Математика
Русский язык

Графики функций. Прямая. Парабола. Функция корня. Тригонометрические функции

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Факт 1.
\(\bullet\) Линейная функция – функция вида \(f(x)=kx+b\), где \(k,b\) – некоторые числа.
\(\bullet\) Графиком линейной функции является прямая.
\(\bullet\) Если \(b=0\), то прямая проходит через начало координат.
\(\bullet\) Графиком \(x=a\) является прямая, параллельная оси \(Oy\).
\(\bullet\) Графиком \(y=с\) является прямая, параллельная оси \(Ox\).
\(\bullet\) Для \(f(x)=kx+b\) коэффициент \(k\) равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\).



\(k_1=\mathrm{tg}\alpha\), \(k_2=\mathrm{tg}\beta\).
\(\bullet\) Если две прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) параллельны, то \(k_1=k_2\).
\(\bullet\) Если эти прямые взаимно перпендикулярны, то \(k_1\cdot k_2=-1\).  

Факт 2.
\(\bullet\) Квадратичная функция – функция вида \(f(x)=ax^2+bx+c\), где \(a, b, c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).
\(\bullet\) Графиком квадратичной функции является парабола.
\(\bullet\) Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх, если \(a<0\) – ветви направлены вниз.
\(\bullet\) Абсцисса вершины параболы \[x_0=-\dfrac b{2a}\] \(\bullet\) Всякая парабола симметрична относительно прямой \(x=x_0\).
\(\bullet\) Корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\) – точки пересечения параболы с осью \(Ox\).


 

Факт 3.
\(\bullet\) Кубическая функция – функция вида \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), где \(a, b, c, d\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).
\(\bullet\) Графиком кубической функции является кубическая парабола.
\(\bullet\) Если уравнение \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) имеет 1 корень, то график \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) выглядит, например, как \((1)\).
\(\bullet\) Если уравнение \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) имеет 2 корня, то график \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) выглядит, например, как \((2)\).
\(\bullet\) Если уравнение \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) имеет 3 корня, то график \(y=ax^3+bx^2+cx+d\) выглядит, например, как \((3)\).


 

Факт 4.
\(\bullet\) Функция корня – функция \(f(x)=\sqrt x\).
\(\bullet\) График функции \(y=\sqrt x\):



\(\bullet\) Заметим, что \(y=\sqrt x\) определена при \(x\geqslant 0\) и принимает значения \(y\geqslant 0\).  

Факт 5.
\(\bullet\) Графиком функции \(y=\sin x\) является синусоида



\(\bullet\) Графиком функции \(y=\cos x\) также является синусоида, но сдвинутая на \(\frac{\pi}2\) единиц влево по оси \(Ox\)



\(\bullet\) Обе функции \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) периодичны с периодом \(2\pi\). Обе функции могут принимать значения \(y\in [-1;1]\).
\(\bullet\) Функция \(y=\sin x\) – нечетная, функция \(y=\cos x\) – четная.  

Факт 6.
\(\bullet\) График функции \(y=\mathrm{tg} \,x\)



Прямые \(x=k\cdot \frac{\pi}2\), где \(k\) – нечетное число, являются асимптотами графика (то есть график их не пересекает).
\(\bullet\) График функции \(y=\mathrm{ctg} \,x\)



Прямые \(x=n\cdot \pi\), где \(n\) – целое число, являются асимптотами графика (то есть график их не пересекает).
\(\bullet\) Обе функции \(y=\mathrm{tg} \,x\) и \(y=\mathrm{ctg} \,x\) периодичны с периодом \(\pi\) и нечетны.