Факт 1.
\(\bullet\) Если \(\dfrac ab\) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель \(b\) среди простых делителей имеет только делители \(2\) и \(5\).
Пример: дробь \(\dfrac2{65}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(65=5\cdot 13\), то есть \(\dfrac2{65}=0,0307...\)
дробь \(\dfrac3{160}\) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(160=2^5\cdot 5\), то есть \(\dfrac3{160}=0,01875\).
Для того, чтобы перевести рациональную (обыкновенную) дробь в десятичную, нужно разделить в столбик ее числитель на знаменатель. Если предварительно не убедиться, что данную дробь действительно можно перевести в конечную десятичную, то делить в столбик можно до бесконечности :)
\(\bullet\) Любую конечную десятичную дробь можно легко привести в рациональный вид. Например, \(0,63\) равно \(\dfrac{63}{100}\); \(1,102\) равно \(\dfrac{1102}{1000}\); \(0,0003\) равно \(\dfrac3{10000}\).
Таким образом, действует следующее правило: в числителе дроби мы записываем то число, которое у нас получается при отбрасывании запятой и “лишних” нулей, находящихся слева; в знаменателе мы записываем \(10\), если в дроби был 1 знак после запятой, \(100\), если в дроби было 2 знака после запятой, \(1000\), если в дроби было 3 знака после запятой и т.д.
Факт 2.
\(\bullet\) Сложение или вычитание десятичных дробей удобно осуществлять столбиком. Для этого необходимо записать одну дробь под другой так, чтобы запятая находилась под запятой (то есть цифры, находящиеся в одних и тех же разрядах, должны находиться друг под другом). Затем, не обращая внимания на запятую, сложить два числа привычным для нас алгоритмом сложения в столбик. После этого нужно перенести запятую в результат, руководствуясь тем же правилом “запятая под запятой”.
Пример: сумма дробей \(1,42\) и \(7,103\) равна \(8,523\) 
\(\bullet\) Для того, чтобы умножить две десятичные дроби, нужно отбросить их запятые, полученные целые числа умножить привычным способом и в найденном результате запятой отделить столько знаков, сколько их суммарно было в обеих дробях.
Пример: чтобы умножить \(1,2\) на \(0,03\), умножим \(12\) на \(3\) (получим \(36\)), а затем в числе \(36\) отделим запятой 3 знака (так как в первой дроби один знак после запятой, во второй – два). Получим \(0,036\).
\(\bullet\) Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, нужно в обеих дробях перенести запятую вправо на одно и то же количество знаков так, чтобы получить два целых числа. Затем выполнить деление одного числа на другое привычным способом.
Пример: чтобы разделить \(30,5\) на \(1,02\), нужно разделить \(3050\) на \(102\) (запятая была перенесена вправо на 2 знака).
\(\bullet\) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно передвинуть запятую на 1 знак вправо; при умножении на 100 нужно передвинуть запятую на 2 знака вправо; при умножении на 1000 – на 3 знака и т.д.
Если в задаче нужно сложить, умножить или разделить дроби разного вида: десятичные и рациональные, то часто бывает удобно привести все дроби к одному и тому же виду, то есть работать либо только с рациональными дробями, либо только с десятичными.
Пример: найти значение выражения \[\dfrac{0,4\cdot (1-0,91)}{2-\frac14\cdot 0,8}\] Вспомним, что в первую очередь мы выполняем действие в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание.
Вычислим числитель. Так как в первую очередь выполняется действие в скобках, то вычислим \(1-0,91=1,00-0,91=0,09\). Второе действие – это умножение \(0,4\cdot 0,09\). Для этого умножим \(4\) на \(9\), получим \(36\), и запятой в числе \(36\) отделим 3 знака: получим \(0,036=\frac{36}{1000}\).
Вычислим знаменатель. Так как в первую очередь выполняется умножение, то найдем \(\frac14\cdot 0,8\). Для этого переведем \(0,8\) в рациональную дробь: \(0,8=\frac8{10}\) и сократим: \(\frac8{10}=\frac45\). Следовательно, \(\frac14\cdot
\frac45=\frac{1\cdot 4}{4\cdot 5}=\frac15\). Второе действие – вычитание \(2-\frac15\). Для этого запишем \(2\) как \(\frac21=\frac{10}5\). Следовательно, \(\frac{10}5-\frac15=\frac{10-1}5=\frac95\).
Найдем значение дроби. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель, то есть найти \(\frac{36}{1000}:\frac95\). Получим: \[\dfrac{36}{1000}:\dfrac95=\dfrac{36}{1000}\cdot \dfrac59=
\dfrac{36\cdot 5}{1000\cdot 9}=\dfrac{4\cdot 9\cdot 5}{1000\cdot
9}=\dfrac{4\cdot 1}{200}=\dfrac1{50}=0,02\] Таким образом, ответ: \(0,02\).
Факт 3.
Округление десятичных дробей.
При округлении десятичных дробей до какого-то разряда важно помнить:
\(\blacktriangleright\) если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, \(\leqslant 4\), то округляем в меньшую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, оставляем неизменной).
Пример: число \(0,8\underline94\) при округлении до сотых дает \(0,8\underline{9}\).
\(\blacktriangleright\) если цифра, стоящая справа от нужного нам разряда, \(\geqslant 5\), то округляем в большую сторону (то есть отбрасываем хвост после нужного нам разряда, а цифру, стоящую на нужном нам разряде, увеличиваем на \(1\)).
Пример: число \(1,45\underline{7}9\) при округлении до тысячных дает \(1,45\underline{8}\).
