Математика
Русский язык

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Куб»

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

 

Следовательно:

\(\blacktriangleright\) для объема куба верна следующая формула (где \(a\) – ребро куба): \[{\Large{V=a^3}}\] \(\blacktriangleright\) диагональ куба \({\Large{d^{\,2}=3a^2}}\)
\(\blacktriangleright\) площадь поверхности куба равна сумме площадей шести одинаковых квадратов, т.е. \({\Large{S_{\text{пов.куб}}=6a^2}}\)

Задание 1
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точка \(B_2\) лежит на продолжении ребра \(BB_1\) за точку \(B_1\), \(BB_2 = 2\cdot BB_1\). Во сколько раз объем куба отличается от объема пирамиды \(B_2ABCD\)?



Добавить задание в избранное

Отрезок \(BB_2\) является высотой пирамиды. Если сторону куба обозначить за \(x\), то \(BB_2 = 2x\) \(\Rightarrow\) \[\displaystyle V_{\text{пир.}} = \frac{1}{3}\cdot BB_2 \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3}\cdot 2x \cdot x^2 = \frac{2}{3}\cdot x^3,\,\,\,\, V_{\text{куб}} = x^3.\] Теперь найдем искомую величину: \[\displaystyle \frac{V_{\text{куб}}}{V_{\text{пир.}}} = \frac{x^3}{\frac{2}{3}\cdot x^3} = 1,5.\]

Ответ: 1,5

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб с длиной ребра равной \(\sqrt[4]{17}\). Точка \(M\) лежит на ребре \(DD_1\) так, что \(MD_1 = 3MD\). Найдите площадь сечения куба, проведённого через точку \(M\) и ребро \(AB\).

Добавить задание в избранное




 

Пусть \(N\) – точка на \(CC_1\), такая что \(NC_1 = 3NC\), тогда \(MN\parallel CD\parallel AB\), следовательно, сечение, проходящее через точку \(M\) и ребро \(AB\) – четырёхугольник \(AMNB\), причём \((AA_1D_1D) \bot MN\), следовательно, \(AM \bot MN\). Аналогично \(MN\bot BN\bot AB\), то есть \(AMNB\) – прямоугольник. \[S_{AMNB} = AM\cdot MN = AM\cdot \sqrt[4]{17}.\] Найдём \(AM\) по теореме Пифагора: \[AM = \sqrt{AD^2 + MD^2} = \sqrt{AD^2 + (0,25AD)^2} = \sqrt{\dfrac{17}{16}AD^2} = \dfrac{\sqrt{17}}{4}AD = \dfrac{\sqrt[4]{17^3}}{4}.\] Тогда \(S_{AMNB} = \dfrac{\sqrt[4]{17^3}}{4} \cdot \sqrt[4]{17} = \dfrac{17}{4} = 4,25\).

Ответ: 4,25

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(A_2\) и \(B_2\) – середины соответственно сторон \(AA_1\) и \(BB_1\). Найдите площадь поверхности фигуры \(ABCDA_2B_2C_1D_1\), если ребро куба равно \(\sqrt{32 - 4\sqrt5}\).



Добавить задание в избранное

Площадь поверхности фигуры \(ABCDA_2B_2C_1D_1\) состоит из суммы следующих площадей: \[S_{\text{пов.}} = S_{AA_2D_1D} + S_{BB_2C_1C} + S_{DD_1C_1C} + S_{AA_2B_2B} + S_{ABCD} + S_{A_2B_2C_1D_1}.\] Обозначим ребро куба за \(2x\), тогда \(AA_2 = BB_2 = x\). \(AA_2D_1D\) и \(BB_2C_1C\) – равные прямоугольные трапеции, площадь которых равна \[\displaystyle S_{AA_2D_1D} = S_{BB_2C_1C} = \frac{1}{2}\cdot(AA_2 + DD_1)\cdot AD = \frac{(x + 2x)\cdot2x}{2} = 3x^2.\] Также найдем площади остальных граней: \(S_{DD_1C_1C} = 4x^2\), \(S_{AA_2B_2B} = 2x^2\), \(S_{ABCD} = 4x^2\); для того чтобы найти площадь грани \(A_2B_2C_1D_1\) нам понадобится сначала найти сторону \(A_2D_1\). Найдем ее, используя теорему Пифагора в треугольнике \(\triangle A_2A_1D_1\): \[A_2D_1^2 = A_2A_1^2 + A_1D_1^2 = x^2 + 4x^2 = 5x^2\] \(\Rightarrow\) \(A_2D_1 = \sqrt5x\). Тогда \(S_{A_2B_2C_1D_1} = A_2B_2\cdot A_2D_1 = 2\sqrt5x^2\). Теперь сложим все площади граней искомой фигуры: \[S_{\text{пов.}} = 3x^2 + 3x^2 + 4x^2 + 2x^2 + 4x^2 + 2\sqrt5x^2 = (16 + 2\sqrt5)\cdot x^2.\] По условию задачи имеем: \(2x = \sqrt{32 - 4\sqrt5} = 2\cdot\sqrt{8 - \sqrt5}\) \(\Rightarrow\) \(x = \sqrt{8 - \sqrt5}\). Подставим в формулу площади и получим окончательный результат: \[S_{\text{пов.}} = (16 + 2\sqrt5)\cdot\left(\sqrt{8 - \sqrt5}\right)^2 = 2\cdot(8 + \sqrt5)\cdot(8 - \sqrt5) = 2\cdot59 = 118.\]

Ответ: 118

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Анатолий грабит банк. Слитки золота имеют форму прямоугольных параллелепипедов с измерениями \(4\times 4\times 2\). Сумка, которая есть у Анатолия, имеет форму куба с ребром длины \(6\). Анатолию нужно уложить как можно больше слитков в сумку так, чтобы она закрылась и с ней можно было выйти, не привлекая к ней внимания. Сколько слитков сможет вынести Анатолий, если будет действовать разумно?


