Математика
Русский язык

Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1.
\(\bullet\) Арифметическая прогрессия \(\{a_1,a_2,\dots\}\) – последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем добавления к предыдущему числу одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии. \[{\color{royalblue}{{\large{a_{n+1}-a_n=d}}}},\] \(n\in\mathbb{N}\).
Справедливы следующие формулы при \(n\geqslant 2, n\in\mathbb{N}\):

 

\({\large{a_n=a_1+(n-1)d}}\)

 

\({\large{\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2=a_n}}\) (каждый элемент равен среднему арифметическому двух соседних)

Пример: \(1, -2, -5, -8, \dots\) – арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\).

Сумма первых \(n\) элементов арифметической прогрессии \[{\color{royalblue}{{\large{S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n}}}}\]  

Факт 2.
\(\bullet\) Геометрическая прогрессия \(\{b_1, b_2, \dots\}\) – последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем умножения предыдущего числа на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. \[{\color{royalblue}{{\large{b_{n+1}=b_n\cdot q}}}},\] \(n\in\mathbb{N}\).
Справедливы следующие формулы при \(n\geqslant 2, n\in\mathbb{N}\):

 

\({\large{b_n=b_1\cdot q^{n-1}}}\)

 

\({\large{\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=b_n}}\) (каждый элемент равен среднему геометрическому двух соседних)

Пример: \(2, 1, \dfrac12, \dfrac14, \dots\) – геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=\dfrac12\).

Сумма первых \(n\) элементов геометрической прогрессии \[{\color{royalblue}{{\large{S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1, \quad q\ne 1}}}}\]