Математика
Русский язык

6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Векторы: правила сложения и вычитания

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно рассматривать как перемещение точки из положения \(A\) (начало движения) в положение \(B\) (конец движения). То есть траектория движения в этом случае не важна, важны только начало и конец!


 

\(\blacktriangleright\) Два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на двух параллельных прямых.
В противном случае векторы называются неколлинеарными.

 

\(\blacktriangleright\) Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают.
Если их направления противоположны, то они называются противоположно направленными.

 

Правила сложения коллинеарных векторов:

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).


 

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

 

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\), а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\).

 

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\):   \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).

Задание 1
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\), точка \(O\) – центр описанной около данного треугольника окружности. Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}=\{1;1\}\), \(\overrightarrow{AC}=\{-1;1\}\). Найдите сумму координат вектора \(\overrightarrow{OC}\).

Добавить задание в избранное

Т.к. треугольник \(ABC\) — прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, т.е. \(O\) — середина \(BC\).


 

Заметим, что \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\), следовательно, \(\overrightarrow{BC}=\{-1-1;1-1\}=\{-2;0\}\).

 

Т.к. \(\overrightarrow{OC}=\dfrac12 \overrightarrow{BC}\), то \(\overrightarrow{OC}=\{-1;0\}\).

 

Значит, сумма координат вектора \(\overrightarrow{OC}\) равна \(-1+0=-1\).

Ответ: -1

Задание 2
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

\(ABCD\) – четырёхугольник, на сторонах которого отложены векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{DA}\). Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\).

Добавить задание в избранное





\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\), тогда
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD} = \vec{0}\).
Нулевой вектор имеет длину, равную \(0\).

 

Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\) – перемещение из \(A\) в \(B\), а затем из \(B\) в \(C\) – в итоге это перемещение из \(A\) в \(C\).

При такой трактовке становится очевидным, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\), ведь в итоге здесь из точки \(A\) переместились в точку \(A\), то есть длина такого перемещения равна \(0\), значит, и сам вектор такого перемещения есть \(\vec{0}\).

Ответ: 0

Задание 3
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{OA} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное

\[\overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA}) = \frac{1}{2}(-\vec{b} - \vec{a}) = - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = - \frac{1}{2}\), \(y = - \frac{1}{2}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -1\).

Ответ: -1

Задание 4
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Точки \(K\) и \(L\) лежат на сторонах \(BC\) и \(CD\) соответственно, причем \(BK:KC = 3:1\), а \(L\) – середина \(CD\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{KL} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное

\[\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CL} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \frac{1}{4}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{a}\] \(\Rightarrow\) \(x = -\frac{1}{2}\), \(y = \frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0,25\).

Ответ: -0,25

Задание 5
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Точки \(M\) и \(N\) лежат на сторонах \(AD\) и \(BC\) соответственно, причем \(AM:MD = 2:3\), а \(BN:NC = 3:1\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{MN} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x\cdot y\).



Добавить задание в избранное

\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} = -\frac{2}{5}\vec{b} + \vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = \vec{a} + \frac{7}{20}\vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\), \(y = \frac{7}{20}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,35\).

Ответ: 0,35

Задание 6
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан параллелограмм \(ABCD\). Точки \(P\) лежит на диагонали \(BD\), точка \(Q\) лежит на стороне \(CD\), причем \(BP:PD = 4:1\), а \(CQ:QD = 1:9\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AD} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{PQ} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x\cdot y\).



Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DQ} = \frac{1}{5}\overrightarrow{BD} + \frac{9}{10}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} =\\ = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BA}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) + \frac{9}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} + \frac{7}{10}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{7}{10}\vec{a}\end{gathered}\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac{7}{10}\), \(y = \frac{1}{5}\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0,14\).

Ответ: 0,14

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Дан правильный шестиугольник \(ABCDEF\). Пусть \(\overrightarrow{AB} = \vec{a}\), \(\overrightarrow{AF} = \vec{b}\), тогда \(\overrightarrow{BC} = x\cdot\vec{a} + y\cdot\vec{b}\), где \(x\) и \(y\) – некоторые числа. Найдите число, равное \(x + y\).



Добавить задание в избранное


 

Отрезки \(AD\), \(BE\) и \(CF\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пополам. \(BC \parallel AD\) и \(ABCO\) – параллелограмм; \(AF \parallel BE\) и \(ABOF\) – параллелограмм \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \vec{a} + \vec{b}\] \(\Rightarrow\) \(x = 1\), \(y = 1\) \(\Rightarrow\) \(x + y = 2\).

Ответ: 2

Старшеклассники, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике и при этом рассчитывают на получение достойных баллов, обязательно должны повторить тему «Правила сложения и вычитания нескольких векторов». Как видно из многолетней практики, подобные задания каждый год включаются в аттестационное испытание. Если у выпускника вызывают трудности задачи из раздела «Геометрия на плоскости», к примеру, в которых требуется применить правила сложения и вычитания векторов, ему обязательно стоит повторить или вновь разобраться в материале, чтобы успешно сдать ЕГЭ.

Образовательный проект «Школково» предлагает новый подход в подготовке к аттестационному испытанию. Наш ресурс выстроен таким образом, чтобы учащиеся смогли выявить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях. Специалисты «Школково» подготовили и систематизировали весь необходимый материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Для того чтобы задачи ЕГЭ, в которых необходимо применить правила сложения и вычитания двух векторов, не вызывали затруднений, мы рекомендуем прежде всего освежить в памяти базовые понятия. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Если вы уже вспомнили правило вычитания векторов и основные определения по данной теме, предлагаем закрепить полученные знания, выполнив соответствующие упражнения, которые подобрали специалисты образовательного портала «Школково». Для каждой задачи на сайте представлен алгоритм решения и дан правильный ответ. В теме «Правила сложения векторов» представлены различные упражнения; выполнив два-три сравнительно легких задания, учащиеся могут последовательно переходить к более сложным.

Оттачивать собственные навыки школьники имеют возможность в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.