Математика
Русский язык

Рациональные уравнения. Некоторые известные типы уравнений

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Определение

 

Рациональное уравнение — это уравнение, представимое в виде

\[\dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}=0\qquad \qquad (1)\] где \(P_n(x), \ Q_m(x)\) — многочлены степени \(n\) и \(m\) соответственно.

 

Выражение в левой части уравнения называется рациональным выражением.

 

Пример

 

Уравнения

\[\dfrac{x+2}{x-3}=0,\qquad \dfrac 2{x^2-1}=3, \qquad x^5-3x=2\]

являются рациональными уравнениями.

 

Замечание

 

1) Заметим, что алгебраические уравнения — это частный случай рациональных уравнений, когда \(Q_m(x)=1\) (третье уравнение из примера).
На самом деле любое число можно назвать многочленом нулевой степени, то есть в алгебраических уравнениях \(m=0\).

 

2) ОДЗ любого рационального уравнения, приведенного к виду \((1)\), — это все вещественные значения \(x\), кроме тех, в которых знаменатель \(Q_m(x)=0\).

 

Теорема

 

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла, следовательно, уравнение \(f(x)\cdot g(x)=0\) равносильно системе

\[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ \text{ОДЗ уравнения} \end{cases}\]

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла, следовательно, уравнение \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе уравнений

\[\begin{cases} f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end{cases}\]

Замечание

 

ОДЗ произведения двух выражений — это пересечение ОДЗ этих выражений.

 

Пример

 

Решите уравнение \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\).

 

Найдем ОДЗ данного уравнения. В данном случае это будут те значения \(x\), при которых определена левая часть уравнения. Заметим, что левая часть уравнения состоит из двух множителей: ОДЗ первого множителя — это все \(x\ne 0\), то есть \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), а ОДЗ второго — все \(x\in \mathbb{R}\). Значит, ОДЗ всей левой части, — это все \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

 

Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

\[\begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=2\\ &x=1\\ &x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &x=2\\ &x=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Действительно, несмотря на то, что \(x=0\) — корень второго множителя, если подставить \(x=0\) в изначальное уравнение, то оно не будет иметь смысла, т.к. не определено выражение \(\dfrac 40\).

 

Таким образом, решением данного уравнения являются \(x\in \{1;2\}\).

 

Пример

 

Решите уравнение \[\dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1}\]

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:

 

\(\begin{multline*} \dfrac{x^2+4x}{4x^2-1}=\dfrac{3-x-x^2}{4x^2-1} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2+4x-3+x+x^2}{4x^2-1}=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2x^2+5x-3}{4x^2-1}=0 \quad \Leftrightarrow \quad\\[5pt] \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} (2x-1)(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=\dfrac12\\[3pt] &x=-3 \end{aligned}\end{gathered} \right.\\[5pt] x\ne \dfrac 12\\[5pt] x\ne -\dfrac 12 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad x=-3 \end{multline*}\)

Ответ: \(x\in \{-3\}\)  

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся виды рациональных уравнений.

 

 

\(\color{red}{I.}\) Уравнения вида \(x+\dfrac1x=a\), где \(a\) – число.

 

Способ решения данных уравнений — это перенос всех слагаемых в одну сторону и приведение к общему знаменателю:

\[x+\dfrac 1x-a=0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2-ax+1}x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2-ax+1=0\\ x\ne 0 \end{cases}\]

Заметим, что первое уравнение системы никогда не будет иметь решением \(x=0\) (т.к. тогда мы имеем \(1=0\), что невозможно), значит, в уравнениях такого вида автоматически выполняется условие \(x\ne 0\).

 

Утверждение

 

Выражение \(x+\dfrac 1x\) при всех \(x>0\) больше или равно \(2\), а при всех \(x<0\) — меньше или равно \(-2\).
Иными словами, при всех \(x\ne 0\)

\[\left|x+\dfrac1x\right|\geqslant 2\]

Доказательство

 

1) Пусть \(x>0\). Докажем, что \(x+\dfrac 1x\geqslant 2\). Предположим, что утверждение верно и сделаем преобразования:

\[x+\dfrac 1x-2\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2-2x+1}x\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{(x-1)^2}x\geqslant 0\]

Заметим, что т.к. знаменатель \(x>0\), то для того, чтобы дробь была неотрицательной, нужно, чтобы ее числитель был неотрицателен: \((x-1)^2\geqslant 0\). Но это верно при всех \(x\) (ввиду свойств квадрата), а значит, верно и при \(x>0\).

