Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2016

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. Реальные варианты ЕГЭ 2016

Задание 1

Показания счётчика электроэнергии \(1\) сентября составляли \(29 947\) кВ\(\cdot \)ч, а \(1\) октября - \(30 047\) кВ\(\cdot \)ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за сентябрь, если \(1\) кВ\(\cdot \)ч электроэнергии стоит \(4\) рубля \(28\) копеек? Ответ дайте в рублях.

Вычислим, сколько кВ\(\cdot \)ч электроэнергии было израсходовано за сентябрь: \(30 047 - 29 947 = 100\) кВ\(\cdot \)ч. Таким образом, необходимо заплатить: \(100\cdot4,28 = 428\) руб.

Ответ: 428

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура в Брянске за каждый месяц \(1994\) года. По горизонтали указывается номер месяца (\(1\) — январь, \(2\) — февраль и т.д.), по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в Брянске в период с апреля по сентябрь \(1994\) года.
Ответ дайте в градусах Цельсия.




 

Наименьшая среднемесячная температура в период с апреля по сентябрь – это наименьшая температура с \(4\) по \(9\) месяц. По диаграмме видно, что в \(4\)-ом месяце температура в этом периоде была минимальна и равна \(6^\circ C\).

Ответ: 6

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображён треугольник \(ABC\). Найдите его площадь.




 

Проведем высоту из точки \(C\) на прямую \(AB\). Так как треугольник тупоугольный, высота упадет на продолжение \(AB\) и будет равна \(4\), \(AB = 5\).

 

Тогда \(S = \frac{1}{2}\cdot4\cdot5 = 10\).

Ответ: 10

Задание 4

В чемпионате по гимнастике участвуют \(40\) спортсменов, включая \(8\) спортсменов из Кореи и \(10\) — из России. Порядок, в котором выступают гимнасты, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен из России будет выступать тридцать девятым.

В чемпионате принимают участие \(10\) спортсменов из России. Тогда вероятность того, что спортсмен, выступающий тридцать девятым, окажется из России, равна \(\dfrac{10}{40} = 0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 5

Найдите корень уравнения \( \sqrt {3x+49} = 10\)

Возведя в квадрат обе части равенства, получим:

\[3x+49 = 100 \quad \Rightarrow \quad 3x = 51 \quad \Rightarrow \quad x = 17\]

Т.к. возведение в квадрат может добавить лишние корни, то сделаем проверку: \(\sqrt{3\cdot 17+49}=10\) – верно.

Ответ: 17

Задание 6

Стороны \(AB\) и \(CD\) четырёхугольника \(ABCD\), описанного около окружности, равны \(28\) и \(24\) соответственно. Найдите периметр этого четырёхугольника.

Так как в четырёхугольник \(ABCD\) можно вписать окружность, значит суммы его противоположных сторон равны: \(AD+BC = AB+CD = 28+24 = 52\).
Периметр четырёхугольника равен \(AB+CD+AD+CB = 52+52 = 104\).

Ответ: 104

Задание 7

На рисунке изображён график \(y = f'(x)\) — производной функции \(f(x)\), определенной на интервале \((-3;19)\). Найдите все точки, в которых касательная к графику функции \(f(x)\) параллельна прямой \(y = 2x-11\) или совпадает с ней. В ответ запишите их количество.




 

В уравнении касательной коэффициент перед \(x\) и есть значение производной в точке касания: \(f'(x_0)=2\). На рисунке изображен график производной, значит, задача сводится к тому, чтобы найти количество точек \(x_0\) с ординатой \(2\). Для этого проведем прямую \(y = 2\). Из рисунка видно, что таких точек \(5\).

Ответ: 5

Задание 8

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки \(A_1 ,B_1 ,C_1 ,B\) прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\), площадь основания которой равна \(5\), а боковое ребро равно \(9\).




 

Необходимо вычислить объём треугольной пирамиды (см. рисунок), высота которой равна \(9\), а площадь основания — \(5\).

 

\(V = \dfrac{1}{3}\cdot S_{осн} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot5\cdot9 = 15\).

