Математика
Русский язык

Метод рационализации

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\(\blacktriangleright\) Метод рационализации — это способ решения некоторых неравенств, который позволяет довольно сильно упростить решение и вычисления.

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения показательных неравенств вида \[{\Large{(h(x))^{f(x)}\geqslant (h(x))^{g(x)}}}\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &h(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

 

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[{\large{ \begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] h(x)>0 \end{cases}}}\]

 

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы равносильно \[(a)\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)\geqslant1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} h(x)\leqslant 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Совокупность равносильна \[(b)\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ h(x)=1 \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x)\\ h(x)=1 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)\geqslant 1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)\leqslant1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Заметим, что решение совокупности \((a)\) плюс условие \(h(x)>0\) и решение совокупности \((b)\) полностью совпадают.

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим метод рационализации для решения логарифмических неравенств вида \[{\Large{\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)}}}\]

Если бы мы решали данное неравенство классическим способом, то оно было бы равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x)\\ f(x)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

 

По методу рационализации данное неравенство равносильно системе: \[{\large{\begin{cases} (h(x)-1)(f(x)-g(x))\geqslant 0\\[1ex] f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\ h(x)\ne 1 \end{cases}}}\]

 

Покажем, что решения совокупности и системы совпадают.

Первое неравенство системы плюс условие \(h(x)\ne 1\) равносильно \[(c)\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[1ex] &\begin{cases} h(x)< 1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Совокупность равносильна (если выписать часть ОДЗ отдельно) \[(d) \quad \begin{cases} f(x)>0\\ g(x)>0\\ h(x)>0\\[1ex] \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\ &\begin{cases} h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Заметим, что решение совокупности \((c)\) плюс условия \(f(x)>0, g(x)>0, h(x)>0\) и решение совокупности \((d)\) полностью совпадают.

 

\(\blacktriangleright\) Если \(f(x), h(x), g(x)\) — многочлены (что бывает очень часто в задачах), то метод рационализации позволяет перейти от показательного или логарифмического неравенства к рациональному, которое уже легко решается методом интервалов.

 

Рассмотрим несколько примеров, показывающих удобство использования метода рационализации.

 

Пример 1. Решить неравенство \(\log_{(x^2-1)}{\dfrac{2x^2+3x-5}{x+1}}\leqslant 1\)

 

Выпишем и решим ОДЗ отдельно: \[\begin{cases} x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\[1ex] \dfrac{2x^2+3x-5}{x+1}>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)(x+1)>0\\ x\ne \pm \sqrt 2\\[1ex] \dfrac{2(x-1)(x+2,5)}{x+1}>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ x\ne \pm \sqrt 2\\ x\in (-2,5;-1)\cup(1;+\infty) \end{cases} \Leftrightarrow\]

\[\Leftrightarrow x\in (-2,5;-\sqrt 2)\cup(-\sqrt 2;-1)\cup(1;\sqrt 2)\cup(\sqrt 2;+\infty)\]

 

Тогда на ОДЗ, учитывая, что \(1=\log_{(x^2-1)}{(x^2-1)}\), наше неравенство равносильно неравенству

\[(x^2-1-1)\left(\dfrac{2x^2+3x-5}{x+1}-(x^2-1)\right)\leqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \dfrac{(x^2-2)(-x^3+x^2+4x-4)}{x+1}\leqslant 0 \ \Leftrightarrow\]   \[\Leftrightarrow \ \dfrac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt 2)(x^2(x-1)-4(x-1))}{x+1}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow \ \dfrac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x^2-4)(x-1)}{x+1}\geqslant 0 \ \Leftrightarrow\]   \[\Leftrightarrow \ \dfrac{(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x-2)(x+2)(x-1)}{x+1}\geqslant0\]

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:


Таким образом, решением будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[-\sqrt2;-1)\cup[1;\sqrt2]\cup[2;+\infty)\)

 

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим \[x\in (-2,5;-2]\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup[2;+\infty)\]

 

\(\blacktriangleright\) Более общий случай применения метода рационализации:
если неравенство представлено в виде \(F(x)\lor 0\) (\(\lor\) — один из знаков \(\geqslant, \leqslant, >, <\)), причем функция \(F(x)\) является произведением и/или частным нескольких множителей, то на ОДЗ:

 

если какой-то множитель имеет вид \(h(x)^{f(x)}-h(x)^{g(x)}\), то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\);

 

если какой-то множитель имеет вид \(\log_{h(x)}f(x)-\log_{h(x)}g(x)\), то его можно заменить на \((h-1)(f-g)\).

