Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Кликните, чтобы открыть меню

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи прикладного характера из ЕГЭ прошлых лет

Задание 1 #6326
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— на 15-ое число каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен должен быть на 20 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 31-го месяца долг должен быть погашен полностью.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 30-ого месяца, если банку всего было выплачено 1348 тыс. рублей?

 

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Добавить задание в избранное

Пусть в банке взято \(A\) тыс. рублей. Заметим, что фраза “на 15 число каждого с 1 по 30 месяц долг должен уменьшаться на 20 тыс. руб.” означает, что с 1 по 30 месяц долг выплачивался дифференцированными платежами, то есть сначала гасились начисленные проценты, а затем вносилась одна и та же сумма, равная 20 тыс. рублей, вследствие чего после платежей с 1 по 30 месяц долг менялся так:
\(A-20 \ \rightarrow\ A-2\cdot 20 \ \rightarrow \ A-3\cdot 20 \ \rightarrow \dots \ \rightarrow \ A-30\cdot 20\).
Так как в 31 месяце долг должен быть погашен полностью, то это значит, что платеж в 31 месяце будет равен оставшемуся долгу (после начисления процентов).

 

Составим таблицу, в которой все будет выглядеть более наглядно: \[\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до }\% & \text{Долг после }\% &\text{Выплата} & \text{Долг после}\\ &&&&\text{выплаты}\\ \hline 1 & A&A+0,01 A &0,01A+20 &A-20\\ \hline 2 & A-20& (A-20)+0,01(A-20)&0,01(A-20)+20 &A-40\\ \hline 3 & A-40& (A-40)+0,01(A-40)&0,01(A-40)+20 &A-60\\ \hline \dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \hline 30 & A-580& (A-580)+0,01(A-580)&0,01(A-580)+20 &A-600\\ \hline 31 & A-600& 1,01(A-600)&1,01(A-600) &0\\ \hline \end{array}\]

Исходя из условия задачи, нужно найти \(A-600\). Для этого нужно найти \(A\). Так как всего было выплачено банку 1348 тыс. рублей, то сумма всех выплат равна 1348 тыс. рублей:

\((0,01A+20)+ (0,01(A-20)+20 )+(0,01(A-40)+20 )+\dots +(0,01(A-580)+20) +(1,01(A-600) )=1348\)

Так как первые 30 платежей дифференцированные, то они образуют арифметическую прогрессию (заметьте, их разность равна \(-0,01\cdot 20\)). Таким образом, первые 30 слагаемых можно просуммировать, воспользовавшись формулой \(S_{30}=\dfrac{a_1+a_{30}}2\cdot 30\): \[\begin{aligned} &\dfrac{0,01A+20+0,01(A-580)+20}2\cdot 30+1,01(A-600)=1348\\[2ex] &(0,01A+20-0,01\cdot 290)\cdot 30+1,01A-606=1348\\[2ex] &0,3A+600-87+1,01A-606=1348\\[2ex] &A=\dfrac{1441}{1,31}=1100 \end{aligned}\]

Таким образом, ответ: \(A-600=500\).

Ответ: 500

Задание 2 #6327
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15-ого апреля планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на \((n+1)\) месяц. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– 15-го числа каждого с 1-го по \(n\)-ый месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
– 15-го числа \(n\)-го месяца долг составлял 300 тысяч рублей;
– к 15-му числу \((n+1)\)-го месяца долг должен быть погашен полностью.
Найдите \(n\), если банку всего было выплачено 755 тысяч рублей.

 

(ЕГЭ 2018, основная волна)

Добавить задание в избранное

Фраза “15-го числа каждого с 1-го по \(n\)-ый месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца” означает, что долг каждый месяц после выплаты уменьшался на одну и ту же сумму (неизвестную, поэтому обозначим ее за \(x\) тыс. руб.), следовательно, сначала долг составлял 700 тыс. руб., затем после первой выплаты он составил \(700-x\) тыс. руб., после второй – \(700-2x\) тыс. руб. и т.д. Таким образом, после \(n\)-ой выплаты долг должен быть равен \(700-nx\) тыс. рублей.
Заметим, что долг после первой выплаты равен долгу в начале второго месяца, следовательно, долг после \(n\)-ой выплаты равен долгу на начало \((n+1)\)-го месяца. Следовательно, из условия задачи находим, что \(700-nx=300\).
За \((n+1)\)-ый месяц долг должен быть выплачен полностью.

