Математика
Русский язык

Тренировочные варианты "Школково". Уровень составитель ЕГЭ

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Уровень составитель ЕГЭ. Тренировочный вариант №6

Задание 1

Игнат решил, что ему необходимо выпивать в день ровно \(4\, л\) воды. На сколько полноценных дней ему хватило \(130\, л\) воды, если в итоге каждый день он выпивал воды на \(25\%\) меньше задуманного?

В итоге Игнат выпивал в день по \(4 \cdot (1 - 0,25) = 3\) литра воды. Необходимо найти наибольшее целое число, при умножении которого на \(3\) результат останется не больше \(130\). Это число получается после округления в меньшую сторону результата от деления \(130\) на \(3\) и равно \(43\).

Ответ: 43

Задание 2

На диаграмме показана среднедневная температура воздуха в Томске за первые \(14\) дней ноября. По вертикали указывается температура в градусах Цельсия, по горизонтали – дни месяца. Определите по диаграмме наибольшую среднедневную температуру в Томске на второй неделе ноября.



По диаграмме видно, что в период с \(8\) по \(14\) ноября наибольшая температура была \(6\) градусов Цельсия.

Ответ: 6

Задание 3

В параллелограмме \(ABCD\) сумма длин диагоналей равна \(10\), а меньшая сторона параллелограмма \(ABCD\) равна \(2\). Найдите наименьший из периметров треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\).



В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – точка \(O\), тогда \(AO + BO = 0,5(AC + BD) = 5 = AO + OD = OD + OC = OC + OB\).

Таким образом, периметр каждого из треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм \(ABCD\), равен полусумме диагоналей параллелограмма \(ABCD\) плюс сторона параллелограмма, которая является стороной этого треугольника.

Тогда наименьшим будет периметр того из этих треугольников, стороной которого является одна из меньших сторон параллелограмма и равен он \(5 + 2 = 7\).

Ответ: 7

Задание 4

Среди десяти котят в коробке четверо мужского пола, у троих кончик хвоста белый. Известно, что ровно у \(2\) котят мужского пола кончик хвоста не белый. Таня выбирает себе одного котенка наугад. Какова вероятность того, что выбранный котенок будет мужского пола или с белым кончиком хвоста, или и то и другое?

Среди котят мужского пола в коробке у \(4 - 2 = 2\) кончик хвоста белый. Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{2}{10} = 0,5.\]

Ответ: 0,5

Задание 5

Найдите корень уравнения \((\sqrt{2})^{4x - 3} = 2\).

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

Исходное уравнение есть \((\sqrt{2})^{4x - 3} = (\sqrt{2})^2\), оно имеет стандартный вид и равносильно \(4x - 3 = 2\), что равносильно \(x = 1,25\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1,25

Задание 6

Точка \(M\) координатной плоскости имеет координаты \((1; 2 + a)\), точка \(N\) имеет координаты \((4; -2 + a)\). Найдите длину отрезка \(MN\).

Длина отрезка, соединяющего точки с координатами \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) равна
\(\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\).
В данной задаче длина отрезка \(MN\) равна \(\sqrt{(1 - 4)^2 + (2 + a + 2 - a)^2} = 5\).

Ответ: 5

Задание 7

На рисунке изображен график функции \(y = f(x)\), определенной на интервале \((-2,4; 8,7)\). Найдите сумму точек экстремума этой функции.

Точкой экстремума функции называется точка, в которой функция достигает локально минимальное или локально максимальное значение.

По рисунку можно определить, что функция \(f(x)\) достигает локально минимальные значения в точках \(-1\), \(2\) и \(5\), а локально максимальные значения в точках \(0\), \(4\) и \(8\). Таким образом, сумма точек экстремума этой функции равна \(-1 + 2 + 5 + 0 + 4 + 8 = 18\).

Ответ: 18

Задание 8

\(ABCDE\) – прямоугольная пирамида (отрезок \(BE\) перпендикулярен плоскости основания \((ABCD)\)), \(ABCD\) – параллелограмм со сторонами \(a\), \(b\), причем \[\angle BCD = 77^{\circ},\qquad\qquad BE = \dfrac{ab\cdot\sin 77^{\circ}}{\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cdot\cos 77^{\circ}}}.\] Найдите угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((ACE)\). Ответ дайте в градусах.

Построим \(BK\) перпендикулярно \(AC\), как показано на рисунке.


 

Так как \(BK\) – проекция \(EK\) на плоскость \((ABCD)\), то по теореме о трех перпендикулярах \(EK\) перпендикулярен \(AC\), следовательно, угол между плоскостями \((ABCD)\) и \((ACE)\) есть \(\angle BKE\).