 

Пример 2. Решить неравенство \((3+x-2x^2)\log_{x+2}{(3x+5)}\geqslant 0\).

 

Данное неравенство можно переписать в виде \((3+x-2x^2)(\log_{x+2}{(3x+5)}-\log_{x+2}1)\geqslant 0\) (т.к. \(\log_a1=0\)).

 

Таким образом, неравенство представлено в необходимом нам виде: справа ноль, слева произведение двух скобок, причем одна из них — разность логарифмов с одинаковым основанием. Выпишем отдельно ОДЗ:

 

\(\begin{cases} x+2>0\\x+2\ne 1\\ 3x+5>0 \end{cases} \Leftrightarrow x\in \left(-\frac53;-1\right)\cup\big(-1;+\infty\big)\)

 

Тогда на ОДЗ можно заменить второй множитель по методу рационализации, т.е. исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству:

 

\((3+x-2x^2)(x+2-1)(3x+5-1)\geqslant 0 \Leftrightarrow (2x^2-x-3)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\( \Leftrightarrow (2x-3)(x+1)(x+1)(3x+4)\leqslant 0 \Leftrightarrow x\in \left[-\frac43;\frac32\right]\)

 

Пересечем данное решение с ОДЗ и получим: \(x\in \left[-\frac43;-1\right)\cup\left(-1;\frac32\right]\)

 

Пример 3. Решить неравенство \((3^x-1)(0,25^x-16)(5x^2-9x-2)\leqslant0\)

 

Данное неравенство уже представлено в нужном нам виде: справа ноль, слева произведение трех множителей. ОДЗ данного неравенства: \(x\in\mathbb{R}\).

 

Таким образом, неравенство равносильно:

 

\((3^x-3^0)(0,25^x-0,25^{-2})(5x^2-9x-2)\leqslant 0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow (3-1)(x-0)(0,25-1)(x-(-2))(5x+1)(x-2)\leqslant0 \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow 2\cdot (-0,75)x(x+2)(x-2)(5x+1)\leqslant0 \Leftrightarrow x(x+2)(x-2)(5x+1)\geqslant0\),
т.к. мы разделили правую и левую часть на отрицательное число \(-0,75\).

 

Решив данное неравенство методом интервалов, получим \(x\in (-\infty;-2\big]\cup\left[-\frac15;0\right]\cup\big[2;+\infty)\)

Заметим, что даже если в основании степени или логарифма находится конкретное число \(a\), а не функция \(h(x)\), то скобку \((a-1)\) опускать нельзя.

 

Пример 4. Решить неравенство \(\dfrac{(1-4x^2)^3\cdot \big(\log_5(x+2)-\log_{25}x^2\big)\sqrt{x^2-1}}{2^{x+1}-8}\geqslant0\)

 

Найдем ОДЗ данного неравенства:

 

\(\begin{cases} x^2-1\geqslant 0\\ x+2>0\\ x^2>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geqslant1 \text{ или } x\leqslant -1\\ x>-2\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Rightarrow x\in (-2;-1]\cup [1;+\infty)\)

 

Решим данное неравенство на ОДЗ.

 

На ОДЗ \(\log_5(x+2)=\log_{25}(x+2)^2\), следовательно, применяя метод рационализации, получим:

 

\(\dfrac{(4x^2-1)^3(25-1)((x+2)^2-x^2)\sqrt{x^2-1}}{(2-1)(x+1-3)}\leqslant0 \Rightarrow \dfrac{(2x-1)^3(2x+1)^3(2x+2)\sqrt{x^2-1}}{x-2}\leqslant0\)

 

Заметим, что \(\sqrt{x^2-1}\geqslant 0\) при всех \(x\) из ОДЗ, причем в точках \(x=\pm 1\) выражение \(\sqrt{x^2-1}=0\). Таким образом, это выражение не будет влиять на знак левой части, но точки \(x=\pm1\) будут являться решением неравенства, т.к. при этих \(x\) левая часть неравенства равна \(0\). Следовательно, данное неравенство на ОДЗ будет равносильно:

 

\(\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac{(2x-1)^3(2x+1)^3(2x+2)}{x-2}\leqslant0\\ &x=\pm 1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\)

 

Решим неравенство из совокупности методом интервалов:

 

Таким образом, решением данной совокупности будут

 

\(x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\cup \{-1;1\} \Leftrightarrow x\in [-1; -\frac12\big]\cup\big[\frac12;2)\)

 

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим итоговый ответ: \(x\in \{-1\}\cup[1;2)\)