 

Составим наглядную таблицу. Чтобы удобнее было записывать выплаты с 1 по \(n\)-ый месяцы, долг после начисления процентов будем записывать в виде “долг + начисленные проценты”: \[\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline \text{Месяц} &\text{Долг до }\% &\text{Долг после }\% &\text{Выплата}\\ \hline 1 & 700 & 700 + 0,01\cdot 700 &0,01\cdot 700+x\\ \hline 2 & 700-x & 700-x +0,01(700-x) & 0,01(700-x)+x\\ \hline 3 & 700-2x & 700-2x+0,01(700-2x) & 0,01(700-2x)+x\\ \hline \dots &\dots &\dots &\dots \\ \hline n & 700-(n-1)x &700-(n-1)x +0,01(700-(n-1)x) & 0,01(700-(n-1)x)+x\\ \hline n+1 & 700-nx=300 & 1,01 (700-nx)=303 & 1,01 (700-nx)=303 \\ \hline \end{array}\]

Чтобы найти сумму, которая была в итоге выплачена банку, нужно сложить все платежи. Следовательно,
\(\left(0,01\cdot 700+x\right) + \left(0,01(700-x)+x\right) + \left(0,01(700-2x)+x\right) + \dots +\left(0,01(700-(n-1)x)+x\right)+303=755\)
Первые \(n\) слагаемых образуют арифметическую прогрессию (с разностью \(0,01x\)). Следовательно, их сумму можно вычислить по формуле \(S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n\): \[\dfrac{0,01\cdot 700+x+0,01(700-(n-1)x)+x}2\cdot n=452\] Преобразуем левую часть полученного равенства (из равенства \(700-nx=300\) найдем \(nx=400\)): \[\begin{aligned} &\dfrac{0,01\cdot 700+x+0,01(700-(n-1)x)+x}2\cdot n=\\[2ex] &=(0,01\cdot 700+x-0,005(n-1)x)n=\\[2ex] &=(7+x-0,005nx+0,005x)n=\text{ (так как }nx=400)\\[2ex] &=(7+x-2+0,005x)n=5n+xn+0,005xn=5n+400+2=5n+402 \end{aligned}\] Таким образом, мы получаем уравнение \[5n+402=452\quad\Rightarrow\quad n=10\]

Ответ: 10

Задание 3 #6328
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В регионе А среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял \(43\,740\) рублей и ежегодно увеличивался на \(25\%\). В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял \(60\,000\) рублей. В течение трех лет суммарный доход жителей региона Б увеличивался на \(17\%\) ежегодно, а население увеличивалось на \(m\%\) ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в обоих регионах А и Б стал одинаковым. Найдите \(m\).

 

(ЕГЭ 2018, досрочная волна, резервный день)

