Математика
Русский язык

Первообразная

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Функция \(F(x)\) называется первообразной для функции \(f(x)\) на промежутке \(I\), если для любого числа \(x_0\) из этого промежутка верно равенство \(F'(x_0) = f(x_0)\).

 

Пример

Пусть \(y = x^3 + 4\) – исходная функция, тогда \(y = 0,25x^4 + 4x\) – её первообразная на всей числовой оси.

Кроме того, её первообразными являются и функции, которые получаются следующим образом: возьмём любое число (обозначим его \(C\)) и прибавим его к уже известной первообразной: \(y = 0,25x^4 + 4x + C\) – тоже первообразная функции \(y = x^3 + 4\) на всей числовой оси.

 

Теорема

Если \(y = F(x)\) – первообразная функции \(y = f(x)\) на промежутке \(I\), то у функции \(y = f(x)\) на промежутке \(I\) бесконечно много первообразных и все они имеют вид \(y = F(x) + C\), где \(C\) – произвольное число.