Математика
Русский язык

Реальные варианты ЕГЭ 2017

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. 2 июня 2017. Первая и вторая часть. Вариант 2

Задание 1

На специальный курс “Дифференциальная геометрия” пришло \(74\) студента первого курса, что составляет \(40\%\) от всех первокурсников. Сколько всего студентов учится на первом курсе?

Если \(74\) человека составляют \(40\%\), то \(74:2=37\) человек составляют \(20\%\). Следовательно, \(100\%\) составляют \(37\cdot 5=185\) человек.

Ответ: 185

Задание 2

На графике показана зависимость температуры воды, выраженная в градусах Цельсия, от времени, отсчитываемого с начала ее нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура. Определите по графику, на сколько градусов изменилась температура воды с \(3\) минут до \(8\) минут. Ответ дайте в градусах Цельсия.

По графику видно, что спустя \(3\) минуты после начала нагрева температура воды была равна \(40^\circ C\), спустя \(8\) минут температура была равна \(90^\circ C\), следовательно, с \(3\) по \(8\) минуту температура изменилась на \(90-40=50^\circ C\).

Ответ: 50

Задание 3

На клетчатой бумаге изображен треугольник \(ABC\). Найдите среднюю линию этого треугольника, параллельную стороне \(AB\).

Так как средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, то средняя линия, параллельная \(AB\), будет равна \(0,5 AB\). Так как \(AB=5\), то средняя линия равна \(2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 4

На олимпиаду по математике пришло \(500\) школьников. Их разместили в четырех аудиториях: в трех аудиториях по \(150\) человек, в четвертой – \(50\) человек. Найдите вероятность того, что случайно выбранный школьник будет писать олимпиаду в маленькой аудитории.

Будем искать вероятность как отношение количества подходящих исходов к количеству всех исходов. Так как в маленькой аудитории \(50\) мест, то количество подходящих мест – \(50\). Всего мест \(500\). Следовательно, вероятность равна \[\dfrac{50}{500}=0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 5

Решите уравнение \[6^{x+6}=\dfrac1{36}\]

ОДЗ уравнения: \(x\) – любое. Перепишем уравнение: \[6^{x+6}=6^{-2}\quad\Leftrightarrow\quad x+6=-2 \quad\Leftrightarrow\quad x=-8.\]

Ответ: -8

Задание 6

Дан параллелограмм со сторонами \(21\) и \(28\). К меньшей стороне проведена высота, длина которой равна \(20\). Найдите длину высоты, проведенной к большей стороне.


Рассмотрим рисунок. Так как площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, то площадь данного параллелограмма равна \(21\cdot 20\) или \(28\cdot h\). Следовательно, \[21\cdot 20=28\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=15.\]

Ответ: 15

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции \(y = f(x)\). На оси абсцисс отмечены семь точек: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), \(x_5\), \(x_6\), \(x_7\). В скольких из этих точек функция \(f(x)\) возрастает?

Функция возрастает в тех точках, в которых значение ее производной положительно. Следовательно, так как на рисунке изображен график производной, нам подходят те точки, в которых график производной находится ВЫШЕ оси абсцисс. Это точки \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\). Всего таких точек 5.

Ответ: 5

Задание 8

В сосуд цилиндрической формы налили воду до уровня \(32\) см. Какого уровня достигнет вода, если ее перелить в другой сосуд цилиндрической формы, радиус основания которого в 4 раза больше радиуса основания первого сосуда? Ответ дайте в см.


Пусть радиус основания первого сосуда равен \(R_1\), а радиус основания второго равен \(R_2\). Тогда \(R_2=4R_1\). Заметим, что при переливании воды из одного сосуда в другой объем воды остается постоянным. Когда вода находилась в первом сосуде, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(32\) и радиусом основания \(R_1\): \(V=\pi R_1^2\cdot 32\). Когда ее перелили во второй сосуд, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(h\) (эту величину нужно найти) и радиусом основания \(R_2\), то есть \(V=\pi R_2^2\cdot h\). Но тогда: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot 32=\left(\dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]

Ответ: 2

Задание 9

Найдите значение выражения \[4\sqrt3 \cos^2\dfrac{5\pi}{12}-2\sqrt3\]

