Математика
Русский язык

Линейные и квадратные уравнения. Примеры

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определение

 

Уравнение (с одной переменной) - это некоторое равенство двух выражений, содержащее неизвестную (переменную). \[f(x)=g(x) \qquad \qquad (1)\]

Пусть для определенности все дальнейшие уравнения содержат переменную, обозначенную буквой \(x\).

 

Замечание

 

Заметим, что \(x\) — это просто некоторое число, значение которого неизвестно.

 

Определение

 

Областью определения (или областью допустимых значений, сокращенно ОДЗ) любого уравнения вида \((1)\) будем называть множество значений переменной \(x\), при которых определены функции \(f(x)\) и \(g(x)\).

 

Пример

 

Уравнение \(\dfrac {10}{x-1}=5\) определено при всех значениях переменной \(x\), кроме \(x=1\), потому что в этом случае знаменатель дроби в левой части равенства обращается в ноль. Значит, ОДЗ уравнения \(x\in (-\infty;1)\cup(1;+\infty)\).

 

Определение

 

Корнем уравнения называется то числовое значение \(x\), при котором уравнение обращается в верное равенство.
Иногда корни уравнения называют решением этого уравнения.

 

Например, корнем уравнения из предыдущего примера является число \(x=3\), потому как тогда уравнение принимает вид \(\dfrac{10}{3-1}=5\) или, что то же самое, \(5=5\), что является верным равенством.

 

Замечание

 

1) Заметим, что уравнение может как иметь корень или корни, так и не иметь корней. Например, уравнение \(\dfrac 1x=0\) ни при каких значениях \(x\) не может быть верным, потому что дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла. У нашей дроби числитель \(1\ne 0\).

 

2) Фраза “Решить уравнение” означает найти все корни данного уравнения или доказать, что корней нет.

 

Определение

 

Два уравнения равносильны (или эквивалентны), если они имеют одинаковые решения.
Например, уравнения \(x=3\) и \(3x=6+x\) эквивалентны, т.к. оба имеют единственное решение \(x=3\).

 

Эквивалентность уравнений обозначается так: \(x=3 \quad \Leftrightarrow \quad 3x=6+x\).

 

Свойства уравнений

 

1. В любом уравнении можно переносить слагаемые из одной части равенства в другую, при этом меняя их знак на противоположный. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+4=2x^2\) можно переписать в виде \(x+4-2x^2=0\).

 

2. В любом уравнении можно правую и левую части умножать или делить на одно и то же число, не равное нулю. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(0,5x=-2\) равносильно уравнению \(x=-4\), которое получено из исходного путем умножения обеих частей на \(2\).

 

3. В любом уравнении можно к правой и левой частям прибавлять одно и то же число. При этом полученное уравнение равносильно исходному.
Например, уравнение \(x+2=5x^2\) после прибавления к обеим частям \(-2\) примет вид \(x=5x^2-2\).

 

Замечание

 

На самом деле, любое уравнение можно умножать не только на число, отличное от нуля, но и на выражение, отличное от нуля. Но при этом данное выражение обязано не терять смысла при значениях \(x\), являющихся корнями исходного уравнения.

Аналогично и с прибавлением выражения к обеим частям уравнения.  

\[{\Large{\text{Линейные уравнения}}}\]

Линейное уравнение – это уравнение вида \[ax + b = 0\qquad \qquad (2)\] где \(a\ne 0,b\) – числа, или уравнение, к нему сводящиеся.

 

ОДЗ линейного уравнения \((2)\) — все \(x \in\mathbb{R}\).

 

Корни линейного уравнения

 

Линейное уравнение \((2)\) всегда имеет ровно один корень, который равен \(x=-\dfrac ba\).
Например, \(2x-4=0\) имеет корень \(x=2\).  

\[{\Large{\text{Квадратные уравнения}}}\]

Квадратное уравнение – это уравнение вида \[ax^2+bx+c=0 \qquad \qquad (3)\] где \(a, b, c\) – числа, причем \(a\ne 0\), или уравнение, к нему сводящееся.

 

Число \(a\) называется старшим (первым) коэффициентом, число \(b\) – вторым коэффициентом, число \(c\) – свободным членом.

 

Замечание

 

1) Заметим, что если \(a=0\), то уравнение \((3)\) становится линейным; именно поэтому в определении \(a\ne 0\).

 

2) Выражение \(ax^2+bx+c\) называется квадратичным трехчленом.

