Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у произведения

\(\blacktriangleright\) Если функция задана как произведение двух других функций, то \[{\Large{(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'}}\]

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

 

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = x\cdot e^{x} + 11\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = e^{x} + x\cdot e^{x} = (x + 1)e^{x}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[(x + 1)e^{x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\] (так как \(e^{x} > 0\) при любом \(x\)). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = -1\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: -1

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку максимума функции \[y=(x-1)^2(2x+4)^2\]

Добавить задание в избранное

Найдем производную этой функции: \[\begin{aligned} &y'=((x-1)^2)'\cdot (2x+4)^2+(x-1)^2\cdot ((2x+4)^2)'=(2(x-1)\cdot 1)(2x+4)^2+(x-1)^2\cdot (2(2x+4)\cdot 2)\\ & \Rightarrow\quad y'=2(x-1)(2x+4)(4x+2) \end{aligned}\]

Найдем нули производной: \[2(x-1)(2x+4)(4x+2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=1\\ &x=-2\\ &x=-0,5 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Таким образом, знаки производной следующие:


 

Точкой максимума будет точка, в которой производная меняет свой знак с  “\(+\)”  на  “\(-\)”, следовательно, \(x_{max}=-0,5.\)

Ответ: -0,5

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = (x^2 - 3)e^{x}\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 2x\cdot e^{x} + (x^2 - 3)\cdot e^{x} = (x^2 + 2x - 3)e^{x}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[(x^2 + 2x - 3)e^{x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2x - 3 = 0\] (так как \(e^{x} > 0\) при любом \(x\)), откуда находим корни \(x_1 = -3, \ x_2 = 1\). Таким образом, \[y' = (x+3)(x-1)e^{x}.\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 1\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 1

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = x\sqrt{x} - 60x + 3600\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:

1) \(y' = \sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} - 60\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\sqrt{x} + \dfrac{x}{2\sqrt{x}} - 60 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \sqrt{x} = 40\] – при \(x\neq 0\), откуда находим \(x = 1600\). Производная функции \(y\) не определена при \(x \leq 0\), но \(x < 0\) не входят ОДЗ, а \(x = 0\) не является внутренней точкой ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 1600\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 1600

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = (x^2 - x - 15,5)\cdot e^{x}\cdot e^{x}\).

Добавить задание в избранное

Так как \(\bigl(f(x)\cdot g(x)\cdot h(x)\bigr)' = f'(x)\cdot g(x)\cdot h(x) + f(x)\cdot g'(x)\cdot h(x) + f(x)\cdot g(x)\cdot h'(x)\) для произвольных дифференцируемых функций \(f(x), \ g(x), \ h(x)\), то:

1) \(y' = (2x - 1)\cdot e^{x}\cdot e^{x} + (x^2 - x - 15,5)\cdot e^{x}\cdot e^{x} + (x^2 - x - 15,5)\cdot e^{x}\cdot e^{x} = \)
\(=(2x^2 - 32)\cdot e^{x}\cdot e^{x} = 2(x^2 - 16)\cdot e^{2x} = 2(x - 4)(x + 4)\cdot e^{2x}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2(x - 4)(x + 4)\cdot e^{2x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - 4)(x + 4) = 0\] (так как \(e^{t} > 0\) при любом \(t\)), откуда находим корни \(x_1 = -4, \ x_2 = 4\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 4\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 4

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции

\(y = (x - 3)\cdot e^x\cdot e^{x + \sqrt{5}}\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = e^x\cdot e^{x + \sqrt{5}} + (x - 3)\cdot e^x \cdot e^{x + \sqrt{5}} + (x - 3)\cdot e^x\cdot e^{x + \sqrt{5}} = (2x - 5)\cdot e^{2x + \sqrt{5}}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[(2x - 5)\cdot e^{2x + \sqrt{5}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 2,5\] (так как \(e^{t} > 0\) при любом \(t\)). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 2,5\) – точка локального минимума функции \(y\).

Ответ: 2,5

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

\(y = (x + 1)\cdot e^{-x + \sqrt{2}} + e^{2}\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = e^{-x + \sqrt{2}} - (x + 1)\cdot e^{-x + \sqrt{2}} = -x\cdot e^{-x + \sqrt{2}}\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-x\cdot e^{-x + \sqrt{2}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\] (так как \(e^{t} > 0\) при любом \(t\)). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 0\) – точка локального максимума функции \(y\).

Ответ: 0

Задания на исследование функций и поиск точек экстремума у произведения регулярно встречаются в аттестационных испытаниях. Это означает, что уметь оперативно находить правильное решение таких задач должны выпускники с различным уровнем подготовки. Научившись справляться с заданиями на исследование функций и поиск точек экстремума у произведения, школьники могут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи экзамена.

Вспомнить изученную информацию и освежить в памяти базовый материал вам поможет образовательный портал «Школково». Для того чтобы выпускники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем прежде всего вспомнить основные определения и правила. Вся необходимая базовая информация представлена в разделе «Теоретическая справка». Ее подготовили сотрудники образовательного портала «Школково» специально для выпускников средних школ.

Для закрепления изученного материала и оттачивания навыков решения задач по данной тематике рекомендуем учащимся выполнить соответствующие упражнения. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Наши специалисты регулярно дополняют и обновляют перечень заданий.

Попрактиковаться в решении задач на исследование произведения функций и поиск точек экстремума, которые будут включены в аттестационное испытание, вы сможете в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе.