Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вычисление синуса, косинуса и тангенса угла треугольника

В прямоугольном треугольнике:

 

\(\blacktriangleright\) Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\sin \alpha = \dfrac{a}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[{\large{\cos \alpha = \dfrac{b}{c}}}\]

\(\blacktriangleright\) Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \[{\large{\mathrm{tg}\, \alpha = \dfrac{a}{b}}}\]

\(\blacktriangleright\) Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему: \[{\large{\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{b}{a}}}\]


 

Важные формулы:
\[{\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1&\qquad& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1\\ &&\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}&&\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\\&&\\ \hline \end{array}}}\]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \phantom{000}\, 0^\circ \phantom{000}& \phantom{000}\, 30^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 45^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 60^\circ \phantom{000} & \phantom{000}\, 90^\circ \phantom{000}\\[1ex] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2 & 1\\[1ex] \hline \cos & 1 & \frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12 & 0\\[1ex] \hline \mathrm{tg} & 0 & \frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3 & \text{не сущ.}\\[1ex] \hline \mathrm{ctg}& \text{не сущ.} &\sqrt3&1&\frac{\sqrt3}3 & 0\\[1ex] \hline \end{array}\]

Задание 1 #612
Уровень задания: Легче ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\sin {\angle BAC} = \dfrac{2}{3}\). Найдите \(AC\), если \(AB = 6\sqrt{5}\).





Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{3}\qquad\Rightarrow\qquad BC = \dfrac{2}{3}AB = 4\sqrt{5}.\]

По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36\cdot 5 - 16\cdot 5 = 20\cdot 5 = 10^2\), тогда \(AC = 10\).

Ответ: 10

Задание 2 #2098
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Известно, что \(\cos \angle B=\dfrac13\), \(AB=9\). Найдите \(BC\).


 

По определению косинуса \[\cos\angle B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac13 \quad \Leftrightarrow \quad BC=\dfrac13\cdot AB=\dfrac13\cdot 9=3\]

Ответ: 3

Задание 3 #2099
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан треугольник \(ABC\), причем \(\angle C=90^\circ\). Найдите длину его гипотенузы, если \(AC=8, \ \cos \angle A=\dfrac45\).


 

По определению косинуса \[\cos \angle A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45 \quad \Leftrightarrow \quad AB=AC\cdot \dfrac54=10\]

Ответ: 10

Задание 4 #3320
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Большее основание равнобедренной трапеции равно \(34\). Боковая сторона равна \(14\). Синус острого угла равен \(\dfrac{2\sqrt{10}}7\). Найдите меньшее основание.


 

Проведем \(BH\perp AD\). Из \(\triangle ABH\): \[\dfrac{2\sqrt{10}}7=\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}\quad\Rightarrow\quad BH=4\sqrt{10}\] Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{14^2-(4\sqrt{10})^2}=6\] Так как \(AH=0,5(AD-BC)\), то \(BC=AD-2AH=34-12=22\).

Ответ: 22

Задание 5 #3305
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(CH\) – высота, \(AB=13\), \(\mathrm{tg}\,\angle A=0,2\). Найдите \(AH\).


 

Так как по определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AC}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac 15\] то можно принять \(BC=x\), \(AC=5x\). Следовательно, по теореме Пифагора \[BC^2+AC^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad x^2+(5x)^2=13^2\quad\Rightarrow\quad x^2=\dfrac{13}2\] Из \(\triangle AHC\): \[\cos \angle A=\dfrac{AH}{AC}\] Из \(\triangle ABC\): \[\cos \angle A=\dfrac{AC}{AB}\] Следовательно: \[\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AC}{AB}\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac{AC^2}{AB}=\dfrac{(5x)^2}{13}=\dfrac{25}2=12,5\]

Ответ: 12,5

Задание 6 #3306
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(CH\) – высота, \(AB=26\), \(\mathrm{tg}\,\angle B=5\). Найдите \(AH\).


 

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{AC}{BC}=\mathrm{tg}\,\angle B=\dfrac 51\] Следовательно, можно принять \(AC=5x\), \(BC=x\). Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(5x)^2=26^2\), откуда \(x=\sqrt{26}\).
Тогда \[\sin\angle B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac5{\sqrt{26}}\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle B=\angle HCA\). Следовательно, из \(\triangle HCA\): \[\dfrac5{\sqrt{26}}=\sin \angle HCA=\dfrac{AH}{AC}\quad\Rightarrow\quad AH=25\]

Ответ: 25

Задание 7 #3307
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(AB=17\), \(\mathrm{tg}\,\angle A=0,25\). Найдите высоту \(CH\).


 

По определению из \(\triangle ABC\): \[\dfrac{BC}{AC}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac 14\] Следовательно, можно принять \(AC=4x\), \(BC=x\). Тогда по теореме Пифагора \(x^2+(4x)^2=17^2\), откуда \(x=\sqrt{17}\).
Так как площадь прямоугольного треугольника \(ABC\), с одной стороны, равна \(0,5CH\cdot AB\), а с другой стороны, равна \(0,5BC\cdot AC\), то \[CH\cdot AB=BC\cdot AC\quad\Rightarrow\quad CH=\dfrac{4x^2}{AB}=4\]

Ответ: 4

Уметь оперативно и правильно решать задачи ЕГЭ на вычисление элементов многоугольника необходимо всем выпускникам вне зависимости от того, базовый или профильный уровень экзамена они сдают. Причем этой теме традиционно посвящается несколько заданий. Поэтому, если учащийся рассчитывает получить достойные баллы по итогам прохождения ЕГЭ, то ему обязательно стоит уделить внимание задачам, в которых требуется найти синус, косинус и тангенс угла треугольника.

Вместе с образовательным порталом «Школково» вы сможете восполнить пробелы в знаниях и отточить необходимый навык. Весь теоретический и практический материал составлен и изложен таким образом, чтобы все выпускники могли без особых затруднений справляться с задачами ЕГЭ, в которых требуется вычислить тангенс, синус или косинус угла треугольника.

Основные моменты

Первое, что нужно сделать при решении подобных задач в ЕГЭ, - вспомнить, что такое тангенс, косинус и синус угла треугольника. Далее рекомендуется следовать такому алгоритму:

  • Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который требуется найти.
  • Определяем известные элементы и выявляем тригонометрическую функцию, которая их связывает.
  • Записываем получившееся соотношение и применяем подходящую формулу.

Научившись правильно выполнять упражнения на вычисление элементов многоугольника, а также, например, по теме «Окружность, описанная около многоугольника», которые представлены в данном разделе образовательного портала «Школково», вы сможете закрепить материал и без труда справляться с подобными заданиями на аттестационном экзамене.