Ответ: 15

Задание 9

Найдите значение выражения \[\dfrac {\log_{4}{0,45}}{\log_{4}{3}} + \log_{3}{20}\]

Выполним преобразования: \[\dfrac {\log_{4}{0,45}}{\log_{4}{3}} + \log_{3}{20} = \log_{3}{0,45}+\log_{3}{20} = \log_{3}{0,45\cdot20} = \log_{3}{9} = 2\]

Ответ: 2

Задание 10

Груз массой \(0,25\) кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону \(v = v_0 \sin\frac{2\pi t}{T}\) где \(t\) - время с момента начала колебаний, \(T = 12\) с - период колебаний, \(v_0 = 1,6\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \frac{mv^2}{2}\), где \(m\) - масса груза в килограммах, \(v\) - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через \(10\) секунд после начала колебаний.
Ответ дайте в джоулях.

Найдем скорость груза через \(10\) секунд после начала колебаний: \[v = v_0 \sin\dfrac{2\pi t}{T} = 1,6\cdot \sin\dfrac{2\pi 10}{12} = 1,6\cdot \sin\dfrac{5\pi}{3} = 1,6\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{4\sqrt{3}}{5}\]

Найдем кинетическую энергию груза через \(10\) секунд после начала колебаний:

\(E = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{0,25 \cdot \left(-\frac{4\sqrt{3}}{5}\right)^2}{2} = 0,24 \).

Ответ: 0,24

Задание 11

Смешав \(41\)–процентный и \(63\)–процентный растворы кислоты и добавив \(10\) кг чистой воды, получили \(49\)–процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(10\) кг воды добавили \(10\) кг \(50\)–процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(54\)–процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(41\)–процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса \(41\)–процентного раствора кислоты — \(x\) кг, а масса \(63\)–процентного — \(y\) кг. Если смешать \(41\)–процентный и \(63\)–процентный растворы кислоты и добавить \(10\) кг чистой воды, получится \(49\)–процентный раствор кислоты. Значит, уравнение относительно массы кислоты будет выглядеть так: \[0,41x+0,63y = 0,49(x+y+10)\]

Если бы вместо \(10\) кг воды добавили \(10\) кг \(50\)–процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(54\)–процентный раствор кислоты:

\[0,41x+0,63y+0,5\cdot10 = 0,54(x+y+10)\]

Получили следующую систему уравнений:

\[\begin{cases} 0,41x+0,63y = 0,49(x+y+10) \\ 0,41x+0,63y+5 = 0,54(x+y+10) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0,08x-0,14y = -4,9 \\ 0,13x-0,09y = -0,4 \end{cases}\]

Решив систему, получим \(x = 35, y = 55\). Требовалось найти \(x\).

Ответ: 35

Задание 12

Найдите точку минимума функции \(y=-\dfrac{x}{x^2+169}\).

Найдем производную заданной функции: \[y' = \left(- \dfrac{x}{x^2+169}\right)' = - \dfrac{1\cdot(x^2+169)-x\cdot(2x)}{(x^2+169)^2} = \dfrac{x^2-169}{(x^2+169)^2}\]

Найдем критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует):

\[y' = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = -13 \ \text{ или } \ x = 13\]

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:


 

Искомая точка минимума \(x=13\).

Ответ: 13

Задание 13

а) Решите уравнение \[2\log^2_2{(2\sin x)}-7\log_2{(2\sin x)}+3=0.\]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{\pi}2;2\pi\right]\).

а) ОДЗ уравнения: \(2\sin x>0 \Rightarrow \sin x>0\).

 

Решим данное уравнение на ОДЗ. Сделаем замену \(\log_2{(2\sin x)}=t\). Тогда уравнение примет вид:

\[2t^2-7t+3=0 \Rightarrow t_1=3, \ t_2=\dfrac12\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} & \log_2{(2\sin x)}=3\\ & \log_2{(2\sin x)}=\dfrac12 \end{aligned}\end{gathered} \right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} & \sin x=4\\ & \sin x=\dfrac{\sqrt2}2 \end{aligned}\end{gathered} \right.\]

Первое уравнение не имеет решений, т.к. \(-1\leqslant \sin x\leqslant 1\). Второе уравнение имеет решения и удовлетворяет ОДЗ, следовательно, \(x_1=\dfrac{\pi}4+2\pi n, \ x_2=\dfrac{3\pi}4+2\pi m, \ n,m\in\mathbb{Z}\).