 

2) Пусть \(x<0\). Докажем, что \(x+\dfrac 1x\leqslant -2\).Поступим аналогичным образом:

\[x+\dfrac 1x+2\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{x^2+2x+1}x\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{(x+1)^2}x\leqslant 0\]

Заметим, что т.к. знаменатель \(x<0\), то для того, чтобы дробь была неположительной, нужно, чтобы ее числитель был неотрицателен: \((x+1)^2\geqslant 0\). Но это верно при всех \(x\) (ввиду свойств квадрата), а значит, верно и при \(x<0\).

 

Замечание

 

Заметим, что \(x+\dfrac1x=2\) тогда и только тогда, когда \(x=1\);

 

\(x+\dfrac 1x=-2\) тогда и только тогда, когда \(x=-1\).

 

Следствие

 

Таким образом, уравнение I имеет решения тогда и только тогда, когда \(|a|\geqslant 2\).

 

Замечание

 

Уравнения вида \(f(x)+\dfrac 1{f(x)}=a\).

 

Данные уравнения с помощью замены \(f(x)=t\) сводятся к уравнению I: \(t+\dfrac 1t=a\).

 

\(\color{red}{II.}\) Уравнения вида \(Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0, \ A\ne 0\).

 

Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) никогда не является решением, т.к. иначе мы получим \(A=0\), что исключено условием.
Значит, мы имеем право разделить левую и правую части уравнения на \(x^2\ne 0\):

\(\begin{multline*} Ax^4+Bx^3+Cx^2+Bx+A=0 \quad \Leftrightarrow \quad Ax^2+Bx+C+\dfrac Bx+\dfrac A{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow A\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right)+B\left(x+\dfrac 1x\right) +C=0 \end{multline*}\)

Заметим, что \(\left(x+\dfrac 1x\right)^2=x^2+2\cdot x\cdot \dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}=x^2+\dfrac 1{x^2}+2\), следовательно

\(x^2+\dfrac 1{x^2}=\left(x+\dfrac 1x\right)^2-2\).

 

Сделаем замену \(x+\dfrac 1x=t\), причем \(|t|\geqslant 2\). Тогда уравнение примет вид:

\[A(t^2-2)+Bt+C=0\]

Таким образом, мы получили квадратное уравнение относительно переменной \(t\), решив которое, найдем \(t\) и сделаем обратную замену, после чего найдем \(x\).

 

Пример

 

Решить уравнение \(6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0\).

 

Разделим на \(x^2\) и перегруппируем слагаемые:

\[6\left(x^2+\dfrac 1{x^2}\right) -13\left(x+\dfrac 1x\right)+12=0\]

Пусть \(x+\dfrac 1x=t \quad \Rightarrow \quad x^2+\dfrac 1{x^2}=t^2-2 \quad \Rightarrow \)

\[6(t^2-2)-13t+12=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=0, \ t_2=\dfrac{13}6\]

Т.к. \(|t|\geqslant 2\), то корень \(t_1\) не подходит. Сделаем обратную замену:

 

\(x+\dfrac 1x=\dfrac{13}6 \quad \Rightarrow x_1=\dfrac 32, \ x_2=\dfrac 23\).

 

Замечание

 

Заметим, что если уравнение I имеет два различных корня, то они всегда будут взаимно обратными числами. То есть \(\frac 32\) и \(\frac 23\), \(\frac 12\) и \(2\) и т.д.
(напомним, что числа называются взаимно обратными, если их произведение равно \(1\)).

 

Следующий уравнение также можно отнести к взаимно обратным уравнениям, потому что способ его решения аналогичен предыдущему примеру.

 

Пример

 

Решить уравнение \(2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0\).