Найдем \(BK\):
рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). С одной стороны, его площадь \[S_{ABCD} = ab\cdot\sin 77^{\circ}.\] С другой стороны, его площадь равна удвоенной площади треугольника \(ABC\), то есть \[S_{ABCD} = BK\cdot AC.\] Найдем \(AC\), используя теорему косинусов для треугольника \(ACD\): \[AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos\angle ADC = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(180^{\circ} - \angle BCD) = a^2 + b^2 + 2ab\cdot\cos\angle BCD = a^2 + b^2 + 2ab\cdot\cos 77^{\circ},\] откуда \(AC = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cdot\cos 77^{\circ}}\).

Приравняв площади параллелограмма, получим: \[ab\cdot\sin 77^{\circ} = BK\cdot\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cdot\cos 77^{\circ}},\] откуда \[BK = \dfrac{ab\cdot\sin 77^{\circ}}{\sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cdot\cos 77^{\circ}}} = BE,\] тогда треугольник \(BKE\) прямоугольный равнобедренный, откуда \(\angle BKE = 45^{\circ}\).

Ответ: 45

Задание 9

Найдите значение выражения \(\dfrac{7\sin{11^\circ}}{\cos{79^\circ}}\).

Используя формулу приведения \(\sin(90^\circ \pm \alpha) = \cos \alpha\), исходное выражение можно преобразовать следующим образом: \[\dfrac{7\sin{11^\circ}}{\cos{79^\circ}} = \dfrac{7\sin{(90^\circ - 79^\circ)}}{\cos{79^\circ}} = \dfrac{7\cos{79^\circ}}{\cos{79^\circ}} = 7.\]

Ответ: 7

Задание 10

Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(M\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 55 - P\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(M\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наибольшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) окажется не менее \(250\, тыс. руб.\) Ответ дайте в тыс. руб.

\[R = P\cdot Q = 55P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(250\, тыс. руб.\) при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \[55P - P^2 \geqslant 250\qquad\Leftrightarrow\qquad P^2 - 55P + 250 \leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 55P + 250 = 0\): \[P_1 = 5,\qquad\qquad P_2 = 50,\] тогда:



то есть наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(250\, тыс. руб.\), равна \(50\, тыс. руб.\)

Ответ: 50

Задание 11

В государстве \(\sigma\) на планете \(\Omega\) в \(2010\) году ЕГЭ по биологии не сдали \(10000\cdot 1121^{1443}\) выпускников. В \(2011\) году число не сдавших выросло на \(5\%\), а в \(2012\) году – уменьшилось на \(3\%\) по сравнению с \(2011\) годом. На сколько процентов увеличилось число выпускников, не сдавших ЕГЭ по биологии в \(2012\) году по сравнению с \(2010\) годом в государстве \(\sigma\) на планете \(\Omega\)?

В \(2011\) году число не сдавших составило \(100\%+5\%=105\%\) от числа не сдавших в \(2010\) году, тогда в \(2011\) году не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\) выпускников. В \(2012\) году число не сдавших составило \(100\%-3\%=97\%\) от числа не сдавших в \(2011\) году, тогда в \(2012\) не сдали ЕГЭ по биологии \(10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05 \cdot 0,97\) выпускников, что составляет \[\dfrac{10000\cdot 1121^{1443} \cdot 1,05\cdot 0,97}{10000\cdot 1121^{1443}}\cdot 100\% = \dfrac{1,05\cdot 0,97}{1}\cdot 100\% = 101,85\%\] от числа выпускников, не сдавших в \(2010\) году.

 

Значит, число выпускников, не сдавших ЕГЭ в \(2012\) году увеличилось на \(101,85\%-100\%=1,85\%\) по сравнению с числом выпускников, не сдавших в \(2010\) году.

Ответ: 1,85

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции \(y = (2 - x)\cdot e^{-x}\cdot e^3 - 2\).

1) \(y' = -e^{-x}\cdot e^3 - (2 - x)\cdot e^{-x}\cdot e^3 = (x - 3)\cdot e^{-x + 3}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[y' = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - 3)\cdot e^{-x + 3} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 3\] (так как \(e^t > 0\) при любом \(t\) и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 3\) – точка минимума функции \(y\).
\(y(3) = -1\cdot e^0 - 2 = -3\),

Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-3\).