Добавить задание в избранное

Составим таблицу для региона А: \[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Среднемесячный доход на душу населения} \\ \hline 2014 & 43\,740\\ \hline 2015 & 1,25\cdot 43\,740\\ \hline 2016 & 1,25(1,25\cdot 43\,740)=1,25^2\cdot 43\,740\\ \hline 2017 & 1,25^3\cdot 43\,740\\ \hline \end{array}\] Составим таблицу для региона Б. Пусть \(x\) – население региона Б в 2014 году: \[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Население} & \text{Суммарный доход жителей}\\ \hline 2014 & x & 60\,000\cdot x\\ \hline 2015 & (1+0,01m)x & 1,17\cdot 60\,000\cdot x\\ \hline 2016 & (1+0,01m)^2x & 1,17^2\cdot 60\,000\cdot x\\ \hline 2017 & (1+0,01m)^3x & 1,17^3\cdot 60\,000\cdot x\\ \hline \end{array}\] Заметим, что если умножить среднемесячный доход на количество жителей, то получим суммарный доход жителей. Следовательно, суммарный доход жителей делить на число жителей — это среднемесячный доход на душу населения. Значит, в 2017 году в регионе Б среднемесячный доход на душу населения составлял \[\dfrac{1,17^3\cdot 60\,000\cdot x}{(1+0,01m)^3\cdot x}= \dfrac{1,17^3\cdot 60\,000}{(1+0,01m)^3}\] По условию задачи этот доход равен среднемесячному доходу в 2017 году в регионе А: \[\dfrac{1,17^3\cdot 60\,000}{(1+0,01m)^3}=1,25^3\cdot 43\,740 \quad\Leftrightarrow\quad \left(\dfrac{1,17}{(1+0,01m)\cdot 1,25}\right)^3=\dfrac{43\,740}{60\,000}\]
Так как \(\dfrac{43\,740}{60\,000}=\dfrac{729}{1000}=\left(\dfrac9{10}\right)^3\), то \( \dfrac{1,17}{(1+0,01m)\cdot 1,25}=\dfrac9{10} \quad\Leftrightarrow\quad m=4\)

Ответ: 4

Задание 4 #4031
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит на сумму \(1\,342\,000\) рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

Добавить задание в избранное

Из условия задачи следует, что в обоих случаях кредит будет гаситься аннуитетными платежами. Составим таблицу для каждого случая, делая все вычисления в тысячах рублей.
Случай, когда кредит взят на 4 года (пусть \(x\) – ежегодный платеж):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Долг после платежа} \\ \hline 1 & 1342& 1,2\cdot 1342&1,2\cdot 1342-x\\ \hline 2 & 1,2\cdot 1342-x& 1,2(1,2\cdot 1342-x)&1,2(1,2\cdot 1342-x)-x\\ \hline 3 & 1,2(1,2\cdot 1342-x)-x& 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)& 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)\\ && &-x\\ \hline 4 & 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)& 1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)& 1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)\\ &-x)-x& -x)-x)&-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\)   Так как в конце 4-ого года долг банку равен нулю, то получаем уравнение: \[1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)-x)-x=0,\] которое, как известно для аннуитетных платежей, переписывается в удобном виде: \[1,2^4\cdot 1342-x(1,2^3+1,2^2+1,2+1)=0\] Случай, когда кредит взят на 2 года (пусть \(y\) – ежегодный платеж):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Долг после платежа} \\ \hline 1 & 1342& 1,2\cdot 1342&1,2\cdot 1342-y\\ \hline 2 & 1,2\cdot 1342-y& 1,2(1,2\cdot 1342-y)&1,2(1,2\cdot 1342-y)-y\\ \hline \end{array}\)   Аналогично получаем уравнение \[1,2(1,2\cdot 1342-y)-y=0\quad\Leftrightarrow\quad 1,2^2\cdot 1342-y(1,2+1)=0\] В первом случае клиент отдаст банку \(4x\) тыс. рублей, во втором случае – \(2y\) тыс. рублей. Нам нужно найти \(4x-2y\). Выразим из каждого уравнения \(x\) и \(y\), тогда: \[\begin{aligned} &4x-2y=4\cdot \dfrac{1,2^4\cdot 1342}{1,2^3+1,2^2+1,2+1}-2\cdot \dfrac{1,2^2\cdot 1342}{1,2+1}=\\[2ex] &=2\cdot 1,2^2\cdot 1342\cdot \left(\dfrac{2\cdot 1,2^2}{(1,2+1)(1,2^2+1)}-\dfrac1{2,2}\right)=\\[2ex] &=2\cdot 1,2^2\cdot 1342\cdot \dfrac{2,88-2,44}{2,2\cdot 2,44}=\\[2ex] &=\dfrac{2\cdot 12\cdot 12\cdot 1342\cdot 44}{22\cdot 244\cdot 10}=\\[2ex] &=316,8 \end{aligned}\] Мы получили ответ в тыс. рублей, следовательно, ответ: \(316\,800\) рублей.

