Математика
Русский язык

Логарифмические неравенства

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:

\[\large{\begin{array}{|lcl|} \hline \log_a1=0& \qquad & \log_aa=1\\ &&\\ \log_{a^n}{b^m}=\frac mn\log_{|a|}{|b|}&& a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\\ &&\\ \log_a{bc}=\log_a{|b|}+\log_a{|c|}&& \log_a{\dfrac bc}=\log_a{|b|}-\log_a{|c|}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac & \Longleftrightarrow & \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}\\ &&\\ \log_ab\cdot \log_ba=1 & \Longleftrightarrow & \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\ &&\\ \hline \end{array}}\]

\(\blacktriangleright\) Стандартное логарифмическое неравенство \[{\Large{\log_a{h(x)}\geqslant \log_a{g(x)} \quad (*)}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Логарифмическая функция \(f(x)=\log_ax\) является возрастающей, если число \(a>1\), и убывающей, если \(0<a<1\), и определена при всех положительных \(x\) (то есть ее область определения \(x\in (0;+\infty)\)).

 

На графике приведен пример возрастающей логарифмической функции \(f_1(x)=\log_2x\) и убывающей логарифмической функции \(f_2(x)=\log_{\,0,5}x\).


 

Напомним, что функция возрастает, если при увеличении \(x\) увеличивается и \(f(x)\). Функция убывает, если при увеличении \(x\) уменьшается \(f(x)\).

 

Таким образом, неравенство \((*)\) есть не что иное, как сравнение \(f(h)\) и \(f(g)\). Если функция \(f\) — возрастает, то неравенство \(f(h)\geqslant f(g)\) равносильно неравенству \(h\geqslant g\), а если убывает — то неравенству \(h\leqslant g\).

 

Поэтому для того, чтобы решить неравенство \((*)\), нужно сравнить основание \(a\) с единицей:

 

если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно системе (не забываем про ОДЗ!) \[{\Large{\begin{cases} h(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}}}\] Заметим, что условие \(h(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе, т.к. если \(h\geqslant g\), а \(g>0\), то и \(h>0\).

 

если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно системе \[{\Large{\begin{cases} h(x)\leqslant g(x)\\ h(x)>0 \end{cases}}}\]
Заметим, что условие \(g(x)>0\) учитывается автоматически в такой системе.

 

\(\blacktriangleright\) Напомним, что область значений логарифмической функции — все числа, т.е. \(\log_ax\in \mathbb{R}\) при всех возможных \(a\) и \(x\).

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large {b=\log_a{a^b}}}\) можно любое число \(b\) представить в виде логарифма по необходимому основанию \(a>0,\ a\ne 1\).

 

Пример 1. Решить неравенство \(\log_2 {(x^2+7)}>4\)

 

Представим по формуле \(4=\log_2{2^4}=\log_2{16}\), тогда неравенство примет вид \[\log_2{(x^2+7)}>\log_2 {16} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2+7>16\\ x^2+7>0 \end{cases}\] (знак неравенства не сменится, т.к. основание логарифмов \(2>1\)).

Второе неравенство \(x^2+7>0\) (это и есть ОДЗ) выполнено при всех \(x\).
Первое неравенство системы равносильно \(x^2-9>0 \Leftrightarrow (x-3)(x+3)>0 \Rightarrow x\in (-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\).

 

Таким образом, после пересечения решений обоих неравенств системы решением исходного неравенства будут \(x\in (-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\).

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим неравенства вида \[{\Large{\log_{h(x)}{f(x)}\geqslant \log_{h(x)}{g(x)}}}\] (на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))
То есть когда в основании логарифма находится не конкретное число, а функция, зависящая от \(x\).

 

Данное неравенство равносильно совокупности: \[{\Large{\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x)\\ g(x)>0 \end{cases}\\[4pt] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x)\\ f(x)>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

Иногда удобно выписать ОДЗ отдельно. Тогда неравенство будет равносильно системе: \[{\Large{\begin{cases} f(x)>0 \quad (\textbf{ОДЗ})\\ g(x)>0 \quad (\textbf{ОДЗ})\\[3pt] \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} h(x)>1\\ f(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[3pt] &\begin{cases} 0<h(x)<1\\ f(x)\leqslant g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}}}\]

Пример 2. Решить неравенство \(\log_x{(3x-1)}>1\)

 

Данное неравенство равносильно:

\(\log_x{(3x-1)}>\log_xx \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x>1\\ 3x-1> x\\ x>0 \end{cases}\\ &\begin{cases} 0<x<1\\ 3x-1< x\\ 3x-1>0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \Leftrightarrow \ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x>1\\ &\dfrac13<x<\dfrac12 \end{aligned} \end{gathered} \right. \ \Leftrightarrow \quad x\in \left(\dfrac13;\dfrac12\right)\cup\Big(1;+\infty\Big)\)

 

Пример 3. Решить неравенство \(\log_{x^2}{(x+1)^2}\leq 1\)

 

Выпишем ОДЗ для аргумента логарифма: \((x+1)^2>0 \Rightarrow x\ne -1\).
Для основания логарифма ОДЗ отдельно выписывать не имеет смысла, т.к. мы будем учитывать его в самом решении: рассматривать случаи, когда основание больше \(1\) и когда оно находится между \(0\) и \(1\).

 

Таким образом, на ОДЗ неравенство равносильно совокупности (учитывая, что \(1=\log_{x^2}{x^2}\)) \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x^2>1\\ (x+1)^2\leqslant x^2 \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} 0<x^2<1\\ (x+1)^2\geqslant x^2 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x^2-1>0\\ (x+1)^2-x^2\leqslant 0 \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} x^2<1\\ x^2>0\\ (x+1)^2- x^2\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} (x-1)(x+1)>0\\ (x+1-x)(x+1+x)\leqslant 0 \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} (x-1)(x+1)<0\\ x\ne 0\\ (x+1-x)(x+1+x)\geqslant 0 \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.\quad \Leftrightarrow \quad\]
\[\quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x\in (-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\\ x\in (-\infty;-\dfrac12\big] \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} x\in (-1;1)\\ x\ne 0\\ x\in\big[-\dfrac12;+\infty) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad x\in \Big(-\infty;-1\Big)\cup\Big[-\dfrac12;0\Big)\cup\Big(0;1\Big)\]

Пересекая данный ответ с ОДЗ (\(x\ne -1\)), получим тот же ответ.

 

\(\blacktriangleright\) Таким образом, как правило, для того, чтобы система (совокупность) не выглядела слишком огромной, удобно записывать ОДЗ неравенства отдельно, а затем просто пересекать решение системы (совокупности) с этим ОДЗ. Что мы и сделали в примере \(3\).