Математика
Русский язык

Векторы. Начальные сведения

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определения

Вектор – это направленный отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.
Если \(A\) – начало вектора, \(B\) – его конец, то вектор обозначается как \(\overrightarrow{AB}\). Вектор также можно обозначать одной маленькой буквой: \(\overrightarrow{a}\).


 

Иногда говорят, что вектор – это перемещение из точки \(A\) в точку \(B\).

 

Длина (или модуль) вектора \(\overrightarrow{AB}\) – это длина соответствующего отрезка \(AB\).
Обозначение: \(|\overrightarrow{AB}|=AB\).

 

Если длина вектора равна нулю (совпадают начало и конец), то такой вектор называют нулевым.

 

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых (\(\overrightarrow a, \overrightarrow b\) и \(\overrightarrow c\)).

В противном случае векторы называются неколлинеарными (например, \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow d\)).


 

Причем если два коллинеарных вектора направлены в одну сторону, то они называются сонаправленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow c\)). В противном случае векторы называются противоположно направленными (\(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\)).
Обозначение: \(\overrightarrow a \uparrow \uparrow \overrightarrow c\), \(\overrightarrow a \uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

 

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

 

Правила сложения коллинеарных векторов:

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два сонаправленных вектора, можно отложить второй вектор от конца первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго (рис. 1).

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы сложить два противоположно направленных вектора, можно отложить второй вектор от начала первого. Тогда их сумма – вектор, начало которого совпадает с началом обоих векторов, длина равна разности длин векторов, направление совпадает с направлением большего по длине вектора (рис. 2).


 

Правила сложения неколлинеарных векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow{b}\):

 

\(\blacktriangleright\) Правило треугольника (рис. 3).

Нужно от конца вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – это вектор, начало которого совпадает с началом вектора \(\overrightarrow {a}\), а конец – с концом вектора \(\overrightarrow {b}\).

 

\(\blacktriangleright\) Правило параллелограмма (рис. 4).

Нужно от начала вектора \(\overrightarrow {a}\) отложить вектор \(\overrightarrow {b}\). Тогда сумма \(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) – вектор, совпадающей с диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow {a}\) и \(\overrightarrow {b}\) (начало которого совпадает с началом обоих векторов).

 

Определение

Вектор \(\overrightarrow {-b}\) – это вектор, противоположно направленный с вектором \(\overrightarrow {b}\) и совпадающий с ним по длине.

 

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти разность двух векторов \(\overrightarrow {a}-\overrightarrow{b}\), нужно найти сумму векторов \(\overrightarrow {a}\) и \(-\overrightarrow{b}\):   \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\) (рис. 5).


 

Свойства сложения векторов

1. Наличие нейтрального вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено: \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{0} = \overset{\rightarrow}{a}\).

2. Наличие обратного вектора: для любого вектора \(\overset{\rightarrow}{a}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + (-\overset{\rightarrow}{a}) = \overset{\rightarrow}{0}\).

3. Ассоциативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\), \(\overset{\rightarrow}{b}\) и \(\overset{\rightarrow}{c}\) выполнено \((\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}) + \overset{\rightarrow}{c} = \overset{\rightarrow}{a} + (\overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{c})\)

4. Коммутативность: для любых векторов \(\overset{\rightarrow}{a}\) и \(\overset{\rightarrow}{b}\) выполнено \(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b} = \overset{\rightarrow}{b} + \overset{\rightarrow}{a}\).

 

Замечание

Для того, чтобы сложить несколько вектором, можно отложить их последовательно: каждый следующий от конца предыдущего. Тогда суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего: \[\overrightarrow {a_1}+\overrightarrow {a_2}+\overrightarrow {a_3}+ \overrightarrow {a_4}=\overrightarrow {a}\]

 

Определение

Произведением ненулевого вектора \(\overrightarrow {a}\) на число \(\lambda\) называется такой вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\), длина которого равна \(|\lambda|\cdot |\overrightarrow {a}|\), причем векторы \(\overrightarrow {a}\) и \(\lambda \overrightarrow {a}\) сонаправлены, если \(\lambda>0\), и противоположно направлены, если \(\lambda<0\). Если \(\lambda=0\), то вектор \(\lambda\overrightarrow {a}\) равен нулевому вектору.

 

Свойства произведения вектора на число

1. Сочетательный закон: \(k(\lambda\overrightarrow {a})=(k\lambda)\overrightarrow {a}\);

 

2. Распределительный закон 1: \((k+\lambda)\overrightarrow {a}=k\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {a}\);

 

2. Распределительный закон 2: \(\lambda(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})=\lambda\overrightarrow {a}+\lambda\overrightarrow {b}\).

 

Теорема

Если \(M\) – середина отрезка \(PQ\), \(O\) – произвольная точка плоскости, то \[\overrightarrow {OM}=\dfrac12 \left(\overrightarrow {OP}+\overrightarrow {OQ}\right)\]