Пусть Артур взял в кредит \(A\) тыс.рублей и \(x\) тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу, заметив, что \(1,125=\frac{9}{8}\):
\[\begin{array}{|l|c|c|}
\hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\
\hline 1&\frac98A&\frac98A-x\\
\hline 2&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x-x\\
\hline 3&\left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x& \left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\
\hline 4& \left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x&\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\
\hline
\end{array}\]
Таким образом, имеем следующее уравнение
\[\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x=0
\quad \Leftrightarrow \quad
\left(\frac98\right)^4A=x\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]
Т.к. всего банку он заплатил \(4x\) рублей, то переплата равна \(4x-A=6\,524\), откуда \(x=\frac14\left(A+6\,524\right)\). Подставим это в уравнение:
\[\left(\frac98\right)^4A=\dfrac14\left(A+6\,524\right)\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]
откуда выражаем, что
\[A=\dfrac{2\cdot 6524\cdot \left(\dfrac{9^4}{8^4}-1\right)}{2-\dfrac{9^4}{8^4}}=
\dfrac{2\cdot 6524\cdot (9^4-8^4)}{2\cdot 8^4-9^4}\]
Найдем \(9^4-8^4\):
\(9^4-8^4=(9-8)(9+8)(9^2+8^2)=17\cdot 145\).
Тогда, учитывая известное \(2^{10}=1024\), имеем: \(2\cdot
8^4-9^4=8^4-(9^4-8^4)=2^{12}-17\cdot 145=4096-2465=1631\).
Значит,
\[A=\dfrac{2\cdot 1631\cdot 4\cdot 2465}{1631}=19720 \text{ тыс.рублей}\]
Значит, вся квартира стоила \(19\,720+5\,280=25\,000\, тыс.рублей.\) Тогда процент денег, которых ему не хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет
\[\dfrac{19\,720}{25\,000}\cdot 100\%=\dfrac{1972\cdot 4}{2500\cdot 4}\cdot 100\%=
\dfrac{7888}{100}\%=78,88\%\]
Ответ:
\(78,88\%\)