 

б) Отберем корни, решив два неравенства:

\[\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}4+2\pi n\leqslant 2\pi \quad \text{и} \quad \dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{3\pi}4+2\pi m\leqslant 2\pi\]

Корень, принадлежащий отрезку \(\left[\dfrac{\pi}2;2\pi\right]\) — это \(x=\dfrac{3\pi}4\).

Ответ:

а) \(\dfrac{\pi}4+2\pi n, \dfrac{3\pi}4+2\pi m, \ n, m\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(\dfrac{3\pi}4\)

Задание 14

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) сторона основания \(AB\) равна \(12\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(6\). На ребре \(B_1C_1\) отмечена точка \(L\) так, что \(B_1L=2\). Точки \(K, M\) – середины ребер \(AB\) и \(A_1C_1\) соответственно. Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(AC\) и содержит точки \(K\) и \(L\).

 

а) Докажите, что прямая \(BM\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).

б) Найдите объем пирамиды, вершины которой – точка \(M\), а основание – сечение данной призмы плоскостью \(\alpha\).

а)

 

Построим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\). Т.к. плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(AC\), то она будет пересекать основания призмы по прямым, параллельным прямой \(AC\). Следовательно, прямая пересечения плоскости \(\alpha\) с плоскостью \(A_1B_1C_1\) – прямая \(LP\parallel A_1C_1\parallel AC\). Таким образом, сечение призмы плоскостью \(\alpha\) – равнобокая трапеция \(KNLP\).

 

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости.
Проведем \(MH\perp ABC \Rightarrow \) по теореме о трех перпендикулярах \(BM\) (наклонная) \(\perp KN\), т.к. \(BH\) (проекция) \(\perp KN\).



\(BM\) пересекает плоскость \(\alpha\) на прямой \(TZ\), где \(T, Z\) – середины \(KN\) и \(PL\) соответственно. Докажем, что \(BM\perp TZ\). Для этого докажем, что \(\angle OTB=\angle HMB\).
Рассмотрим сечение \(MHBB_1\). \(BH\) – высота правильного треугольника, следовательно, \(BH=\dfrac{12\sqrt3}{2}=6\sqrt3 \Longrightarrow BT=3\sqrt3.\) \(B_1Z=\sqrt3 \Longrightarrow TZ'=2\sqrt3\).

Таким образом, \(\mathrm{tg}\,\angle OTB = \dfrac{6}{2\sqrt3}=\sqrt3=\dfrac{BH}{MH}=\mathrm{tg}\,\angle MHB\).

Следовательно, \(\bigtriangleup OTB~\bigtriangleup MHB\) по двум углам \(\Longrightarrow \angle TOB=\angle MHB =90^{\circ}\).
Таким образом, \(BM\perp KN\) и \(BM\perp OT \Longrightarrow BM\perp \alpha\).

 

б) Найдем \(MO\) – высоту пирамиды \(MKNLP\).
Т.к. \(\mathrm{tg}\,\angle OTB=\sqrt3 \Longrightarrow \angle OTB=60^{\circ} \Longrightarrow \sin\angle OTB = \dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{OB}{TB} \Longrightarrow OB=\dfrac{9}{2}\).

Аналогично, \(\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{BH}{MB} \Longrightarrow MB=12 \Longrightarrow MO=MB-OB=\dfrac{15}{2}\).

 

Найдем высоту \(ZT\) трапеции \(KNLP\).

 

Из прямоугольного \(\triangle ZZ'T\) по теореме Пифагора \(ZT=\sqrt{6^2+(2\sqrt3)^2}=4\sqrt3\)

 

\(KN=\dfrac12 AC=6, \quad LP=\dfrac 16 A_1C_1=2\). Значит: \[V_{MKNLP}=\dfrac MO\cdot \dfrac{KN+LP}2\cdot ZT=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{15}{2}\cdot \dfrac{6+2}{2}\cdot 4\sqrt3=40\sqrt3\]

Ответ:

б)\(40\sqrt3\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\dfrac{49^x-6\cdot 7^x+3}{7^x-5}+\dfrac{6\cdot 7^x-39}{7^x-7}\leqslant 7^x+5\]

Сделаем замену \(7^x=t\) и приведем правую и левую части неравенства к общему знаменателю:

\[\dfrac{t^3-7t^2-6t^2+42t+3t-21+6t^2-30t-39t+195}{(t-5)(t-7)} \leqslant \dfrac{t^3-7t^2-25t+175}{(t-5)(t-7)} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow \dfrac{t-1}{(t-5)(t-7)}\leqslant 0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:


 

Нам подходят те значения \(t\), над которыми стоит знак “\(-\)”:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &t\leqslant 1\\ & 5<t<7 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &7^x\leqslant 1\\ & 5<7^x<7 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} & x\leqslant0\\ & \log_75<x<1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Ответ:

\((-\infty;0]\cup(\log_75;1)\)

Задание 16

В трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\) перпендикулярна основаниям. Из точки \(A\) на сторону \(CD\) опустили перпендикуляр \(AH\). На стороне \(AB\) отмечена точка \(E\) так, что прямые \(CD\) и \(CE\) перпендикулярны.

 

а) Докажите, что прямые \(BH\) и \(ED\) параллельны.

б) Найдите отношение \(BH:ED\), если \(\angle BCD=150^\circ\).

а) Рассмотрим четырехугольник \(AECD\): т.к. \(\angle ECD+\angle EAD=180^\circ\), то около него можно описать окружность. Следовательно, \(\angle ECA=\angle EDA\) как вписанные и опирающиеся на одну хорду \(EA\). Около четырехугольника \(ABCH\) также можно описать окружность, следовательно, \(\angle CBH=\angle CAH\).


 

Но \(\angle CAH=\angle ECA\) как накрест лежащие при \(EC\parallel AH\) и \(AC\) – секущей. Следовательно, \(\angle CBH=\angle ADE\).

 

Таким образом, \(\angle AED=90^\circ-\angle ADE=90^\circ -\angle CBH=\angle EBH\) – соответственные при прямых \(BH\) и \(ED\) и секущей \(AB\). Значит \(BH\parallel ED\).

 

б) Достроим трапецию \(ABCD\) до треугольника \(AOD\). Т.к. \(BH\parallel ED \Rightarrow \triangle OBH\sim \triangle OED\).

 

Значит, \(\dfrac{BH}{ED}=\dfrac{OB}{OE}\).

 

Т.к. \(\angle BCD=150^\circ \Rightarrow \angle BCE=\angle BOC=60^\circ, \ \angle OCB=\angle BEC=30^\circ\).

 

Пусть \(OB=x \Rightarrow BC=\sqrt3 x \Rightarrow BE=3x \Rightarrow OE=4x\). Таким образом, \[\dfrac{BH}{ED}=\dfrac{OB}{OE}=\dfrac14\]

Ответ:

б) \(1:4\)

Задание 17

\(15\)-ого января планируется взять кредит в банке на сумму \(1\) млн рублей на \(6\) месяцев. Условия его возврата таковы:
\(\bullet\) \(1\)-ого числа каждого месяца долг возрастает на целое число \(r\) процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
\(\bullet\) со \(2\)-ого по \(14\)-е числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
\(\bullet\) \(15\)-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Дата} & 15.01 & 15.02 & 15.03 & 15.04 & 15.05 & 15.06 & 15.07\\ \hline \text{Долг (в млн руб.)} & 1 & 0,9 & 0,8 & 0,7 & 0,6 & 0,5 & 0\\ \hline \end{array}\]
Найдите наименьшее значение \(r\), при котором общая сумма выплат будет составлять более \(1,3\) млн рублей.

Составим таблицу, где \(\dfrac{100+r}{100}=t.\)

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг в млн руб.} & \text{Долг в млн руб.} & \text{Долг в млн руб.} & \text{Выплата в млн руб.}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{после выплаты} & \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & & \\ \hline 1&1 &t &0,9 & t-0,9\\ \hline 2&0,9 &0,9t &0,8 & 0,9t-0,8\\ \hline 3&0,8 &0,8t &0,7 & 0,8t-0,7\\ \hline 4&0,7 &0,7t &0,6 & 0,7t-0,6\\ \hline 5&0,6 &0,6t &0,5 & 0,6t-0,5\\ \hline 6&0,5 &0,5t &0 & 0,5t\\ \hline \end{array}\]
Тогда общая сумма выплат составляет:
\(0,1t\cdot (10+9+8+7+6+5)-0,1(9+8+7+6+5)=4,5t-3,5\)
Т.к. общая сумма выплат должна быть более 1,3 млн, то имеем неравенство:
\(4,5t-3,5>1,3 \Leftrightarrow t>\dfrac{16}{15}\)

Таким образом, \(r>\dfrac{100}{15}\)
Т.к. \(r\) – целое, то наименьшее \(r\), удовлетворяющее неравенству — это \(r=7\).