Перепишем выражение в виде \[2\sqrt3\cdot (2\cos^2\dfrac{5\pi}{12}-1)\] По формуле косинуса двойного угла \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) выражение перепишется как \[2\sqrt3 \cdot \cos \left(2\cdot \dfrac{5\pi}{12}\right)= 2\sqrt3 \cos \dfrac{5\pi}6=2\sqrt3 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt3}2\right)=-3\]

Ответ: -3

Задание 10

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0=140\) Гц и определяется следующим выражением: \[f=f_0\cdot \dfrac{c+u}{c-v}\quad \text{(Гц)},\] где \(c\) – скорость распространение сигнала в среде (в м/с), а \(u=15\) м/с и \(v=14\) м/с – скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости \(c\) (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике \(f\) будет не менее \(145\) Гц?

Так как нужно найти такое \(c\), при котором \(f\geqslant 145\), то нужно решить неравенство \[f_0\cdot \dfrac{c+u}{c-v}\geqslant 145 \quad\Rightarrow\quad 140\cdot \dfrac{c+15}{c-14}\geqslant 145 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{c-826}{c-14}\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(c\in [14;826]\). Следовательно, при таких значениях \(c\) значение \(f\) будет не менее \(145\). Тогда наибольшее значение \(c\) – это \(826\).

Ответ: 826

Задание 11

Теплоход, скорость которого в стоячей воде равна \(27\) км/ч, движется по течению из пункта А в пункт Б. По приезде в пункт Б теплоход сделал стоянку длительностью \(5\) часов, затем отправился обратно в пункт А. Известно, что теплоход вернулся в пункт А через \(32\) часа после отплытия из А. Сколько километров прошел теплоход, если скорость течения реки равна \(1\) км/ч?

Пусть расстояние между пунктами А и Б равно \(S\). Тогда на дорогу из А в Б теплоход потратил \[\dfrac{S}{27+1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Далее он сделал в пункте Б остановку длительностью 5 часов, и на дорогу из Б в А он потратил \[\dfrac{S}{27-1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Всего он затратил 32 часа, следовательно, \[\dfrac S{27+1}+5+\dfrac S{27-1}=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28\] Тогда всего теплоход прошел \(2S\) километров, или \[2\cdot 13\cdot 28=728.\]

Ответ: 728

Задание 12

Найдите точку минимума функции \[y=7x-\ln (x+10)^7+5\]

ОДЗ функции: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

 

Точки минимума функции – это точки, в которых производная меняет свой знак с “\(-\)” на “\(+\)” (если смотреть слева направо). Найдем производную, ее нули и точки, где она не существует, и вычислим знаки на получившихся промежутках. \[y'=7-\left(7\ln (x+10)\right)'=7-\dfrac{7}{x+10}\] Нули производной: \[7-\dfrac7{x+10}=0 \quad\Rightarrow\quad x=-9.\] Знаки производной на ОДЗ:

Следовательно, \(x=-9\) – точка минимума.

Ответ: -9

Задание 13

а) Решите уравнение \[\log_4(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{3\pi}2\right].\)

а) ОДЗ уравнения: \(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\). Решим уравнение на ОДЗ. Его можно преобразовать: \[\begin{aligned} &2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow\\[1ex] &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end{aligned}\] Решениями данного уравнения будут \(\cos x=0\) и \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\): \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения \((*)\), а \(4^x>0\) при всех \(x\), то при подстановке данных корней в уравнение левая часть \((*)\) также будет всегда \(>0\). А это и есть ОДЗ. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.

 

б) Отберем корни. \[\begin{aligned} &-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\\[2ex] & -\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}3\\[2ex] &-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)

 

б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}2; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{3\pi}2\)

Задание 14

Основанием четырехугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник \(ABCD\), причем \(AB=3\sqrt2\), \(BC=6\). Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\).

а) Докажите, что \(P\) – середина отрезка \(BQ\).

б) Найдите угол между гранями \(SBA\) и \(SBC\), если \(SD=9\).

