Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Тренировочные варианты ЕГЭ-2018

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Вариант №6 от 15.04.2018

Задание 1

Среди \(12\,000\,000\) жителей города Москвы \(35\%\) не интересуется футболом. Среди жителей, интересующихся футболом, \(60\%\) будут смотреть по телевизору финал Чемпионата мира. Сколько жителей города Москвы будут смотреть этот матч по телевизору?

Найдем число жителей, интересующихся футболом. Если не интересуются футболом \(35\%\), то интересуются \(100\%-35\%=65\%\). Следовательно, нужно найти \(65\%\) от \(12\,000\,000\): \(0,65\cdot 12\,000\,000=7\,800\,000\) человек.
Среди них \(60\%\) будут смотреть матч по телевизору:
\(0,6\cdot 7\,800\,000=4\,680\,000\) человек.

Ответ: 4680000

Задание 2

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель остывал от температуры \(90^\circ C\) до температуры \(80^\circ C\).

Остывал двигатель там, где график идет “сверху вниз” (если смотреть слева направо).
Температура составляла \(90^\circ C\) через 7 минут после начала разогрева, а \(80^\circ C\) – через 8 минут, следовательно, остывал двигатель от \(90^\circ C\) до \(80^\circ C \ \) \(8-7=1\) минуту.

Ответ: 1

Задание 3

Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\).

Заметим, что закрашенная фигура состоит из четырех равных прямоугольных треугольников с катетами \(3\) и \(4\). Следовательно, площадь равна \[S=4\cdot \left(\dfrac 12\cdot 3\cdot 4\right)=24\]

Ответ: 24

Задание 4

Фабрика выпускает сумки, причем в среднем на 141 качественную сумку приходится 9 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка не имеет скрытых дефектов.

Найдем вероятность того, что сумка имеет дефект. Для этого нужно количество дефектных сумок поделить на количество всех сумок. Всего 150 сумок, из них 9 с дефектом, следовательно, \[\dfrac9{150}=0,06\] Тогда вероятность того, что сумка без дефекта, равна \[1-0,06=0,94\]

Ответ: 0,94

Задание 5

Найдите корень уравнения \(\log_{\frac14}(2x+6)=-2\).

ОДЗ уравнения: \(2x+6>0\).
Уравнение можно переписать в виде: \[2x+6=\left(\frac14\right)^{-2}\quad\Leftrightarrow\quad 2x+6=16 \quad\Leftrightarrow\quad x=5\] Данный корень подходит по ОДЗ.

Ответ: 5

Задание 6

Периметр трапеции равен \(52\), а радиус вписанной в нее окружности равен \(4\). Найдите площадь этой трапеции.

Так как площадь любого многоугольника, в который вписана окружность, вычисляется по формуле \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус этой окружности, то \[S=\dfrac{52}2\cdot 4=104\]

Ответ: 104

Задание 7

На рисунке изображен график \(y=f'(x)\) – производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-12;7,6)\). Найдите количество точек минимума функции \(f(x)\), принадлежащих отрезку \([-10;4]\).

Точки минимума – это точки, в которых функция меняет свой характер монотонности с убывания на возрастание. Следовательно, производная меняет свой знак с “\(-\)” на “\(+\)” (если смотреть слева направо). Таким образом, на графике нужно найти точки, в которых он пересекает ось абсцисс “снизу вверх” (если смотреть слева направо):


Следовательно, \(x=-4\).

