Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Физика
Кликните, чтобы открыть меню

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Векторы: правила сложения и вычитания

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно рассматривать как перемещение точки из положения \(A\) (начало движения) в положение \(B\) (конец движения). То есть траектория движения в этом случае не важна, важны только начало и конец!


 

\(\blacktriangleright\) Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.

 

\(\blacktriangleright\) Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.

 

Правила сложения коллинеарных векторов:

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).


 

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

 

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\), а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\).

 

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\):   \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).

Задание 1 #2638
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\), точка \(O\) – центр описанной около данного треугольника окружности. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}=\{1;1\}\), \(\overrightarrow{AC}=\{-1;1\}\). Найдите сумму координат вектора \(\overrightarrow{OC}\).

Добавить задание в избранное

Т.к. треугольник \(ABC\) — прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. \(O\) — середина \(BC\).


 

Заметим, что \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\), следовательно, \(\overrightarrow{BC}=\{-1-1;1-1\}=\{-2;0\}\).

 

Т.к. \(\overrightarrow{OC}=\dfrac12 \overrightarrow{BC}\), то \(\overrightarrow{OC}=\{-1;0\}\).

 

Значит, сумма координат вектора \(\overrightarrow{OC}\) равна \(-1+0=-1\).

Ответ: -1

Задание 2 #674
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – четырёхугольник, на сторонах которого отложены векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DA}\). Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\).

Добавить задание в избранное





\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\), тогда
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} = \vec{0}\).
Нулевой вектор имеет длину, равную \(0\).

 

Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) – перемещение из \(A\) в \(B\), а затем из \(B\) в \(C\) – в итоге это перемещение из \(A\) в \(C\).

При такой трактовке становится очевидным, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\), ведь в итоге здесь из точки \(A\) переместились в точку \(A\), то есть длина такого перемещения равна \(0\), значит, и сам вектор такого перемещения есть \(\vec{0}\).

Ответ: 0

Задание 3 #1805
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{OA} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное

\[\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(-\vec{b} - \vec{a}) = - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = - \frac{1}{2}\), \(y = - \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -1\).

Ответ: -1

Задание 4 #1806
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Точки \(K\) и \(L\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CD\) соответственно, причем \(BK:KC = 3:1\), а \(L\) – середина \(CD\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{KL} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное

\[\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CL} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\] \(\Rightarrow\) \(x = -\frac{1}{2}\), \(y = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0,25\).

Ответ: -0,25

Задание 5 #1807
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AD\) и \(BC\) соответственно, причем \(AM:MD = 2:3\), а \(BN:NC = 3:1\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{MN} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x\cdot y\).



Добавить задание в избранное

\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = -\frac{2}{5}\vec{b} + \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = \vec{a} + \frac{7}{20}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\), \(y = \frac{7}{20}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,35\).

Ответ: 0,35

Задание 6 #1808
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Точки \(P\) лежит на диагонали \(BD\), точка \(Q\) лежит на стороне \(CD\), причем \(BP:PD = 4:1\), а \(CQ:QD = 1:9\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{PQ} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x\cdot y\).



Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BD} + \frac{9}{10}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} =\\ = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} + \frac{7}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{7}{10}\vec{a}\end{gathered}\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac{7}{10}\), \(y = \frac{1}{5}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,14\).

Ответ: 0,14

Задание 7 #1809
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан правильный шестиугольник \(ABCDEF\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AF} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{BC} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное


 

Отрезки \(AD\), \(BE\) и \(CF\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам. \(BC \parallel AD\) и \(ABCO\) – параллелограмм; \(AF \parallel BE\) и \(ABOF\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \vec{a} + \vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\), \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\).

Ответ: 2

Старшеклассники, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов, обязательно должны повторить тему «Правила сложения и вычитания нескольких векторов». Как видно из многолетней практики, подобные задания каждый год включаются в аттестационное испытание. Если у выпускника вызывают трудности задачи из раздела «Геометрия на плоскости», к примеру, в которых требуется применить правила сложения и вычитания векторов, ему обязательно стоит повторить или вновь разобраться в материале, чтобы успешно сдать ЕГЭ.

Образовательный проект «Школково» предлагает новый подход в подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся смогли выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Для того чтобы задачи ЕГЭ, в которых необходимо применить правила сложения и вычитания двух векторов, не вызывали затруднений, мы рекомендуем прежде всего освежить в памяти базовые понятия. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Если вы уже вспомнили правило вычитания векторов и основные определения по данной теме, предлагаем закрепить полученные знания, выполнив соответствующие упражнения, которые подобрали специалисты образовательного портала «Школково». Для каждой задачи на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. В теме «Правила сложения векторов» представлены различные упражнения; выполнив два-три сравнительно легких задания, учащиеся могут последовательно переходить к более сложным.

Оттачивать собственные навыки по таким, например, заданиям, как задачи на координатной плоскости, школьники имеют возможность в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.