 

Определение

 

Дискриминантом квадратного уравнения \((3)\) называется выражение \(D=b^2-4ac\).

 

Корни квадратного уравнения

 

1) Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля (\(D>0\)), то оно имеет два различных корня \[x_1=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a} \qquad \text{и} \qquad x_2=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}\]

2) Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю (\(D=0\)), то оно имеет два совпадающих корня (часто говорят, что оно имеет один корень) \[x=-\dfrac b{2a}\]

3) Если дискриминант квадратного уравнения меньше нуля (\(D<0\)), то оно не имеет корней.

 

Пример

 

Решите уравнение \[3x^2 - 33x + 90 = 0.\]

Решение.
Найдём дискриминант данного уравнения: \[D = 33^2 - 4\cdot 3\cdot 90 = 9\] Следовательно, уравнение имеет два различных корня, равных \[x_1=\dfrac{33 + 3}{6} = 6 \qquad \text{и} \qquad x_2=\dfrac{33 - 3}{6} = 5\]

Теорема Виета

 

Пусть квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), \(a\neq 0\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\) (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\). Тогда их сумма равна \[x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\] а их произведение равно \[x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}\]

 

Доказательство

 

Сумма корней этого уравнения равна \[\dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = -\dfrac{2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}\]

Произведение корней этого уравнения равно

\[\dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} \cdot \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{(-b + \sqrt{D})(-b - \sqrt{D})}{4a^2} = \dfrac{b^2 - D}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}\]

Определение

 

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент \(a=1\).
Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным: для этого необходимо разделить уравнение на \(a\).

 

Следствие

 

Для приведенного квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) теорема Виета выглядит следующим образом:

\[x_1+x_2=-p, \qquad \qquad x_1\cdot x_2=q\]

Теорема: разложение на множители квадратного трехчлена

 

Пусть уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), \(a\neq 0\), имеет два корня (возможно, совпадающих), то есть \(D\geqslant 0\). Тогда при любом значении \(x\) выполнено \[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2),\] где \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) (возможно, совпадающие).

 

Доказательство

 

Сделаем преобразования:

\(\begin{multline*} a(x-x_1)(x-x_2)=a\left(x - \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a}\right)\left(x - \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\right) = \\ =a\left(x^2 - x\left(\dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\right) + \dfrac{b^2 - D}{4a^2}\right)=a\left(x^2-x\cdot \left(-\dfrac ba\right)+\dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\right)=\\ =a(x^2+\dfrac ba x+\dfrac ca)=ax^2+bx+c \end{multline*}\)

 

Пример

 

Разложить на множители квадратный трехчлен \(3x^2-2x-1\).

 

Решение.
Рассмотрим уравнение \(3x^2-2x-1=0\) и найдем его корни.
\(D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot (-1)=16\), значит

\[x_1=\dfrac{2-4}{2\cdot 3}=-\dfrac 13 \qquad \qquad x_2=\dfrac{2+4}{2\cdot 3} =1\]

Таким образом, \(3x^2-2x-1=3(x-1)(x+\frac13)=(x-1)(3x+1)\).

Теория линейных и квадратных уравнений традиционно изучается школьниками Москвы и других городов в 8 классе. И хотя данная тема рассматривается в рамках образовательного курса достаточно подробно, и ей отводится немало времени, с заданиями из этого раздела выпускники не всегда справляются с легкостью. Именно поэтому, готовясь к сдаче ЕГЭ, учащимся непременно стоит освежить в памяти теорию и разобраться в решении задач с линейными и квадратными уравнениями.

Сделать это легко, оперативно и эффективно вам позволит образовательный портал «Школково». Всю необходимую теорию по теме «Квадратные и линейные уравнения» для подготовки к ЕГЭ вы можете найти в соответствующем разделе. Весь базовый материал составлен нашими специалистами на основе многолетнего опыта и представлен в максимально доступной форме. Изучив определения, формулы и основные свойства линейных и квадратных уравнений, учащиеся смогут не только вспомнить всею необходимую теорию, но и грамотно объяснить принцип решения задач ЕГЭ. Закрепить усвоенный материал вам помогут упражнения в разделе «Каталог». Здесь вы можете найти как простые, так и более сложные задачи по данной теме. Для каждого задания на сайте наши специалисты прописали подробный алгоритм решения и правильный ответ.

Изучить теорию по теме «Линейные и квадратные уравнения» и попрактиковаться в выполнении упражнений можно в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в «Избранное», чтобы в дальнейшем можно было к нему вернуться или обсудить с преподавателем.