Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

5. Решение уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Иррациональные уравнения (со знаком корня)

Иррациональное уравнение – уравнение, содержащее переменную \(x\) под знаком корня любой степени.

 

Стандартное иррациональное уравнение:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)}}, \text{ где }n\ -\text{ натуральное число.}\]

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – четное, то данное уравнение имеет решения только при \(g(x)\geqslant 0\) и \(f(x)\geqslant 0\) ввиду определения корня четной степени. Значит:

\[{\large{\sqrt[n]{f(x)}=g(x) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g^n(x)\\ g(x)\geqslant 0 \end{cases}}}\]

(условие \(f(x)\geqslant 0\) автоматически выполняется в данной системе)

 

\(\blacktriangleright\) Если \(n\) – нечетное, то данное уравнение имеет решения при любых \(f(x)\) и \(g(x)\). Значит:

\[{\large{ \sqrt[n]{f(x)}=g(x)\quad \Leftrightarrow \quad f(x)=g^n(x)}}\]

Задание 1 #365
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{x + 12} = 6\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq -12\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(x + 12 = 36\), что равносильно \(x = 24\).

Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{24 + 12} = 6\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 24\).

Ответ: 24

Задание 2 #366
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{4x + 5} = 6\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(4x + 5 \geq 0\), что равносильно \(x \geq -1,25\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(4x + 5 = 36\), что равносильно \(x = 7,75\).

Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{4 \cdot 7,75 + 5} = 6\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 7,75\).

Ответ: 7,75

Задание 3 #367
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{6 - x} = 3\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(6 - x \geq 0\), что равносильно \(x \leq 6\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \(6 - x = 9\), что равносильно \(x = -3\).

Подставим в исходное уравнение: \(\sqrt{6 - (-3)} = 9\) – верное равенство, таким образом, ответ \(x = -3\).

Ответ: -3

Задание 4 #369
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{2x - 9}{5}} = \dfrac{2}{5}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{2x - 9}{5} \geq 0\), что равносильно \(x \geq 4,5\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{2x - 9}{5} = \dfrac{4}{25}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x - 9 = \dfrac{4}{5}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 4,9.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{2\cdot 4,9 - 9}{5}} = \dfrac{2}{5}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 4,9\).

Ответ: 4,9

Задание 5 #370
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{13 - 2x}{10}} = \dfrac{4}{25}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{13 - 2x}{10} \geq 0\), что равносильно \(x \leq 6,5\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{13 - 2x}{10} = \dfrac{16}{625}\qquad\Leftrightarrow\qquad 13 - 2x = \dfrac{256}{1000}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 6,372.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{13 - 2\cdot 6,372}{10}} = \dfrac{4}{25}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 6,372\).

Ответ: 6,372

Задание 6 #3847
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \[\sqrt{2x+31}=9\]

Добавить задание в избранное

ОДЗ уравнения: \(2x+31\geqslant 0\). Так как правая часть уравнения неотрицательна, то данное уравнение имеет решения и преобразуется в: \[2x+31=81\quad\Rightarrow\quad x=25\] Данный корень подходит под ОДЗ.

Ответ: 25

Задание 7 #371
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите корень уравнения \(\sqrt{\dfrac{x + 23}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(\dfrac{x + 23}{6} \geq 0\), что равносильно \(x \geq -23\). Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения: \[\dfrac{x + 23}{6} = \dfrac{25}{3}\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 23 = 50\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 27.\] Подставим в исходное уравнение: \[\sqrt{\dfrac{27 + 23}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}\] – верное равенство, таким образом, ответ \(x = 27\).

Ответ: 27

При подготовке к ЕГЭ по математике у многих выпускников вызывает трудности решение иррациональных уравнений и неравенств. Вывод переменных из-под знака корня и возведение в степени часто сопровождаются ошибками в вычислениях, поэтому стоит обратить внимание на подобные задания. Мы предлагаем школьникам изучить теоретические материалы, рассмотреть типовые примеры с решениями иррациональных уравнений. Также ученики могут попробовать свои силы в выполнении более сложных задач с неизвестными.

Подготовка к ЕГЭ по математике со «Школково» — залог успеха!

Чтобы легко решать иррациональные уравнения со знаком корня, советуем регулярно заниматься на нашем портале. С помощью «Школково» вы сможете получить всю необходимую теоретическую информацию по теме, а также попрактиковаться в решении типовых задач, которые обязательно будут включены в итоговое тестирование.

Наши преподаватели собрали все полезные материалы, систематизировали и изложили их таким образом, чтобы школьникам было проще вспомнить и усвоить информацию даже по сложным темам. База постоянно обновляется и дополняется новыми упражнениями, поэтому выпускники будут получать и решать задания без повторений.

Мы предлагаем начать с легких уравнений и постепенно переходить к более сложным. Так ученикам проще определить свои слабые стороны и сделать упор на те темы, которые даются сложнее всего.

Если простые примеры не вызывают трудностей, пропускайте несколько упражнений и переходите к уравнениям профильного уровня. При необходимости повторите правила и вернитесь к заданию.

Обратите внимание, что занятия на нашем портале доступны не только старшеклассникам из Москвы, но и учащимся из других городов России.