Математика
Русский язык

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Иррациональные уравнения (со знаком корня)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.

 

Стандартное иррациональное уравнение:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:

\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]

(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)

 

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{x + 12} = 6\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq -12\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(x + 12 = 36\), что равносильно \(x = 24\).

Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{24 + 12} = 6\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 24\).

Ответ: 24

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{4x + 5} = 6\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(4x + 5 \geq 0\), что равносильно \(x \geq -1,25\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(4x + 5 = 36\), что равносильно \(x = 7,75\).

Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{4 \cdot 7,75 + 5} = 6\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 7,75\).

Ответ: 7,75

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{6 - x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(6 - x \geq 0\), что равносильно \(x \leq 6\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(6 - x = 9\), что равносильно \(x = -3\).

Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{6 - (-3)} = 9\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = -3\).

Ответ: -3

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{2x - 9}{5}} = \dfrac{2}{5}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{2x - 9}{5} \geq 0\), что равносильно \(x \geq 4,5\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{2x - 9}{5} = \dfrac{4}{25}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x - 9 = \dfrac{4}{5}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 4,9.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{2\cdot 4,9 - 9}{5}} = \dfrac{2}{5}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 4,9\).

Ответ: 4,9

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{13 - 2x}{10}} = \dfrac{4}{25}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{13 - 2x}{10} \geq 0\), что равносильно \(x \leq 6,5\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{13 - 2x}{10} = \dfrac{16}{625}\qquad\Leftrightarrow\qquad 13 - 2x = \dfrac{256}{1000}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 6,372.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{13 - 2\cdot 6,372}{10}} = \dfrac{4}{25}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 6,372\).

Ответ: 6,372

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{x + 23}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{x + 23}{6} \geq 0\), что равносильно \(x \geq -23\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{x + 23}{6} = \dfrac{25}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 23 = 50\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 27.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{27 + 23}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 27\).

Ответ: 27

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{5}{x + 7}} = 2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{5}{x + 7} \geq 0\), что равносильно \(x > -7\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{5}{x + 7} = 4,\] что на ОДЗ равносильно \[5 = 4(x + 7)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -5,75.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{5}{-5,75 + 7}} = 2\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = -5,75\).

Ответ: -5,75