Ответ: -3

Задание 13

a) Решите уравнение

\[\begin{aligned} 3\sin x + \dfrac{\cos (2x)}{\sin x} = -2 \end{aligned}\]

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку \([-\pi; \pi]\).

ОДЗ: \(\sin x\neq 0\). Решим на ОДЗ:

а) Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю:

\[\begin{aligned} \dfrac{3\sin^2 x + \cos (2x) + 2\sin x}{\sin x} = 0 \end{aligned}\]

Так как \(\cos (2x) = 1 - 2\sin^2 x\), то последнее уравнение можно переписать в виде

\[\begin{aligned} \dfrac{\sin^2 x + 2\sin x + 1}{\sin x} = 0 \label{Start} \end{aligned}\]

Используя формулу для квадрата суммы, получим, что уравнение  эквивалентно уравнению

\[\begin{aligned} \dfrac{(\sin x + 1)^2}{\sin x} = 0 \end{aligned}\]

Произведение выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысла, следовательно, на ОДЗ: \(\sin x = -1\).

Отметим подходящие точки на тригонометрическом круге:


 

Таким образом, решениями будут \[x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}.\]

б) \[-\pi\leqslant -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\leqslant\pi\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{\pi}{2}\leqslant 2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad -\dfrac{1}{4}\leqslant k\leqslant \dfrac{3}{4},\] но \(k\in\mathbb{Z}\), тогда на отрезок \([-\pi; \pi]\) попадает только решение при \(k = 0\), то есть \(x = -\dfrac{\pi}{2}\).

Ответ:

а) \(x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) \(-\dfrac{\pi}{2}\).

Задание 14

На ребрах \(CD\) и \(BB_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с ребром \(12\) отмечены точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причем \(DP=4, B_1Q=3\). Плоскость \(APQ\) пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(M\).

 

а) Докажите, что точка \(M\) делит ребро \(CC_1\) пополам.

б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(APQ\).

а) Т.к. грани \(ABB_1\) и \(DCC_1\) параллельны, то плоскость \(APQ\) пересечет их по параллельным прямым. Поэтому \(PM\parallel AQ\).

 


 

Таким образом, \(\bigtriangleup ABQ \sim \bigtriangleup PCM \Rightarrow CM=\dfrac{PC\cdot BQ}{AB}=6\), т.е. \(M\) – середина ребра \(CC_1\).

 

б) Расстояние от точки \(C\) до плоскости \(APQ\) равно высоте \(CH\) пирамиды \(CMPS\) (\(C\) – ее вершина, \(MPS\) – основание). Найдем \(CH\) с помощью формулы:

 

\(h_C=\dfrac{3V_{CMPS}}{S_{MPS}}\)

 

Для этого рассмотрим эту пирамиду как пирамиду с вершиной в точке \(S\). \(V_{SCMP}=\dfrac{1}{3}SC\cdot \dfrac{1}{2}CM\cdot CP\). Из подобия треугольников \(SCP\) и \(SAB\) найдем \(SC=24\). Следовательно, \(V_{SCMP}=192\).

 

По теореме Пифагора \(PS=8\sqrt{10}, PM=10, SM=6\sqrt{17}\).

Тогда по формуле Герона
\(S_{MPS}=\sqrt{(5+4\sqrt{10}+3\sqrt{17})(5+4\sqrt{10}-3\sqrt{17})(5+3\sqrt{17}-4\sqrt{10})(3\sqrt{17}-5+4\sqrt{10})}\)

Следовательно, \(S_{MPS}=24\sqrt{26}\)

 

Следовательно, \(h_C=\dfrac{3V_{CMPS}}{S_{MPS}}=\dfrac{12\sqrt{26}}{13}\)

Ответ:

б) \(\dfrac{12\sqrt{26}}{13}\)

Задание 15

Решите неравенство

\[\begin{aligned} \log_{5^x} 25^{x + 1} + \log_{25^{x + 1}} 5^x - 2 > 0 \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} 5^x > 0\\ 5^x \neq 1\\ 25^{x + 1} > 0\\ 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(0; +\infty) \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_{5^x} 25^{x + 1} = y\):

\[\begin{aligned} y + \dfrac{1}{y} - 2 > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{y^2 - 2y + 1}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(y - 1)^2}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} y > 0\\ y\neq 1, \end{cases} \end{aligned}\]

откуда

\[\begin{aligned} \begin{cases} \log_{5^x} 25^{x + 1} > 0\\ \log_{5^x} 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{2x + 2}{x} > 0\\ \dfrac{2x + 2}{x} \neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Решая первое неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -1)\cup(0; +\infty)\] Решая второе неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; 0)\cup(0; +\infty)\] В итоге: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; -1)\cup(0; +\infty)\] – подходит по ОДЗ.

