а) Пример последовательности при \(n=23\):
\( 1, 2, 23, -18, 43, -38, 63,-58,83,-78,103,-100,125,-122,147,-144,
169,-166,191,-188,213,-210,235. \)
б) Исходя из условия, любые соседние числа данной последовательности будут разной четности. Следовательно, если бы такая последовательность существовала, то \(a_{1000}\) было бы четным, а \(235\) – нечетное число, следовательно, такой последовательности не существует.
в) Наименьшее \(n\) равно \(23\) (пример из пункта а).
Т.к. из пункта б) следует, что количество членов последовательности должно быть нечетным, нам нужно доказать, что \(n>21\). Докажем от противного. Предположим, что существует такая последовательность, где \(n\leqslant 21\). Будем рассматривать последовательность справа налево. Заметим, что если какой-то член последовательности больше \(25\), то слева от него стоит отрицательное число. Также заметим, что слева от отрицательного числа обязано стоять положительное число. Поэтому до тех пор, пока, идя справа налево, мы не встретим первое положительное число \(\leqslant 25\) (назовем его \(a_i\)), числа будут образовывать знакопеременную последовательность.
Среди чисел, стоящих правее \(a_i\), любые числа, стоящие через один, отличаются по модулю либо на \(0\), либо на \(2\), либо на \(20\), либо на \(22\):
пусть \(a,b,c\) – три подряд идущих члена последовательности, стоящие правее \(a_i\). Тогда \(a+b=p, \ b+c=q \ \Rightarrow |a-c|=|p-q|\), где \(p, q\) принимают значения \(3, 5, 25\) (из условия). Следовательно, \(|p-q|\) принимает значения \(0,2,20,22\).
Таким образом, правее \(a_i\) стоит не менее \(20\) чисел, т.к. \(235-22\cdot 9=37>25\). То есть мы максимально быстро уменьшаем положительные числа: \[235,*213,*,191,*,169,*,\dots \qquad \qquad
({\small{\text{* - отрицательные числа}}})\]
Итак, мы имеем последовательность \(1, \dots, a_i, a_{i+1}, \dots,
235\), в которой как минимум \(22\) члена последовательности (т.к. \(a_i\ne 1\)). Но по предположению \(n\leqslant 21\), следовательно, мы получили противоречие.
Ответ:
б) нет
в) \(23\)