 

Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) не является корнем. Поэтому разделим правую и левую части уравнения на \(x^2\):

\[2x^2-15x+40-\dfrac {45}x+\dfrac {18}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\left(x^2+\dfrac 9{x^2}\right)-15\left(x+\dfrac 3x\right)+40=0\]

Сделаем замену \(x+\dfrac 3x=t\), тогда \(\left(x+\dfrac 3x\right)^2=x^2+6+\dfrac 9{x^2}\), значит \(x^2+\dfrac 9{x^2}=t^2-6\).

 

\[2(t^2-6) -15t+40=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &t=4\\ &t=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac3x=4\\[4pt] &x+\dfrac3x=\dfrac72 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-4x+3=0\\ &2x^2-7x+6=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=3\\ &x=1\\&x=2\\ &x=\frac32 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Значит, ответ \(x\in \Big\{1;\dfrac32;2;3\Big\}\).

 

Замечание

 

Общий вид уравнений из предыдущего примера можно записать в виде

\[Ax^4+Bx^3+Cx^2+kBx+k^2A=0\]

Пример

 

Решить уравнение \(40x^4-78x^3-53x^2+78x+40=0\).

 

Заметим, что \(x=0\) не является корнем данного уравнения, значит, разделим уравнение на \(x^2\):

\[40x^2-78x-53+\dfrac{78}x+\dfrac{40}{x^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)-78\left(x-\dfrac1x\right)-53=0\]

Сделаем замену: \(x-\dfrac 1x=t\); тогда \(\left(x-\dfrac1x\right)^2=x^2-2+\dfrac 1{x^2}\), следовательно, \(x^2+\dfrac1{x^2}=t^2+2\):

\[40(t^2+2)-78t-53=0 \quad \Leftrightarrow \quad 40t^2-78t+27=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=\dfrac32, \ t_2=\dfrac9{20}\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x-\dfrac1x=\dfrac32\\[4pt] &x-\dfrac1x=\dfrac9{20} \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &2x^2-3x-2=0\\ &20x^2-9x-20=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=2\\[4pt] &x=-\dfrac12\\[4pt] &x=\dfrac54\\[4pt] &x=-\dfrac45 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Значит, ответ: \(x\in \Big\{-\dfrac45; -\dfrac12; \dfrac54; 2\Big\}\).  

 

\(\color{red}{III.}\) Уравнения вида \(a\cdot f^2(x)+b\cdot f(x)\cdot g(x)+c\cdot g^2(x)=0\).

 

1) Проверим, являются ли корни уравнения \(g(x)=0\) решением исходного уравнения. Если да – то запишем их в конечный ответ, а далее будем предполагать, что \(g(x)\ne 0\) ни при каких \(x\).

 

2) Теперь, когда \(g(x)\ne 0\), разделим правую и левую части уравнения на \(g^2(x)\):

\[a\cdot \dfrac{f^2(x)}{g^2(x)}+b\cdot \dfrac{f(x)g(x)}{g^2(x)}+c\cdot \dfrac{g^2(x)}{g^2(x)}=0 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2+b\cdot \dfrac{f(x)}{g(x)}+c=0\]

 

С помощью замены \(\dfrac{f(x)}{g(x)}=t\) данное уравнение сводится к квадратному:

\[at^2+bt+c=0,\]

решив которое, можно найти \(t\), сделать обратную замену и найти \(x\).

 

3) В дополнение к ответу из второго пункта не забываем записать ответ (если таковой имелся) из первого пункта.

 

Пример

 

Решить уравнение \(6(x^2-16)^2+5(x^2-16)(x^2-7x+12)+(x^2-7x+12)^2=0\).

 

1) Будем делить правую и левую части на \((x^2-7x+12)^2\). Поэтому предварительно проверим, может ли \(x^2-7x+12=0\), то есть являются ли корни этого уравнения корнями исходного уравнения.

\[x^2-7x+12=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=4, \ x_2=3\]

Подставим в исходное уравнение \(x_1\): \(6(16-16)^2+5(16-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\).