Ответ:

\((-\infty; -2)\cup(-2; -1)\cup(0; +\infty)\)

Задание 16

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть нам дан \(\triangle ABC\), проведем в нем медианы \(AA_1, BB_1, CC_1\) и докажем что они пересекаются в одной точке.

Воспользуемся теоремой Чевы: \[\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} =\dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{1}{1} =1,\] так как \(A_1, \ B_1, \ C_1\) – середины сторон \(BC, \ AC, \ AB\) соответственно.
Следовательно, медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Доказательство

Задание 17

Для покупки квартиры в элитном здании Артур скопил всего \(5\,280\,000\) рублей, поэтому недостающую сумму он был вынужден взять в кредит на \(4\) года под \(12,5\%\) годовых. Выплачивать кредит он должен аннуитетными платежами. Сколько процентов от стоимости квартиры ему не хватало, если известно, что переплатил по кредиту он \(6\,524\,000\) рублей?

Пусть Артур взял в кредит \(A\) тыс.рублей и \(x\) тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу, заметив, что \(1,125=\frac{9}{8}\):

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&\frac98A&\frac98A-x\\ \hline 2&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x-x\\ \hline 3&\left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x& \left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\ \hline 4& \left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x&\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, имеем следующее уравнение

\[\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left(\frac98\right)^4A=x\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]

Т.к. всего банку он заплатил \(4x\) рублей, то переплата равна \(4x-A=6\,524\), откуда \(x=\frac14\left(A+6\,524\right)\). Подставим это в уравнение:

\[\left(\frac98\right)^4A=\dfrac14\left(A+6\,524\right)\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]

откуда выражаем, что

\[A=\dfrac{2\cdot 6524\cdot \left(\dfrac{9^4}{8^4}-1\right)}{2-\dfrac{9^4}{8^4}}= \dfrac{2\cdot 6524\cdot (9^4-8^4)}{2\cdot 8^4-9^4}\]

Найдем \(9^4-8^4\):

 

\(9^4-8^4=(9-8)(9+8)(9^2+8^2)=17\cdot 145\).

 

Тогда, учитывая известное \(2^{10}=1024\), имеем: \(2\cdot 8^4-9^4=8^4-(9^4-8^4)=2^{12}-17\cdot 145=4096-2465=1631\).

 

Значит,

\[A=\dfrac{2\cdot 1631\cdot 4\cdot 2465}{1631}=19720 \text{ тыс.рублей}\]

Значит, вся квартира стоила \(19\,720+5\,280=25\,000\, тыс.рублей.\) Тогда процент денег, которых ему не хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет

\[\dfrac{19\,720}{25\,000}\cdot 100\%=\dfrac{1972\cdot 4}{2500\cdot 4}\cdot 100\%= \dfrac{7888}{100}\%=78,88\%\]

Ответ:

\(78,88\%\)

Задание 18

Решите неравенство \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) при всех значениях параметра \(a\).

Преобразуем неравенство к виду: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). В этом случае неравенство становится линейным и принимает вид: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда неравенство является квадратичным. Найдем дискриминант:

 

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).

 

Т.к. \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) при любых значениях параметра.

 

Следовательно, уравнение \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) всегда имеет два корня \(x_1=-3a, x_2=\dfrac{2}{a}\). Таким образом, неравенство примет вид:

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Если \(a>0\), то \(x_1<x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вверх, значит, решением являются \(x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty)\).

Если \(a<0\), то \(x_1>x_2\) и ветви параболы \(y=(ax-2)(x+3a)\) направлены вниз, значит, решением являются \(x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a]\).

Ответ:

\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac{2}{a}; +\infty); \\ a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\).

Задание 19

На доске записаны числа \(1\); \(2\); \(4\); \(8\); \(16\); \(32\). Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число \(15\)?

Вот как это можно сделать:

\[\begin{aligned} &1; 2; 4; 8; 16; 32\qquad\rightarrow\qquad 1; 2; (8-4); (32-16) \qquad\rightarrow\qquad 1; 2; 4; 16 \qquad\rightarrow\\ &\rightarrow\qquad 1; (4-2); 16 \qquad\rightarrow\qquad 1; 2; 16\qquad\rightarrow\qquad(2-1); 16\qquad\rightarrow\qquad 1; 16\qquad\rightarrow\qquad 15. \end{aligned}\]

Ответ:

Да