Ответ:

\(7\%\)

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{8x^2+4ax+4}=x^2+ax+2\]

имеет ровно три различных решения.

Сделаем преобразования:  

\(\sqrt{8x^2+4ax+4}=x^2+ax+2 \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} 8x^2+4ax+4=(x^2+ax+2)^2\\ x^2+ax+2\geqslant 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^4+2ax^3+a^2x^2-4x^2=0\\ x^2+ax+2\geqslant 0 \end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=0\\ &x_2=2-a\\ &x_3=-2-a \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x^2+ax+2\geqslant 0 \end{cases} \)

 

Для того, чтобы система имела три различных решения, необходимо, чтобы все три корня были различны и удовлетворяли неравенству \(x^2+ax+2\geqslant 0\).

 

Заметим, что при всех \(a\ne \pm 2\) все три корня различны, значит, необходимо, чтобы:

\[\begin{cases} 0^2+a\cdot 0+2\geqslant 0\\ (2-a)^2+a(2-a)+2\geqslant 0\\ (-2-a)^2+a(-2-a)+2\geqslant 0\\ a\ne \pm 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 3\\ a\geqslant -3\\ a\ne \pm 2 \end{cases}\]

Значит, \(a\in [-3;-2)\cup(-2;2)\cup(2;3]\).

Ответ:

\(a\in [-3;-2)\cup(-2;2)\cup(2;3]\)

Задание 19

Дана последовательность, состоящая из \(n\) целых чисел, причем \(a_1=1, \ a_n=235\). Сумма любых соседних членов данной последовательности равна либо \(3\), либо \(5\), либо \(25\).

 

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли в такой последовательности \(n=1000\)?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть в такой последовательности?

а) Пример последовательности при \(n=23\):

\( 1, 2, 23, -18, 43, -38, 63,-58,83,-78,103,-100,125,-122,147,-144, 169,-166,191,-188,213,-210,235. \)

б) Исходя из условия, любые соседние числа данной последовательности будут разной четности. Следовательно, если бы такая последовательность существовала, то \(a_{1000}\) было бы четным, а \(235\) – нечетное число, следовательно, такой последовательности не существует.

 

в) Наименьшее \(n\) равно \(23\) (пример из пункта а).

 

Т.к. из пункта б) следует, что количество членов последовательности должно быть нечетным, нам нужно доказать, что \(n>21\). Докажем от противного. Предположим, что существует такая последовательность, где \(n\leqslant 21\). Будем рассматривать последовательность справа налево. Заметим, что если какой-то член последовательности больше \(25\), то слева от него стоит отрицательное число. Также заметим, что слева от отрицательного числа обязано стоять положительное число. Поэтому до тех пор, пока, идя справа налево, мы не встретим первое положительное число \(\leqslant 25\) (назовем его \(a_i\)), числа будут образовывать знакопеременную последовательность.

 

Среди чисел, стоящих правее \(a_i\), любые числа, стоящие через один, отличаются по модулю либо на \(0\), либо на \(2\), либо на \(20\), либо на \(22\):

пусть \(a,b,c\) – три подряд идущих члена последовательности, стоящие правее \(a_i\). Тогда \(a+b=p, \ b+c=q \ \Rightarrow |a-c|=|p-q|\), где \(p, q\) принимают значения \(3, 5, 25\) (из условия). Следовательно, \(|p-q|\) принимает значения \(0,2,20,22\).

 

Таким образом, правее \(a_i\) стоит не менее \(20\) чисел, т.к. \(235-22\cdot 9=37>25\). То есть мы максимально быстро уменьшаем положительные числа: \[235,*213,*,191,*,169,*,\dots \qquad \qquad ({\small{\text{* - отрицательные числа}}})\]

Итак, мы имеем последовательность \(1, \dots, a_i, a_{i+1}, \dots, 235\), в которой как минимум \(22\) члена последовательности (т.к. \(a_i\ne 1\)). Но по предположению \(n\leqslant 21\), следовательно, мы получили противоречие.

Ответ:

б) нет

в) \(23\)