 

Значит, \(x_1=4\) является решением исходного уравнения.

 

Аналогично проверим \(x_2\): \(6(9-16)^2+5(9-16)\cdot 0+0^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad 259=0\).

 

Значит, \(x_2=3\) не является решением исходного уравнения.

 

Далее предполагаем, что \(x^2-7x+12\ne 0\).

 

2) После деления уравнения на \((x^2-7x+12)^2\) получим следующее уравнение:

\[6\cdot \left(\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}\right)^2+5\cdot \dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}+1=0\]

Сделаем замену: \(\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=t\), тогда:

\[6t^2+5t+1=0 \quad \Rightarrow \quad t_1=-\dfrac12, \ t_2=-\dfrac 13\]

Сделаем обратную замену:

\(\begin{multline*} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac12\\[4pt] &\dfrac{x^2-16}{x^2-7x+12}=-\dfrac13 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{3x^2-7x-20}{x^2-7x+12}=0\\[4pt] &\dfrac{4x^2-7x-36}{x^2-7x+12}=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &3x^2-7x-20=0\\ &4x^2-7x-36=0 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x^2-7x+12\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=4\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right.\\ x\ne 4\\ x\ne 3 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=-\dfrac53\\[3pt] &x=-\dfrac94 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{multline*}\)

 

3) Таким образом, ответ: \(x\in \Big\{-\dfrac94; -\dfrac53; 4\Big\}\).  

 

\(\color{red}{IV.}\) Уравнения вида \((x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=f(x)\).

 

Для данных уравнений нет конкретного способа решения. Как правило, для того, чтобы решить подобное уравнение, нужно разбить четыре скобки в левой части на две пары так, чтобы, перемножив скобки в каждой паре, получилась “удобная” замена. Поэтому рассмотрим несколько примеров.

 

Пример

 

Решить уравнение \((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24\).

 

Сгруппируем скобки так:

\[(x+1)(x+4)\cdot (x+2)(x+3)=24 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2+5x+4)\cdot (x^2+5x+6)=24\]

Сделаем замену \(x^2+5x+4=t\). Тогда уравнение примет вид:

\[t\cdot (t+2)=24 \quad \Leftrightarrow \quad t^2+2t-24=0 \quad \Rightarrow t_1=-6, \ t_2=4\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+4=-6\\ &x^2+5x+4=4 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2+5x+10=0\\ &x^2+5x=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=0\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Таким образом, \(x\in \{-5;0\}\).

 

Замечание

 

Если бы мы просто раскрыли все скобки, то получили бы уравнение четвертой степени, для которого нет универсального способа решения.

 

Пример

 

Решить уравнение \((x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=4x^2\).

 

Сгруппируем скобки так:

\[(x-2)(x-4)\cdot (x-1)(x-8)=4x^2 \quad \Leftrightarrow \quad (x^2-6x+8)\cdot (x^2-9x+8)=4x^2\]

Заметим, что в данном уравнении \(x=0\) не является решением, следовательно, можно разделить правую и левую части уравнения на \(x^2\):

\[\dfrac{x^2-6x+8}x\cdot \dfrac{x^2-9x+8}x=\dfrac{4x^2}{x^2} \quad \Leftrightarrow \quad \left(x-6+\dfrac8x\right)\cdot \left(x-9+\dfrac8x\right)=4\]

Теперь можно сделать замену \(x+\dfrac8x=t\):

\[(t-6)(t-9)=4 \quad \Leftrightarrow \quad t^2-15t+50=0 \quad \Rightarrow t_1=5, \ t_2=10\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x+\dfrac8x=5\\[4pt] &x+\dfrac8x=10 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x^2-5x+8=0\\ &x^2-10x+8=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &x=5-\sqrt{17}\\ &x=5+\sqrt{17} \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Таким образом, ответ \(x\in\{5-\sqrt{17};5+\sqrt{17}\}\).  

\(\color{red}{V.}\) Уравнения вида \((x+a)^n +(x+b)^n=f(x)\).

