Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ

Простейшие рациональные уравнения. Примеры

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

\(\bullet\) Рациональное уравнение — это уравнение, представимое в виде \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=0\] где \(P(x), \ Q(x)\) — многочлены (сумма “иксов” в различных степенях, умноженных на различные числа).
Выражение в левой части уравнения называется рациональным выражением.
ОДЗ (область допустимых значений) рационального уравнения – это все значения \(x\), при которых знаменатель НЕ обращается в нуль, то есть \(Q(x)\ne 0\).
\(\bullet\) Например, уравнения \[\dfrac{x+2}{x-3}=0,\qquad \dfrac 2{x^2-1}=3, \qquad x^5-3x=2\] являются рациональными уравнениями.
В первом уравнении ОДЗ – это все \(x\), такие что \(x\ne 3\) (пишут \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); во втором уравнении – это все \(x\), такие что \(x\ne -1; x\ne 1\) (пишут \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); а в третьем уравнении никаких ограничений на ОДЗ нет, то есть ОДЗ – это все \(x\) (пишут \(x\in\mathbb{R}\)).   \(\bullet\) Теоремы:
1) Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, следовательно, уравнение \(f(x)\cdot g(x)=0\) равносильно системе \[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ \text{ОДЗ уравнения} \end{cases}\] 2) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, следовательно, уравнение \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе уравнений \[\begin{cases} f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end{cases}\] \(\bullet\) Рассмотрим несколько примеров.

 

1) Решите уравнение \(x+1=\dfrac 2x\).   Найдем ОДЗ данного уравнения – это \(x\ne 0\) (так как \(x\) находится в знаменателе).
Значит, ОДЗ можно записать так: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю: \[\dfrac{(x+1)\cdot x}x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{x^2+x-2}x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2+x-2=0\\x\ne 0\end{cases}\] Решением первого уравнения системы будут \(x=-2, x=1\). Видим, что оба корня ненулевые. Следовательно, ответ: \(x\in \{-2;1\}\).  

2) Решите уравнение \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\).   Найдем ОДЗ данного уравнения. Видим, что единственное значение \(x\), при котором левая часть не имеет смысла – это \(x=0\). Значит, ОДЗ можно записать так: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=2\\ &x=1\\ &x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=2\\ &x=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\] Действительно, несмотря на то, что \(x=0\) — корень второго множителя, если подставить \(x=0\) в изначальное уравнение, то оно не будет иметь смысла, т.к. не определено выражение \(\dfrac 40\).
Таким образом, решением данного уравнения являются \(x\in \{1;2\}\).  

3) Решите уравнение \[\dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1}\] В нашем уравнении \(4x^2-1\ne 0\), откуда \((2x-1)(2x+1)\ne 0\), то есть \(x\ne -\frac12; \frac12\).
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

 

\(\dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2+4x-3+x+x^2}{4x^2-1}=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2x^2+5x-3}{4x^2-1}=0 \quad \Leftrightarrow\)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (2x-1)(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac12\\[2ex] &x=-3 \end{aligned}\end{gathered} \right.\\[2ex] x\ne \dfrac 12\\[2ex] x\ne -\dfrac 12 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x=-3\)

Ответ: \(x\in \{-3\}\).  

Замечание. Если ответ состоит из конечного набора чисел, то их можно записывать через точку с запятой в фигурных скобках, как показано в предыдущих примерах.

Задачи, в которых требуется решить рациональные уравнения, в ЕГЭ по математике встречаются каждый год, поэтому при подготовке к прохождению аттестационного испытания выпускникам непременно стоит самостоятельно повторить теорию по данной теме. Уметь справляться с такими заданиями обязательно должны выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень экзамена. Усвоив теорию и разобравшись с практическими упражнениями по теме «Рациональные уравнения», учащиеся смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Как подготовиться к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»?

Иногда найти источник, в котором полноценно представлена базовая теория для решения математических задач, оказывается достаточно сложно. Учебника может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно сложно даже в Интернете.

Образовательный портал «Школково» избавит вас от необходимости поиска нужного материала и поможет качественного подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Всю необходимую теорию по теме «Рациональные уравнения» наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, учащиеся смогут восполнить пробелы в знаниях.

Для успешной подготовки к ЕГЭ выпускникам необходимо не только освежить в памяти базовый теоретический материал по теме «Рациональные уравнения», но попрактиковаться в выполнении заданий на конкретных примерах. Большая подборка задач представлена в разделе «Каталог».

Для каждого упражнения на сайте наши специалисты прописали алгоритм решения и указали правильный ответ. Учащиеся могут практиковаться в решении задач различной степени сложности в зависимости от уровня подготовки. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Изучить теоретический материал и отточить навыки решения задач по теме «Рациональные уравнения», подобных тем, которые включены в тесты ЕГЭ, можно в режиме онлайн. В случае необходимости любое из представленных заданий можно добавить в раздел «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию по теме «Рациональные уравнения», старшеклассник сможет в дальнейшем вернуться к задаче, чтобы обсудить ход ее решения с преподавателем на уроке алгебры.