Ответ: 316800

Задание 5 #4012
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит на сумму \(69\,510\) рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) – сумма кредита в рублях. Пусть \(x\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на три года, \(y\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на два года. Так как по условию платежи аннуитетные, то, если кредит взят на три года, то в конце третьего года долг будет равен \[1,1\cdot (1,1\cdot (1,1\cdot A-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad 1,1^3\cdot A-x(1,1^2+1,1+1)=0\] Если кредит взят на два года, то в конце второго года долг будет равен \[1,1(1,1\cdot A-y)-y=0\quad\Leftrightarrow\quad 1,1^2\cdot A-y(1,1+1)=0\] Если вы не понимаете, почему так, можете ознакомиться с теорией по ссылке https://shkolkovo.net/theory/44   В первом случае клиент выплатит банку за все года \(3x\) рублей, во втором – \(2y\) рублей. Следовательно, нужно найти \(3x-2y\). Найдем:   \(3x-2y=\dfrac{3\cdot 1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}-\dfrac{2\cdot 1,1^2\cdot A} {1,1+1}=\)   \(=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{3\cdot 1,1^2+3\cdot 1,1-2\cdot 1,1^2-2\cdot 1,1-2}{2,1\cdot 3,31}=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{0,31}{2,1\cdot 3,31}=\)   \(=\dfrac{11\cdot 11\cdot 6951\cdot 31}{21\cdot 331}=11\cdot 11\cdot 31=3\,751\).

Ответ: 3751

Задание 6 #3277
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

 

— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

 

Найдите наименьшую возможную ставку \(r\), если известно, что последний платеж будет не менее 0,92 млн. рублей.

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

Фраза “на начало июля каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.
Составим таблицу (ведя вычисления в млн. рублей), обозначив величину \(\dfrac{r}{100}=0,01r=t\): \[\begin{array}{|l|c|c|l|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & 8 & 8+t\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot 8\\ \hline 2 & \frac9{10}\cdot 8 & \frac9{10}\cdot 8+t\cdot \frac9{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8 + t\cdot \frac9{10}\cdot 8\\ \hline ... & ... & ... & ...\\ \hline 10 & \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\\ \hline \end{array}\] Таким образом, последний платеж равен \(\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\). Следовательно, из условия получаем: \[\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\geqslant 0,92 \quad\Leftrightarrow\quad t\geqslant \dfrac3{20} \quad\Rightarrow\quad r\geqslant \dfrac{15}{100}\] Значит, наименьшая процентная ставка равна \(15\%\).

Ответ: 15

Задание 7 #3251
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На двух заводах производят одинаковый товар. Если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет \(500\) рублей, а на втором – \(200\) рублей. Найдите наименьшую сумму, которую нужно потратить на зарплаты рабочим в неделю, чтобы оба завода произвели \(70\) единиц товара.

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) товаров. Тогда \(70=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(200\) рублей (на первом и втором заводах соответственно), то сумма, которую нужно потратить в неделю на зарплату рабочим, равна \[A=100(5t^2+2p^2)\] Выразим \(t=70-p\) и подставим: \[A=A(p)=100\cdot 7(p^2-100\cdot p+3500)\] Рассмотрим функцию \(F(p)=p^2-100\cdot p+3500\). Для того, чтобы найти наименьшее значение \(A(p)\), нужно найти наименьшее значение \(F(p)\), если \(p\) – целое неотрицательное число (потому что это количество товаров), причем не превышающее \(70\) (так как иначе \(t\) будет отрицательным, что невозможно, так как это тоже количество товаров).
Заметим, что функция \(F(p)\) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \(p_0=\dfrac{100}{2}=50.\)

Следовательно, \(p_0\) и есть точка минимума (причем \(p_0\in [0;70]\) – подходит), следовательно, при \(p=50\) значение функции \(F(p)\) будет наименьшим.
Тогда \(t=70-p=70-50=20\) – также целое неотрицательное число (так как количество товаров), то есть противоречий с условием задачи нет. Таким образом, \[A_{min}=700\cdot F(50)=700\,000.\]

Ответ: 700000