а) Предположим, что на доске написано 5 чисел. Упорядочим их в порядке возрастания. Тогда, если произведение двух самых меньших чисел больше 40, то произведение любых двух чисел больше 40. Аналогично, если произведение двух самых больших чисел меньше 100, то произведение любых двух чисел меньше 100.
Возьмем числа 6, 7, 8, 9, 10. Заметим, что \(6\cdot 7=42>40\), \(9\cdot
10=90<100\). Следовательно, этот пример нам подходит.
Ответ: да.
б) Предположим, что у нас есть 6 чисел, удовлетворяющих условию. Упорядочим их по возрастанию: \(a, b, c, d, e, f\).
Учитывая рассуждения из пункта а, можно сказать, что \(b\geqslant 7\). Действительно, если \(b<7\), то есть \(b\leqslant 6\), то \(a\leqslant 5\) (так как оно меньше \(b\)), следовательно, их произведение \(\leqslant
30\), что не удовлетворяет условию.
Аналогично можно сказать, что \(e\leqslant 9\).
Следовательно, \(b, c, d, e\) – различные натуральные числа из отрезка \([7;9]\).
Но в этом отрезке находятся лишь три натуральных числа: 7, 8 и 9. Получили противоречие, следовательно, ответ: нет.
в) Аналогично, пусть есть четыре числа, упорядоченных по возрастанию: \(a, b, c, d\).
По аналогии с пунктом б, второе число \(b\geqslant 7\), третье число \(c\leqslant 9\).
Следовательно, возможные варианты для чисел \(b, c \,\):
1) \(b=7, c=8\);
2) \(b=8, c=9\);
3) \(b=7, c=9\).
Заметим, что для того, чтобы сумма чисел была наименьшей, нужно взять вместо каждого числа минимально возможное.
в 1-ом случае наименьшее \(a\), которое мы можем взять, это \(a=6\), а \(d=9\). Тогда сумма равна \(6+7+8+9\).
Во 2-ом случае минимальное \(a=6\), \(d=10\). Сумма равна \(6+8+9+10\) (уже больше, чем в случае 1).
В 3-ем случае \(a=6, d=10\). Сумма равна \(6+7+9+10\) (также больше, чем в случае 1).
Таким образом, ответ: \(6+7+8+9=30\).
Ответ:
а) да
б) нет
в) 30