Заметим, что \(\cos x=0\) не является решением уравнения. Следовательно, уравнение можно переписать в виде: \[\sin^2\left(\dfrac{5x}4-\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac 12\left(\dfrac 1{2\cos x}+\dfrac{2\cos x}1\right)\] Сделаем замену \(2\cos x=t\). Тогда \[\sin^2\left(\dfrac{5x}4-\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac 12\left(\dfrac 1{t}+t\right)\] Так как сумма двух взаимно обратных чисел \(t+\frac1t\geqslant 2\) при \(t>0\) и \(t+\frac1t\leqslant -2\) при \(t<0\), то в нашем случае (так как слева стоит квадрат синуса) \(t>0\). Таким образом, правая часть \(\geqslant \frac12\cdot 2=1\). Так как \(\sin^2\alpha\in [0;1]\) при любом \(\alpha\), то равенство достигается только тогда, когда левая и правая части равны по \(1\): \[\begin{cases}
\sin^2\left(\dfrac{5x}4-\dfrac{5\pi}{12}\right)=1\\[2ex]
\dfrac12\left(\dfrac1{2\cos x}+2\cos x\right)=1
\end{cases} \quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
\sin\left(\dfrac{5x}4-\dfrac{5\pi}{12}\right)=\pm 1\\[2ex]
2\cos x=1
\end{cases}
\quad\Rightarrow\quad
\begin{cases}
\dfrac{5x}4-\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{\pi}2+\pi k, k\in\mathbb{Z}\\[2ex]
x_2=\pm \dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in\mathbb{Z}
\end{cases}\]
Первое уравнение равносильно \(x_1=\dfrac{11\pi}{15}+\dfrac 45\pi k,
k\in\mathbb{Z}.\)
1) Рассмотрим первый случай: \(\dfrac{11\pi}{15}+\dfrac 45\pi
k=\dfrac{\pi}3+2\pi n\quad (*)\).
Найдем те значения \(k,n\), при которых совпадают корни из серий \(x_1\) и \(x_2\). \[(*)\quad \Leftrightarrow\quad k=\dfrac{5n-1}2=2n+\dfrac{n-1}2\] Заметим, что если \(n\) – нечетное, то есть \(n=2p+1\), \(p\in\mathbb{Z}\), то мы получаем целое \(k=2(2p+1)+p=5p+2\), \(p\in
\mathbb{Z}\). Таким образом, ответ: \[x=\dfrac{\pi}3+2\pi (2p+1)=\dfrac{7\pi}3+4\pi p, p\in\mathbb{Z}\]
2) Рассмотрим второй случай: \[\dfrac{11\pi}{15}+\dfrac 45\pi
k=-\dfrac{\pi}3+2\pi n\quad \Leftrightarrow\quad
k=2n-1+\dfrac{3n-2}6\] \(n\) – целое, при делении на \(6\) оно может давать остатки: \(0;1;2;3;4;5\). Тогда выражение \(3n-2\) при делении на \(6\) будет давать остатки \(4;1;4;1;4;1\) соответственно. Следовательно, выражение \(\frac{3n-2}6\) ни при каких целых \(n\) не будет целым, следовательно, решений в этом случае нет.
Ответ:
\(\dfrac{7\pi}3+4\pi p, p\in\mathbb{Z}\)