Ответ: 1

Задание 8

Первая цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Так как объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, то если принять за \(R\) – радиус основания первой кружки, \(h\) – высоту первой кружки, то ее объем равен \(V_1=\pi \cdot R^2\cdot h\).
Из условия следует, что радиус основания второй кружки равен \(1,5R\), высота второй кружки равна \(0,5h\), следовательно, \(V_2=\pi \cdot (1,5R)^2\cdot 0,5h=1,125\cdot \pi\cdot R^2\cdot h\). Тогда \[\dfrac{V_2}{V_1}=1,125\]

Ответ: 1,125

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{7\cos^2 15^\circ-7\sin^2 15^\circ}{\sqrt3}.\)

Так как \(\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x\), то числитель дроби можно преобразовать: \(7(\cos ^215^\circ-\sin^2 15^\circ)=7\cdot \cos 30^\circ\). Так как \(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2\), то \[\dfrac{7\cdot \frac{\sqrt3}2}{\sqrt3}=\dfrac72=3,5\]

Ответ: 3,5

Задание 10

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление \(P\) (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле \[P=\dfrac{4mg}{\pi D^2},\]где \(m=1350\) кг – общая масса навеса и колонны, \(D\) – диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения \(g=10\) м/с\(^2\), а \(\pi=3\), определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше \(200000\) Па. Ответ выразите в метрах.

Из условия задачи следует, что \(P\leqslant 200\,000\). Подставим все значения из условия: \[\dfrac{4\cdot 1350\cdot 10}{3\cdot D^2}\leqslant 200\,000 \quad\Rightarrow\quad D^2\geqslant \dfrac9{100}\quad\Rightarrow\quad D\geqslant \dfrac3{10}\] Следовательно, наименьший возможный диаметр равен \(D=0,3\) (м).

Ответ: 0,3

Задание 11

Первый сплав содержит \(10\%\) меди, второй – \(40\%\) меди. Масса второго сплава больше массы первого на \(3\) кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий \(30\%\) меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Пусть \(x\) – масса первого сплава, тогда \(x+3\) – масса второго. Так как два сплава смешали и получили третий сплав, то сумма меди в первом сплаве и меди во втором сплаве равна меди в третьем сплаве.
В первом сплаве меди \(0,1x\) кг, во втором – \(0,4 (x+3)\) кг, в третьем – \(0,3 (x+x+3)\) кг (так как третий сплав – сумма первых двух, то его масса равна сумме масс первого и второго сплавов).
Получаем уравнение \[0,1x+0,4 (x+3)=0,3 (2x+3)\quad\Leftrightarrow\quad x=3\] Тогда масса третьего сплава равна \(2\cdot 3+3=9\) кг.

Ответ: 9

Задание 12

Найдите точку максимума функции \(y=(x+16)\cdot e^{16-x}\).

Найдем производную: \[y'=1\cdot e^{16-x}+(x+16)\cdot e^{16-x}\cdot (-1)=e^{16-x}\cdot (-x-15)\] Нуль производной: \(x=-15\) (так как \(e^{16-x}>0\) при любых \(x\)).
Найдем знаки производной на двух получившихся промежутках:


Следовательно, по определению \(x=-15\) является точкой максимума (так как при \(x<-15\) функция возрастает, при \(x>-15\) функция убывает).

Ответ: -15

Задание 13

а) Решите уравнение \(2\log^2_4(4\sin x)-5\log_4(4\sin x)+2=0\)

 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{3\pi}2;0\right]\).

а) Сделаем замену \(\log_4(4\sin x)=t\), тогда уравнение примет вид: \[2t^2-5t+2=0\quad\Rightarrow\quad t_1=2; \quad t_2=\dfrac12\] Сделаем обратную замену:

 

1) \(\log_4(4\sin x)=2\quad\Rightarrow\quad 4\sin x=4^2\) – удовлетворяет ОДЗ логарифма \(4\sin x>0\).
Полученное уравнение равносильно \(\sin x=4\), что в свою очередь не имеет решений.

