15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \(1\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— на 15-ое число каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен должен быть на 20 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 31-го месяца долг должен быть погашен полностью.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 30-ого месяца, если банку всего было выплачено 1348 тыс. рублей?
(ЕГЭ 2018, основная волна)
Пусть в банке взято \(A\) тыс. рублей. Заметим, что фраза “на 15 число каждого с 1 по 30 месяц долг должен уменьшаться на 20 тыс. руб.” означает, что с 1 по 30 месяц долг выплачивался дифференцированными платежами, то есть сначала гасились начисленные проценты, а затем вносилась одна и та же сумма, равная 20 тыс. рублей, вследствие чего после платежей с 1 по 30 месяц долг менялся так:
\(A-20 \ \rightarrow\ A-2\cdot 20 \ \rightarrow \ A-3\cdot 20
\
\rightarrow \dots \ \rightarrow \ A-30\cdot 20\).
Так как в 31 месяце долг должен быть погашен полностью, то это значит, что платеж в 31 месяце будет равен оставшемуся долгу (после начисления процентов).
Составим таблицу, в которой все будет выглядеть более наглядно: \[\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до }\% & \text{Долг после }\% &\text{Выплата} & \text{Долг после}\\ &&&&\text{выплаты}\\ \hline 1 & A&A+0,01 A &0,01A+20 &A-20\\ \hline 2 & A-20& (A-20)+0,01(A-20)&0,01(A-20)+20 &A-40\\ \hline 3 & A-40& (A-40)+0,01(A-40)&0,01(A-40)+20 &A-60\\ \hline \dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\ \hline 30 & A-580& (A-580)+0,01(A-580)&0,01(A-580)+20 &A-600\\ \hline 31 & A-600& 1,01(A-600)&1,01(A-600) &0\\ \hline \end{array}\]
Исходя из условия задачи, нужно найти \(A-600\). Для этого нужно найти \(A\). Так как всего было выплачено банку 1348 тыс. рублей, то сумма всех выплат равна 1348 тыс. рублей:
\((0,01A+20)+ (0,01(A-20)+20 )+(0,01(A-40)+20 )+\dots
+(0,01(A-580)+20) +(1,01(A-600) )=1348\)
Так как первые 30 платежей дифференцированные, то они образуют арифметическую прогрессию (заметьте, их разность равна \(-0,01\cdot 20\)). Таким образом, первые 30 слагаемых можно просуммировать, воспользовавшись формулой \(S_{30}=\dfrac{a_1+a_{30}}2\cdot 30\): \[\begin{aligned}
&\dfrac{0,01A+20+0,01(A-580)+20}2\cdot 30+1,01(A-600)=1348\\[2ex]
&(0,01A+20-0,01\cdot 290)\cdot 30+1,01A-606=1348\\[2ex]
&0,3A+600-87+1,01A-606=1348\\[2ex]
&A=\dfrac{1441}{1,31}=1100 \end{aligned}\]
Таким образом, ответ: \(A-600=500\).
Ответ: 500