Добавить задание в избранное

Сначала заметим, что ответ не изменится, если уменьшить масштаб в два раза по каждому направлению. При этом сумка станет кубом с ребром \(3\), а слитки золота станут прямоугольными параллелепипедами с измерениями \(2\times 2\times 1\).

Оценим возможное количество слитков сверху: так как объём сумки равен \(3^3 = 27\), а объём слитка равен \(2\cdot 2\cdot 1 = 4\), то более \(6\) слитков в сумку не войдут. Но могут ли войти в неё 6?

Назовём слиток горизонтальным, если две его грани параллельны дну сумки так, что его высота равна 1. В противном случае назовём слиток вертикальным. Мысленно “расслоим”\(\ \)сумку на 3 одинаковых горизонтальных слоя.

 

Каждый вертикальный слиток занимает в среднем слое по 2 соседних кубика с ребром 1. Средний слой состоит из 9 таких кубиков, следовательно, вертикальных слитков в сумку входит не более 4. При этом горизонтальных слитков в сумку входит не более 3 (в каждый слой входит не более одного горизонтального слитка).

В случае, когда горизонтальных слитков ровно 3, получим, что в среднем слое 4 кубика из 9 заняты горизонтальным слитком, то есть в среднем слое остаётся \(9 - 4 = 5\) кубиков, но каждый вертикальный слиток должен занимать в среднем слое по 2 кубика, тогда получаем, что вертикальных слитков при этом не более 2 и всего слитков при трёх горизонтальных \(\leq 2 + 3 = 5\).

 

Таким образом, последний шанс Анатолия унести 6 слитков – это 4 вертикальных слитка и 2 горизонтальных. Возможно ли это? Понятно, что для этого необходимо, чтобы горизонтальные слитки лежали в нижнем и верхнем слоях, но верхний слиток не должен “полностью нависать”\(\ \)над нижним. Тогда остаётся всего 2 принципиально различных способа уложить горизонтальные слитки в верхнем и нижнем слоях относительно друг друга.

При этом один из них позволяет уложить 6 слитков. Чтобы наглядно проиллюстрировать его сначала поместим в сумку только вертикальные слитки и покажем вид сверху:


 

здесь голубым отмечены все те вертикальные слитки, которые стоят на дне сумки. Тогда на дно можно подложить ещё 1 горизонтальный слиток под те вертикальные, которые не стоят на дне сумки. Аналогично, в верхний слой можно подложить 1 горизонтальный слиток.

Итого: при разумном подходе Анатолий может вынести 6 слитков.

Ответ: 6

Подготовка к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения полной теории и базовых формул, в том числе и тех, с помощью которых можно найти площадь куба. И хотя эта тема достаточно подробно рассматривается преподавателями в рамках школьной программы, многим старшеклассникам требуется освежить в памяти основной материал.

Поняв, как найти объем куба и других параметров и отлично усвоив алгоритм решения таких задач, учащиеся смогут получить достаточно высокие баллы по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты

Чтобы вопрос, как вычислить объем куба, не ставил ученика в тупик, рекомендуем вспомнить основные свойства этой фигуры.
  • Так как куб представляет собой прямоугольный параллелепипед, все шесть граней которого равны между собой, последние являются квадратами.
  • Все двугранные углы многогранника прямые.
  • Противоположные грани куба попарно параллельны.
  • Диагональ грани многогранника в √3 раза больше длины ребра.
  • Если все линейные размеры сторон куба увеличиваются в k раз, то площадь его поверхности увеличивается в k2 раз.

Готовьтесь к единому госэкзамену качественно и эффективно вместе с образовательным проектом «Школково»

Занимаясь накануне прохождения аттестационного испытания, многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска базовой информации. Далеко не всегда школьный учебник оказывается под рукой. А на поиск подходящих формул для решения задач по теме «Куб» зачастую уходит большое количество времени.

Регулярные занятия на образовательном сайте «Школково» помогут учащимся избежать типовых ошибок при прохождении аттестационного испытания. Мы предлагаем выстроить процесс подготовки к экзамену по-новому, переходя от простого к сложному. Это позволит учащимся определить непонятные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Весь базовый материал представлен в разделе «Теоретическая справка». Основные понятия и формулы собраны и изложены нашими специалистами в максимально доступной форме.

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также потренироваться в выполнении задач по теме «Куб». Большая подборка упражнений различной степени сложности представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. База упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

В случае необходимости любое из представленных заданий можно сохранить в «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро его найти и обсудить алгоритм нахождения правильного ответа с преподавателем в школе или репетитором.