 

2) \(\log_4(4\sin x)=\frac12\quad\Rightarrow\quad 4\sin x=4^{\frac12}\) – также удовлетворяет ОДЗ.
Полученное уравнение равносильно \(\sin x=\frac12\), решением которого будут \(x=\dfrac{\pi}6+2\pi n\) и \(x=\dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни.   1) \(-\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}6+2\pi n\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac56\leqslant n\leqslant -\dfrac1{12}\quad\Rightarrow\quad n\in\varnothing\quad\Rightarrow\quad x\in \varnothing\)   2) \(-\dfrac{3\pi}2\leqslant \dfrac{5\pi}6+2\pi m\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac76\leqslant m\leqslant -\dfrac5{12}\quad\Rightarrow\quad m=-1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{7\pi}6\)

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}6+2\pi n, \ \dfrac{5\pi}6+2\pi m\), \(n,m\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{7\pi}6\)

Задание 14

В основании правильной треугольной пирамиды \(ABCD\) лежит треугольник \(ABC\) со стороной, равной \(6\). Боковое ребро пирамиды равно \(5\). На ребре \(AD\) отмечена точка \(T\) так, что \(AT:TD=2:1\). Через точку \(T\) параллельно прямым \(AC\) и \(BD\) проведена плоскость.

 

а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.

б) Найдите площадь сечения.

а) Назовем плоскость из условия плоскостью \(\alpha\). Так как она параллельна прямой \(AC\), то \(\alpha\) пересечет плоскость \(ADC\) по прямой, параллельной прямой \(AC\). Аналогично она пересечет плоскости \(ADB\) и \(CDB\) по прямым, параллельным \(BD\).
Таким образом, проведем \(TK\parallel AC\), \(KN\parallel BD\), \(TM\parallel BD\). \(MN\) также будет параллельно \(AC\) (так как \(AC\parallel \alpha\)).


Получили сечение \(TMNK\).
Докажем, что оно является прямоугольником.

 

1) Это параллелограмм, так как \(TK\parallel AC\parallel MN\), \(TM\parallel BD\parallel KN\).
Следовательно, осталось доказать, что, например, \(TM\perp MN\).

 

2) Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник и высота пирамиды проходит через точку пересечения медиан (высот, биссектрис) основания. Следовательно, \(BB_1\perp AC\), \(AC\parallel MN\), отсюда \(MN\perp BB_1\).


Пусть \(MN\cap BB_1=F\), \(DB_1\cap TK=E\). Тогда \(EF\) – линия пересечения плоскости \(\alpha\) и \((DBB_1)\). Так как \(B_1\) – середина \(AC\) и \(TK\parallel AC\), то \(E\) – середина \(TK\). Аналогично \(F\) – середина \(MN\). Следовательно, \(EF\parallel TM\).
Значит, если мы докажем, что \(EF\perp MN\), то и \(TM\perp MN\).

 

3) Если \(S\) – точка пересечения \(DO\) и \(EF\), то из теоремы о трех перпендикулярах, так как \(SO\perp (ABC)\), \(OF\perp MN\), следует, что \(SF\perp MN\). Отсюда \(EF\perp MN\). Чтд.

 

б) Нужно найти две смежные стороны \(TMNK\), чтобы найти площадь.
Так как \(TM\parallel BD\), то \(\triangle ATM\sim \triangle ADB\), причем \(AT:AD=2:3\). Следовательно, \(TM=\frac23DB=\frac{10}3\).
Аналогично \(MN=\frac13AC=2\).
Следовательно, \[S_{TMNK}=\dfrac{10}3\cdot 2=\dfrac{20}3\]

Ответ:

б) \(\frac{20}3\)

Задание 15

Решите неравенство \(2\log_{(x^2-8x+17)^2}(3x^2+5)\leqslant \log_{(x^2-8x+17)}(2x^2+7x+5)\).

ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} (x^2-8x+17)^2>0\\ (x^2-8x+17)^2\ne 1\\ 3x^2+5>0\\ x^2-8x+17>0\\ x^2-8x+17\ne 1\\ 2x^2+7x+5>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2-8x+17\ne 0\\ x^2-8x+17\ne \pm 1\\ x^2>-\dfrac53\\[1ex] x^2-8x+17>0\\ x^2-8x+17\ne 1\\ 2x^2+7x+5>0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2>-\dfrac53\\[1ex] x^2-8x+17>0\\ x^2-8x+17\ne 1\\ 2x^2+7x+5>0 \end{cases}\] Так как \(x^2\geqslant 0\) при любом \(x\), то решением первого неравенства будут \(x\in \mathbb{R}\).
Так как \(x^2-8x+17=(x-4)^2+1\), то второе неравенство перепишется в виде \((x-4)^2>-1\) и его решением также будут \(x\in \mathbb{R}\).
\(x^2-8x+17\ne 1\) равносильно \((x-4)^2\ne 0\), решением будут \(x\ne 4\).
Неравенство \(2x^2+7x+5>0\) равносильно \(2(x+1)\left(x+\frac52\right)>0\), следовательно, решением будут \(x\in \left(-\infty;-\frac52\right)\cup(-1;+\infty)\).

 

Пересекая полученные решения, получаем, что ОДЗ: \[x\in \left(-\infty;-\frac52\right)\cup(-1;4)\cup(4;+\infty)\]

Решим неравенство на ОДЗ.
Его можно переписать в виде: \[\log_{(x^2-8x+17)}(3x^2+5)\leqslant \log_{(x^2-8x+17)}(2x^2+7x+5)\] Тогда по методу рационализации: \(\log_ab\geqslant \log_ac\quad\Rightarrow\quad (a-1)(b-c)\geqslant 0\) оно преобразуется в \[(x^2-8x+17-1)(3x^2+5-2x^2-7x-5)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-4)^2\cdot x(x-7)\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов:


Решением будут \(x\in [0;7]\). Пересечем полученное решение с ОДЗ и получим окончательный ответ: \[x\in [0;4)\cup(4;7]\]

Ответ:

\([0;4)\cup(4;7]\)

Задание 16

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(C_1\) и \(B_1\) соответственно.

 

а) Докажите, что треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(AB_1C_1\).

б) Вычислите длину стороны \(BC\) и радиус данной окружности, если \(\angle A=135^\circ\), \(B_1C_1=10\) и площадь треугольника \(AB_1C_1\) в семь раз меньше площади четырехугольника \(BCB_1C_1\).

а) Заметим, что эти треугольники имеют один общий угол – \(\angle A\).


Докажем, что \(\angle ABC=\angle AB_1C_1\). Тогда по признаку равенства по двум углам эти треугольники будут подобны.
\(\angle C_1BC+\angle C_1B_1C=180^\circ\) по свойству вписанного четырехугольника \(CBC_1B_1\). Следовательно, \(\angle AB_1C_1=180^\circ-\angle C_1B_1C= 180^\circ-(180^\circ-\angle C_1BC)=\angle C_1BC\). Чтд.

 

б) Пусть \(S_{AB_1C_1}=S\), тогда \(S_{B_1C_1BC}=7S\). Следовательно, \(S_{ABC}=8S\). Тогда \(S_{ABC}:S_{AB_1C_1}=8:1\). Так как эти треугольники подобны (доказано в пункте а), то это значит, что их коэффициент подобия равен \(k=\sqrt8=2\sqrt2\).
Следовательно, \(BC=2\sqrt2B_1C_1=20\sqrt2\).
Проведем \(OH\perp BC\), \(OP\perp B_1C_1\). Так как отрезок, проведенный из центра окружности перпендикулярно хорде, делит ее пополам, то \(HC=10\sqrt2\), \(B_1P=5\).
\(OC=OB_1=R\) – радиусы окружности.
Пусть большая дуга \(BC\) равна \(2\alpha\), меньшая дуга \(B_1C_1\) равна \(2\beta\). Тогда по свойству угла между двумя секущими \(135^\circ=\angle A=\alpha-\beta\).