 

Как правило, в данных уравнениях \(n\) не превышает \(5\). Поэтому нам понадобятся следующие формулы сокращенного умножения:

\[\begin{aligned} & (x+a)^3=x^3+3x^2a+3xa^2+a^3\\ & (x+a)^4=x^4+4x^3a+6x^2a^2+4xa^3+a^4\\ & (x+a)^5=x^5+5x^4a+10x^3a^2+10x^2a^3+5xa^4+a^5 \end{aligned}\]

В данных задачах необходимо сделать замену \(x+\dfrac{a+b}2=t\). Тогда \(x+a=t+\dfrac{a-b}2, \quad x+b=t-\dfrac{a-b}2\) и уравнение примет вид:

\[\left(t+\dfrac{a-b}2\right)^n+\left(t-\dfrac{a-b}2\right)^n=f(x)\]

После возведения в степень по формулам, приведенным выше, часть слагаемых взаимно уничтожится. Рассмотрим на примере.

 

Пример

 

Решить уравнение \((x+3)^4+(x+5)^4=16\).

 

Сделаем замену \(t=x+\dfrac{3+5}2=x+4\). Тогда \(x+3=t-1, \ x+5=t+1\):

 

\(\begin{multline*} (t-1)^4+(x+1)^4=16 \quad \Leftrightarrow \quad (t^4-4t^3+6t^2-4t+1)+ (t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=16 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad 2(t^4+6t^2+1)=16 \quad \Leftrightarrow \quad t^4+6t^2-7=0 \end{multline*}\)

 

Данное уравнение является биквадратным и с помощью замены \(t^2=z, z\geqslant 0\) сводится к квадратному: \[z^2+6z-7=0 \quad \Rightarrow \quad z_1=-7, \ z_2=1\]

Заметим, что корень \(z_1\) не подходит. Вернемся к переменной \(t\):

\[t^2=1 \quad \Rightarrow \quad t_1=1, \ t_2=-1\]

Вернемся к переменной \(x\):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+4=1\\ &x+4=-1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=-3\\ &x=-5 \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Таким образом, ответ \(x\in \{-5;-3\}\).

Задачи, в которых требуется решить рациональные уравнения, в ЕГЭ по математике встречаются каждый год, поэтому при подготовке к прохождению аттестационного испытания выпускникам непременно стоит самостоятельно повторить теорию по данной теме. Уметь справляться с такими заданиями обязательно должны выпускники, сдающие как базовый, так и профильный уровень экзамена. Усвоив теорию и разобравшись с практическими упражнениями по теме «Рациональные уравнения», учащиеся смогут решать задачи с любым количеством действий и рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Как подготовиться к экзамену вместе с образовательным порталом «Школково»?

Иногда найти источник, в котором полноценно представлена базовая теория для решения математических задач, оказывается достаточно сложно. Учебника может просто не оказаться под рукой. А найти необходимые формулы иногда бывает достаточно сложно даже в Интернете.

Образовательный портал «Школково» избавит вас от необходимости поиска нужного материала и поможет качественного подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Всю необходимую теорию по теме «Рациональные уравнения» наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме. Изучив представленную информацию, учащиеся смогут восполнить пробелы в знаниях.

Для успешной подготовки к ЕГЭ выпускникам необходимо не только освежить в памяти базовый теоретический материал по теме «Рациональные уравнения», но попрактиковаться в выполнении заданий на конкретных примерах. Большая подборка задач представлена в разделе «Каталог».

Для каждого упражнения на сайте наши специалисты прописали алгоритм решения и указали правильный ответ. Учащиеся могут практиковаться в решении задач различной степени сложности в зависимости от уровня подготовки. Перечень заданий в соответствующем разделе постоянно дополняется и обновляется.

Изучить теоретический материал и отточить навыки решения задач по теме «Рациональные уравнения», подобных тем, которые включены в тесты ЕГЭ, можно в режиме онлайн. В случае необходимости любое из представленных заданий можно добавить в раздел «Избранное». Еще раз повторив базовую теорию по теме «Рациональные уравнения», старшеклассник сможет в дальнейшем вернуться к задаче, чтобы обсудить ход ее решения с преподавателем на уроке алгебры.