576\), \(264576\), \(294576\), \(214596\), \(244596\), \(274596\)

б) \(204516\), \(294516\), \(274536, 254556, 234576, 214596\)

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли в числе \(1\ast 21934\) поставить вместо звёздочки цифру так, чтобы полученное число делилось на \(11\)?

Добавить задание в избранное

Пусть искомая цифра – \(x\), тогда по признаку делимости на \(11\) получаем: \[\bigl(1 + 2 + 9 + 4 - (x + 1 + 3)\bigr)\, \vdots \, 11,\] следовательно, \((12 - x)\, \vdots \, 11\). Так как \(x\) – цифра, то \(x\) может быть равен только \(1\), что нам подходит: \(1\,121\,934 \, \vdots \, 11\).

Ответ:

Да

Задачи на делимость чисел в ЕГЭ по математике встречаются из года в год. Причем в зависимости от их условия, выпускники могут давать как развернутые ответы, так и достаточно краткие. Именно поэтому в процессе подготовки к ЕГЭ учащимся непременно стоит разобраться с задачами на применение признаков делимости. Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». В соответствующих разделах представлен весь необходимый теоретический и практический материал, подготовленный и изложенный нашими специалистами в максимально доступной форме. Ознакомившись с ним, все школьники, независимо от уровня подготовки, смогут решать интересные задачи на признаки делимости чисел подобные тем, которые ежегодно встречаются в ЕГЭ.

Основные моменты

Для того чтобы успешно справляться с задачами подобной тематики, необходимо вспомнить признаки делимости чисел. Вот некоторые из них:

  • Число делится на два в том случае, если его последняя цифра может быть поделена на два.
  • Натуральное число считается делимым на три, когда сумму его цифр можно поделить на три.
  • Число, состоящее из четырех цифр, делится на четыре, если на четыре делится двузначное число, образованное двумя последними цифрами исходного.
  • Число является делимым на пять, если его последняя цифра — пять либо ноль.
  • Натуральное число делится на девять, когда на девять делится сумма составляющих его цифр.
  • Натуральное число будет делиться на десять, если последняя его цифра - ноль.

Как подготовиться к экзамену?

Вы уже изучили теоретический материал на тему «Делимость чисел» и готовы приступить к решению задач? Попрактиковаться вы можете в режиме онлайн. Для каждой задачи на делимость в соответствующем разделе представлены алгоритм решения и правильный ответ. Наши специалисты подобрали задания различного уровня сложности. Решая задачи на делимость, школьники из Москвы и других городов могут сохранить упражнение в разделе «Избранное», чтобы при необходимости обсудить его с преподавателем.