 

а) Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\). Тогда \(SO\) – высота пирамиды. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=BO=CO=DO\). Следовательно, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle DOS\), откуда \(AS=BS=CS=DS\). Обозначим \(AS=x\).
Рассмотрим грань \(ASB\). Проведем \(SK\perp AB\). Тогда \(KB=0,5 AB=1,5\sqrt2\). Тогда \[\dfrac{KB}{SB}=\cos \angle SBA=\dfrac{BP}{BA} \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\] Рассмотрим грань \(CSB\). Проведем \(SH\perp CB\). Тогда \(HB=0,5 CB=3\). Тогда \[\dfrac{HB}{SB}=\cos \angle SBC=\dfrac{BQ}{BC} \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac {18}x\] Следовательно, \[2BP=BQ\] Чтд.

 

б) По условию \(x=9\). Заметим, что в грани \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (так как \(PH\) – средняя линия в \(\triangle CQB\)) Следовательно, \(PH\perp SB\). Следовательно, по определению, \(\angle APH\) – линейный угол двугранного угла между гранями \(SBC\) и \(SBA\). Найдем его по теореме косинусов из \(\triangle APH\).


\(BP=\frac9{x}=1\). Следовательно, по теореме Пифагора из \(\triangle ABP\): \(AP^2=18-1=17\).
По теореме Пифагора из \(\triangle HBP\): \(HP^2=9-1=8\).
По теореме Пифагора из \(\triangle ABH\): \(AH^2=18+9=27\).
Следовательно, по теореме косинусов из \(\triangle APH\): \[\cos \angle APH=\dfrac{AP^2+HP^2-AH^2}{2\cdot AP\cdot HP}= -\dfrac1{2\sqrt{34}}\] Следовательно, угол между гранями \(SAB\) и \(SCB\) равен \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1{2\sqrt{34}}\right)\]

Ответ:

б) \(\arccos\left(-\frac1{2\sqrt{34}}\right)\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac{2^x}{2^x-8}+\dfrac{2^x+8}{2^x-4} +\dfrac{66}{4^x-12\cdot 2^x+32}\leqslant 0\]

Сделаем замену \(2^x=t\), тогда неравенство примет вид \[\begin{aligned} &\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{t^2-12t+32}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(t-4)+(t^2-8^2)+66}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] &\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t^2-4t+2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-1)^2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=1\\ &4<t<8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^x=1\\ &4<2^x<8 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=0\\ &2<x<3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Тогда ответ: \[x\in \{0\}\cup(2;3)\]

Ответ:

\(\{0\}\cup(2;3)\)

Задание 16

Точка \(E\) – середина боковой стороны \(CD\) трапеции \(ABCD\). На ее стороне \(AB\) взята точка \(K\) так, что прямые \(CK\) и \(AE\) параллельны. Отрезки \(CK\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\).

а) Докажите, что \(CO=OK\).

б) Найдите отношение оснований трапеции \(BC:AD\), если площадь треугольника \(BCK\) составляет \(\dfrac9{64}\) площади всей трапеции \(ABCD\).

а) Продлим \(AE\) и \(BC\) до пересечения в точке \(P\):


Тогда \(\angle AED=\angle CEP\) как вертикальные, \(\angle ADE=\angle PCE\) как накрест лежащие при \(AD\parallel BP\) и \(CD\) секущей. Следовательно, по стороне и двум прилежащим углам \(\triangle AED=\triangle CEP\). Тогда \(AD=CP\), \(AE=EP\).
Так как \(CK\parallel AP\), то \(\triangle BKO\sim \triangle ABE\) и \(CBO\sim \triangle PBE\), следовательно, \[\dfrac{KO}{AE}=\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{OC}{EP} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{KO}{OC}=\dfrac{AE}{EP}=1\] Таким образом, \(KO=OC\), чтд.

 

б) Так как \(\triangle AED=\triangle CEP\), то \(S_{ABCD}=S_{ABP}\). Таким образом, \[S_{BCK}:S_{ABP}=9:64\] Так как \(\triangle BCK\sim \triangle ABP\), то их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно, \[k=\sqrt{\dfrac9{64}}=\dfrac38=\dfrac{BC}{BP}\] Следовательно, \(BC:BP=3:8\), а значит \(BC:AD=BC:CP=3:5\).

Ответ:

б) \(3:5\)

Задание 17

В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на \(156\,060\) рублей?