Тогда меньшая дуга \(BC\) равна \(\angle BOC\) и равна \(360^\circ-2\alpha\), откуда \(\angle COH=180^\circ-\alpha\). Тогда \(\angle OCH=\alpha-90^\circ\).
Аналогично \(\angle B_1OC_1=2\beta\), откуда \(\angle B_1OP=\beta\).
Тогда : \[\begin{cases} \cos \angle OCH=\cos\angle (\alpha-90^\circ)=\dfrac{10\sqrt2}{R}\\[2ex] \sin\angle B_1OP=\sin\angle \beta=\dfrac{5}{R} \\[2ex] 135^\circ=\alpha-\beta\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 2\sqrt2\sin \beta=\sin\alpha \\ \alpha=\beta+135^\circ \end{cases}\] Тогда первое уравнение можно записать как: \(2\sqrt2\sin\beta=\sin (135^\circ+\beta)\).
С помощью формулы \(\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\sin y\cdot \cos x\) можно получить уравнение \[2\sqrt2\sin \beta=\dfrac{\sqrt2}2(\cos \beta-\sin \beta) \quad\Rightarrow\quad \mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}=\dfrac15\] Теперь рассмотрим \(\triangle B_1OP\).
\(B_1P:OP=1:5\), откуда \(OP=25\). Следовательно, по теореме Пифагора, \[R=OB_1=5\sqrt{26}\]

Ответ:

б) \(20\sqrt2; \ 5\sqrt{26}\)

Задание 17

Планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Сколько рублей будет взято в банке, если известно, что общая сумма выплат после его погашения составит \(6957500\) рублей?

Из условия задачи следует, что система платежей дифференцированная. Общая сумма выплат по кредиту – это сумма всех платежей.
Пусть \(S\) – сумма, взятая в кредит.
Выпишем все платежи, учитывая, что они дифференцированные:

 

\(x_1=0,1\cdot S+\frac1{25}S\);

 

\(x_2=0,1\cdot \frac{24}{25}S+\frac1{25}S\);

 

\(...\)

 

\(x_{25}=0,1\cdot \frac1{25}S+\frac1{25}S\).

 

Следовательно, можно составить уравнение: \[\begin{aligned} &\left(0,1\cdot S+\dfrac1{25}S\right)+\left(0,1\cdot \dfrac{24}{25}S+\dfrac1{25}S\right)+\dots + \left(0,1\cdot \dfrac1{25}S+\dfrac1{25}S\right)=6957500\\[2ex] &0,1\cdot S\cdot \left(1+\dfrac{24}{25}+\dots +\dfrac1{25}\right)+25\cdot \dfrac1{25}S=6957500 \end{aligned}\] Так как в скобках находится арифметическая прогрессия, то найдем ее сумму по формуле \(S_{25}=\dfrac{a_1+a_{25}}2\cdot 25\).
Так как \(a_1=1\), \(a_{25}=\frac1{25}\), тогда \[\begin{aligned} &0,1\cdot S\cdot \left(\dfrac{1+\frac1{25}}2\cdot 25\right)+S=6957500\\[2ex] &0,1\cdot S\cdot 13+S=6957500\\[1ex] &S\cdot 2,3=6957500\\[1ex] &S=3025000 \end{aligned}\]

Ответ: 3025000

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[10a+\sqrt{-35+12x-x^2}=ax+1\]

имеет единственный корень.

