Математика
Русский язык

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Нахождение длины окружности и площади круга

\(\blacktriangleright\) Длина окружности равна \(\large{C=2\pi R}\), а в градусной мере составляет \(360^\circ\).

 

\(\blacktriangleright\) Длина дуги окружности равна \(\large{C_{\alpha}=\dfrac{2\pi R}{360}\cdot \alpha}\), где \(\alpha\) – угол в градусах, задающий данную дугу (центральный угол, опирающийся на дугу).

 

\(\blacktriangleright\) Площадь круга равна \(\large{S=\pi R^2}\).

 

\(\blacktriangleright\) Площадь сектора круга равна \(\large{S_{\alpha}=\dfrac{\pi R^2}{360}\cdot \alpha}\), где \(\alpha\) – угол в градусах, задающий данный сектор.


Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью \(2,8\). Найдите площадь закрашенного сектора.

Добавить задание в избранное

Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей, равных \(\frac14\) и \(\frac12\) от \(\frac14\) круга:


 

Таким образом, ее площадь равна \[\dfrac14S+\dfrac12\cdot \left(\dfrac14S\right)=\dfrac38S=\dfrac38\cdot 2,8=1,05.\]

Ответ: 1,05

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Длина окружности с центром в точке \(O\) равна 12. \(\angle AOB = 120^{\circ}\), точки \(A\) и \(B\) лежат на окружности и разбивают её на две дуги. Во сколько раз длина большей из получившихся дуг превосходит длину меньшей?



Добавить задание в избранное

Длины дуг относятся так же, как их градусные меры. Так как \(O\) – центр окружности, то \(\angle AOB\) – центральный.

Градусная мера дуги, меньшей, чем полуокружность, есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Тогда градусная мера меньшей из дуг равна \(120^{\circ}\), а большей из дуг \(240^{\circ}\).

Градусная мера большей дуги в \(240 : 120 = 2\) раза больше, чем градусная мера меньшей дуги.

Ответ: 2

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ


 

Найдите \(\angle AOB\).

Добавить задание в избранное

Длина всей окружности складывается из длин составляющих ее дуг \(С = 1 + 2 + 5 + 10 = 18\). Тогда \(\frac{C_{\angle AOB}}{C} = \frac{\angle AOB}{360^\circ}\) \(\Rightarrow\) \(\frac{5}{18} = \frac{\angle AOB}{360^\circ}\) \(\Rightarrow\) \(\angle AOB = 100^\circ\).

Ответ: 100

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Длина окружности с центром в точке \(O\) равна 18 см. Площадь сектора \(AOB\) равна \(\dfrac{18}{\pi}\)см\(^2\). Найдите длину дуги \(AB\) этого сектора. Ответ дайте в сантиметрах.



Добавить задание в избранное

Длина окружности равна \(2\pi R\), где \(R\) – радиус этой окружности. Для данной окружности \(2\pi R = 18\) см, тогда \(R = \dfrac{9}{\pi}\) см.

Площадь сектора, градусная мера дуги которого есть \(\alpha\) равна \(\pi R^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360}\).   Длина дуги с градусной мерой \(\alpha\) равна \(2\pi R\cdot \dfrac{\alpha}{360}\).   Из этих формул видно, что длина дуги с градусной мерой \(\alpha\) получится из площади сектора, градусная мера дуги которого есть \(\alpha\), при помощи умножения этой площади на \(\dfrac{2}{R}\).

Длина дуги \(AB\) данного сектора равна \(\dfrac{18}{\pi} \cdot \dfrac{2\pi}{9} = 4\) см.

Ответ: 4

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Внутри большой окружности расположена маленькая, радиус которой в 2,5 раза меньше, чем радиус большой окружности. Найдите отношение площади зеленой области \(U\) к площади круга, ограниченного большой окружностью.



Добавить задание в избранное

Обозначим радиус меньшей из окружностей за \(r\), тогда радиус большей окружности \(2,5\cdot r\).
Площадь круга, ограниченного окружностью радиуса \(R\), равна \(\pi R^2\).
Площадь меньшего круга равна \(\pi r^2\), а площадь большего равна \(\pi \cdot (2,5r)^2 = 6,25\pi r^2\).
Площадь области \(U\) равна разности площадей большего и меньшего кругов и равна \(6,25\pi r^2 - \pi r^2 = 5,25\pi r^2\).
Искомое отношение площадей есть \(\dfrac{5,25\pi r^2}{6,25\pi r^2} = 0,84\).

Ответ: 0,84

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ


 

Две окружности касаются внутренним образом так, что один из радиусов большей окружности совпадает с диаметром меньшей окружности (смотри рисунок). Найдите радиус большей окружности, если площадь зеленой области равна \(48\pi\).

Добавить задание в избранное

Обозначим за \(R\) – радиус большей окружности и одновременно диаметр меньшей. Тогда площадь зеленой области \(S\) можно выразить через площади кругов следующим образом: \(S = \pi R^2 - \frac{\pi R^2}{4} = \frac{3}{4}\pi R^2\). Т.к. \(S = 48\pi\) \(\Rightarrow\) \(\frac{3}{4}\pi R^2 = 48\pi\) \(\Rightarrow\) \(R^2 = 64\) \(\Rightarrow\) \(R = 8\).

Ответ: 8

Задание 7
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ


 

На рисунке изображены две окружности с общим центром \(O\), где радиусы \(OB = 3\) и \(OA = 1\), а угол \(\angle BOD = 90^\circ\). Найдите площадь фигуры \(ABCDEFA\) деленную на \(\pi\).

Добавить задание в избранное

Площадь сектора с углом \(90^\circ\) в большой окружности равна \(S_{big} = \frac{\pi\cdot3^2}{360^\circ}\cdot90^\circ = \frac{9\pi}{4}\), а в маленькой \(S_{small} = \frac{\pi\cdot1^2}{360^\circ}\cdot90^\circ = \frac{\pi}{4}\). Тогда \(\frac{S_{ABCDEFA}}{\pi} = \frac{S_{big} - S_{small}}{\pi} = 2\).

Ответ: 2

Задачи на нахождение площади круга — обязательная часть ЕГЭ по математике. Как правило, этой теме отводится сразу несколько заданий в аттестационном испытании. Понимать алгоритм нахождения длины окружности и площади круга должны все старшеклассники, независимо от уровня их подготовки.

Если подобные планиметрические задачи вызывают у вас затруднения, рекомендуем обратиться к образовательному порталу «Школково». С нами вы сможете восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе сайта представлена большая подборка задач на нахождение длины окружности и площади круга, подобных тем, которые включены в ЕГЭ. Научившись их правильно выполнять, выпускник сможет успешно справиться с экзаменом.

Основные моменты

Задачи, в которых требуется применить формулы площади, могут быть прямыми и обратными. В первом случае известны параметры элементов фигуры. При этом искомой величиной является площадь. Во втором случае, наоборот, площадь известна, а найти необходимо какой-либо элемент фигуры. Алгоритм вычисления правильного ответа в подобных заданиях различается только порядком применения базовых формул. Именно поэтому, приступая к решению таких задач, необходимо повторить теоретический материал.

На образовательном портале «Школково» представлена вся базовая информация по теме «Нахождение длины окружности или дуги и площади круга», а также по другим темам, например, «Центральный угол окружности». Ее наши специалисты подготовили и изложили в максимально доступной форме.

Вспомнив основные формулы, учащиеся могут приступить к выполнению задач на нахождение площади круга, подобных тем, которые включены в ЕГЭ, в режиме онлайн. Для каждого упражнения на сайте представлено подробное решение и дан правильный ответ. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и обсудить с преподавателем.