Математика
Русский язык

Связь производной с монотонностью и точками экстремума функции

1. Читай полную теорию
2. Вникай в доказательства
3. Применяй на практике

Функция \(f\) возрастает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) < f(x_2)\) (чем больше аргумент из \(M\), тем больше значение \(f\)).

Функция \(f\) убывает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) > f(x_2)\) (чем больше аргумент из \(M\), тем меньше значение \(f\)).

Функция \(f\) неубывает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) \leq f(x_2)\) (при увеличении аргумента из \(M\), значение \(f\) по крайней мере не уменьшается).

Функция \(f\) невозрастает на множестве \(M\), если для любых двух точек \(x_1 < x_2\) из \(M\) справедливо неравенство \(f(x_1) \geq f(x_2)\) (при увеличении аргумента из \(M\), значение \(f\) по крайней мере не увеличивается).

 

Замечание

Если функция возрастает на \(M\), то про неё также верно, что она неубывает на \(M\).

Если функция убывает на \(M\), то про неё также верно, что она невозрастает на \(M\).

Стоит также отметить, что фразы “функция неубывает на \(M\)\(\ \) и “функция не является убывающей на \(M\)\(\ \)в общем случае значат совсем не одно и тоже.

 

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале \(I\) функция неубывает на нём, то её производная не отрицательна на \(I\).

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале \(I\), то эта функция неубывает на \(I\).

Если производная функции не отрицательна на некотором интервале \(I\), причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из \(I\), то эта функция возрастает на \(I\).

 

Теорема

Если дифференцируемая на некотором интервале \(I\) функция невозрастает на нём, то её производная не положительна на \(I\).

Если производная функции не положительна на некотором интервале \(I\), то эта функция невозрастает на \(I\).

Если производная функции не положительна на некотором интервале \(I\), причём производная равна 0 не более чем в конечном числе точек из \(I\), то эта функция убывает на \(I\).  

Определение

Точка \(x_0\) называется точкой строгого локального максимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\), отличной от \(x_0\), верно \(f(x_0) > f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой строгого локального минимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\), отличной от \(x_0\), верно \(f(x_0) < f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального максимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \geq f(a)\).

Точка \(x_0\) называется точкой локального минимума функции \(f(x)\), если существует некоторый интервал \(I\), содержащий точку \(x_0\), такой что для любой точки \(a\) из \(I\) верно \(f(x_0) \leq f(a)\). Точка \(x_0\) называется точкой локального экстремума функции \(f(x)\), если она является точкой её локального максимума или точкой локального минимума.

 

Замечание

Всякая точка строгого локального максимума функции \(f\) является также и точкой её локального максимума.

Всякая точка строгого локального минимума функции \(f\) является также и точкой её локального минимума.

 

Теорема

Если функция имеет экстремум в точке \(x_0\), то её производная в этой точке либо равна \(0\), либо не существует.

 

Определение

Точка \(x_0\), в которой \(f'(x_0)\) равно нулю или не существует, называется критической точкой функции \(f(x)\).

 

Таким образом, все точки экстремума функции \(f(x)\) являются и её критическими точками. Обратное, вообще говоря, не верно.