Заметим, что \(-x^2+12x-35=-(x-6)^2+1\). Поэтому перепишем уравнение в виде \[\sqrt{-(x-6)^2+1}=a(x-10)+1\] Рассмотрим две функции: \(y=\sqrt{-(x-6)^2+1}\) и \(g=a(x-10)+1\).
При каждом фиксированном \(a\) графиком \(g\) является прямая, проходящая через точку \((10;1)\).
Рассмотрим подробнее \(y\). Заметим, что во-первых \(y\geqslant 0\). Во-вторых, если возвести обе части в квадрат, получим \(y^2+(x-6)^2=1\). Это уравнение окружности с центром в точке \((6;0)\) и радиусом \(1\). Но так как \(y\geqslant 0\), то графиком функции \(y\) является полуокружность (лежащая в верхней полуплоскости):


Нам нужно, чтобы графики имели ровно одну общую точку.
Рассмотрим случай (1), когда \(a=0\). Тогда \(g=1\) и это прямая, параллельная оси абсцисс. Она будет касаться полуокружности в точке \((6;1)\). Следовательно, это значение \(a\) нам подходит.
Когда прямая находится между положениями (1) и (2) (включая положение (2)), то она имеет 2 общие точки с полуокружностью.


Находясь между положениями (2) и (3) (включая положение (3)), прямая имеет уже одну общую точку с полуокружностью. Следовательно, эти значения \(a\) нам подходят и их нужно найти.

 

Положение (2) – когда прямая проходит через точку \((5;0)\): \(0=a(5-10)+1\), откуда \(a=\frac15\).

Положение (3) – когда прямая проходит через точку \((7;0)\): \(0=a(7-10)+1\), откуда \(a=\frac13\).

 

Таким образом, \(a\in \{0\}\cup \left(\dfrac15; \dfrac13\right]\).

 

Заметим, что во всех других положениях прямая не имеет с окружностью общих точек.

Ответ:

\(a\in \{0\}\cup \left(\frac15; \frac13\right]\)

Задание 19

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40, но меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

а) Предположим, что на доске написано 5 чисел. Упорядочим их в порядке возрастания. Тогда, если произведение двух самых меньших чисел больше 40, то произведение любых двух чисел больше 40. Аналогично, если произведение двух самых больших чисел меньше 100, то произведение любых двух чисел меньше 100.
Возьмем числа 6, 7, 8, 9, 10. Заметим, что \(6\cdot 7=42>40\), \(9\cdot 10=90<100\). Следовательно, этот пример нам подходит.
Ответ: да.

 

б) Предположим, что у нас есть 6 чисел, удовлетворяющих условию. Упорядочим их по возрастанию: \(a, b, c, d, e, f\).
Учитывая рассуждения из пункта а, можно сказать, что \(b\geqslant 7\). Действительно, если \(b<7\), то есть \(b\leqslant 6\), то \(a\leqslant 5\) (так как оно меньше \(b\)), следовательно, их произведение \(\leqslant 30\), что не удовлетворяет условию.
Аналогично можно сказать, что \(e\leqslant 9\).
Следовательно, \(b, c, d, e\) – различные натуральные числа из отрезка \([7;9]\).
Но в этом отрезке находятся лишь три натуральных числа: 7, 8 и 9. Получили противоречие, следовательно, ответ: нет.

 

в) Аналогично, пусть есть четыре числа, упорядоченных по возрастанию: \(a, b, c, d\).
По аналогии с пунктом б, второе число \(b\geqslant 7\), третье число \(c\leqslant 9\).
Следовательно, возможные варианты для чисел \(b, c \,\):
1) \(b=7, c=8\);
2) \(b=8, c=9\);
3) \(b=7, c=9\).
Заметим, что для того, чтобы сумма чисел была наименьшей, нужно взять вместо каждого числа минимально возможное.
в 1-ом случае наименьшее \(a\), которое мы можем взять, это \(a=6\), а \(d=9\). Тогда сумма равна \(6+7+8+9\).
Во 2-ом случае минимальное \(a=6\), \(d=10\). Сумма равна \(6+8+9+10\) (уже больше, чем в случае 1).
В 3-ем случае \(a=6, d=10\). Сумма равна \(6+7+9+10\) (также больше, чем в случае 1).
Таким образом, ответ: \(6+7+8+9=30\).

Ответ:

а) да

б) нет

в) 30