Пусть \(A\) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=1,3\) и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(t(tA-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^3A=x(t^2+t+1) \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{At^3}{t^2+t+1}\] По условию \(3x-A=156\,060\), следовательно, \[\dfrac{3At^3}{t^2+t+1}-A=156\,060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2,197A-3,99A=156060\cdot 3,99 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{156060\cdot 3990}{2601}=60\cdot 3990=239\,400\]

Ответ: 239400

Задание 18

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[\sqrt{5x-3}\cdot \ln (x^2-6x+10-a^2)=0\]

имеет ровно один корень на отрезке \([0;3]\).

ОДЗ уравнения: \[\begin{cases} 5x-3\geqslant 0\quad (1)\\ x^2-6x+10-a^2>0 \quad (2)\end{cases}\] Корнями уравнения будут \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &5x-3=0\\ &x^2-6x+10-a^2=1 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac35\\[2ex] &(x-3)^2=a^2 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x_1=\dfrac35\\[2ex] &x_2=3+a\\ &x_3=3-a \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что корень \(x_1\) удовлетворяет \((1)\), корни \(x_2\) и \(x_3\) удовлетворяют \((2)\). Также заметим, что корень \(x_1\) принадлежит отрезку \([0;3]\).
Рассмотрим три случая:

 

1) \(a>0\). Тогда \(x_2>3\), \(x_3<3\), следовательно, \(x_2\notin [0;3].\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \([0;3]\) в одном из двух случаях:
\(x_1\) удовлетворяет \((2)\), \(x_3\) не удовлетворяет \((1)\), или совпадает с \(x_1\), или удовлетворяет \((1)\), но не входит в отрезок \([0;3]\) (то есть меньше \(0\));
\(x_1\) не удовлетворяет \((2)\), \(x_3\) удовлетворяет \((1)\) и не равен \(x_1\).
Заметим, что \(x_3\) не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\) (то есть быть больше \(\frac35\)). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\[2ex] 3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\[2ex] 3-a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\), получим: \[a\in \left[\dfrac{12}5;\dfrac{13}5\right)\]

2) \(a=0\). Тогда \(x_2=x_3=3\in [0;3].\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\), то есть уравнение имеет два корня на \([0;3]\). Это значение \(a\) нам не подходит.

 

3) \(a<0\). Тогда \(x_2<3\), \(x_3>3\) и \(x_3\notin [0;3]\). Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\[2ex] 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\[2ex] 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(a<0\), получим: \[a\in \left(-\dfrac{13}5;-\dfrac{12}5\right]\]

Ответ:

\(\left(-\frac{13}5;-\frac{12}5\right] \cup\left[\frac{12}5;\frac{13}5\right)\)

Задание 19

На доске написано \(100\) различных натуральных чисел, причем известно, что сумма этих чисел равна \(5120\).
а) Может ли на доске быть написано число \(230\)?
б) Может ли быть такое, что на доске не написано число \(14\)?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных \(14\), написано на доске?

а) Упорядочим числа по возрастанию \(a_1, a_2, \dots, a_{100}\). Пусть одно из этих чисел равно \(230\). Пусть все оставшиеся 99 чисел – это \(1, 2, 3, \dots, 99\). Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть \(230\). Вычислим ее: \[\dfrac{1+99}2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

 

б) Предположим, что на доске нет числа \(14\). Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\). Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac{1+101}2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

 

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные \(14\) (это числа \(14, 28, 42, 56\)): \[1, 2, \dots, 69, \quad 71, 72, \dots, 83, \quad 85, 86, \dots, 97, \quad 100, 101, 102, 103, 115.\] Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных \(14\).
Возьмем набор чисел от \(1\) до \(100\). Сумма чисел в данном наборе равна \(5050\). Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные \(14\), странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это \(98\). Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это \(101\). После этого мы получим минимальную сумму, равную \(5053\). Она меньше, чем \(5120\), поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа \(98, 84, 70\). Вместо них добавим \(101, 102, 103\). Получим при этом минимальную сумму, равную \(5104\). Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав \(56\) и добавив \(104\), получим минимальную сумму \(5152\), что больше, чем \(5120\). В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.

Ответ:

а) нет

б) нет

в) 4