Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

Десятичные дроби и действия с ними

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Готовиться с нами - ЛЕГКО!


Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить, выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт 1.

\(\bullet\) Если \(\dfrac ab\) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель \(b\) среди простых делителей имеет только делители \(2\) и \(5\).
Пример: дробь \(\dfrac2{65}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(65=5\cdot 13\), то есть \(\dfrac2{65}=0,0307...\)
дробь \(\dfrac3{160}\) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(160=2^5\cdot 5\), то есть \(\dfrac3{160}=0,01875\).   Для того, чтобы перевести рациональную (обыкновенную) дробь в десятичную, нужно разделить в столбик ее числитель на знаменатель. Если предварительно не убедиться, что данную дробь действительно можно перевести в конечную десятичную, то делить в столбик можно до бесконечности :)   \(\bullet\) Любую конечную десятичную дробь можно легко привести в рациональный вид. Например, \(0,63\) равно \(\dfrac{63}{100}\); \(1,102\) равно \(\dfrac{1102}{1000}\); \(0,0003\) равно \(\dfrac3{10000}\).   Таким образом, действует следующее правило: в числителе дроби мы записываем то число, которое у нас получается при отбрасывании запятой и “лишних” нулей, находящихся слева; в знаменателе мы записываем \(10\), если в дроби был 1 знак после запятой, \(100\), если в дроби было 2 знака после запятой, \(1000\), если в дроби было 3 знака после запятой и т.д.  

Факт 2.
\(\bullet\) Сложение или вычитание десятичных дробей удобно осуществлять столбиком. Для этого необходимо записать одну дробь под другой так, чтобы запятая находилась под запятой (то есть цифры, находящиеся в одних и тех же разрядах, должны находиться друг под другом). Затем, не обращая внимания на запятую, сложить два числа привычным для нас алгоритмом сложения в столбик. После этого нужно перенести запятую в результат, руководствуясь тем же правилом “запятая под запятой”.
Пример: сумма дробей \(1,42\) и \(7,103\) равна \(8,523\)
\(\bullet\) Для того, чтобы умножить две десятичные дроби, нужно отбросить их запятые, полученные целые числа умножить привычным способом и в найденном результате запятой отделить столько знаков, сколько их суммарно было в обеих дробях.
Пример: чтобы умножить \(1,2\) на \(0,03\), умножим \(12\) на \(3\) (получим \(36\)), а затем в числе \(36\) отделим запятой 3 знака (так как в первой дроби один знак после запятой, во второй – два). Получим \(0,036\).   \(\bullet\) Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, нужно в обеих дробях перенести запятую вправо на одно и то же количество знаков так, чтобы получить два целых числа. Затем выполнить деление одного числа на другое привычным способом.
Пример: чтобы разделить \(30,5\) на \(1,02\), нужно разделить \(3050\) на \(102\) (запятая была перенесена вправо на 2 знака).   \(\bullet\) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно передвинуть запятую на 1 знак вправо; при умножении на 100 нужно передвинуть запятую на 2 знака вправо; при умножении на 1000 – на 3 знака и т.д.

 

Если в задаче нужно сложить, умножить или разделить дроби разного вида: десятичные и рациональные, то часто бывает удобно привести все дроби к одному и тому же виду, то есть работать либо только с рациональными дробями, либо только с десятичными.
Пример: найти значение выражения \[\dfrac{0,4\cdot (1-0,91)}{2-\frac14\cdot 0,8}\] Вспомним, что в первую очередь мы выполняем действие в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.
Вычислим числитель. Так как в первую очередь выполняется действие в скобках, то вычислим \(1-0,91=1,00-0,91=0,09\). Второе действие – это умножение \(0,4\cdot 0,09\). Для этого умножим \(4\) на \(9\), получим \(36\), и запятой в числе \(36\) отделим 3 знака: получим \(0,036=\frac{36}{1000}\).
Вычислим знаменатель. Так как в первую очередь выполняется умножение, то найдем \(\frac14\cdot 0,8\). Для этого переведем \(0,8\) в рациональную дробь: \(0,8=\frac8{10}\) и сократим: \(\frac8{10}=\frac45\). Следовательно, \(\frac14\cdot \frac45=\frac{1\cdot 4}{4\cdot 5}=\frac15\). Второе действие – вычитание \(2-\frac15\). Для этого запишем \(2\) как \(\frac21=\frac{10}5\). Следовательно, \(\frac{10}5-\frac15=\frac{10-1}5=\frac95\).
Найдем значение дроби. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель, то есть найти \(\frac{36}{1000}:\frac95\). Получим: \[\dfrac{36}{1000}:\dfrac95=\dfrac{36}{1000}\cdot \dfrac59= \dfrac{36\cdot 5}{1000\cdot 9}=\dfrac{4\cdot 9\cdot 5}{1000\cdot 9}=\dfrac{4\cdot 1}{200}=\dfrac1{50}=0,02\] Таким образом, ответ: \(0,02\).  

Факт 3.
Округление десятичных дробей.
При округлении десятичных дробей до какого-то разряда важно помнить:

 

\(\blacktriangleright\) если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, \(\leqslant 4\), то округляем в меньшую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, оставляем неизменной).

 

Пример: число \(0,8\underline94\) при округлении до сотых дает \(0,8\underline{9}\).

 

\(\blacktriangleright\) если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, \(\geqslant 5\), то округляем в большую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, увеличиваем на \(1\)).

 

Пример: число \(1,45\underline{7}9\) при округлении до тысячных дает \(1,45\underline{8}\).

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

  1. Потому что это расширяет кругозор. Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
  2. Потому что это развивает интеллект. Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.