Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Математика ЕГЭ База

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи прикладного характера из ЕГЭ прошлых лет

Задание 1 #4031
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит на сумму \(1\,342\,000\) рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018)

Добавить задание в избранное

Из условия задачи следует, что в обоих случаях кредит будет гаситься аннуитетными платежами. Составим таблицу для каждого случая, делая все вычисления в тысячах рублей.
Случай, когда кредит взят на 4 года (пусть \(x\) – ежегодный платеж):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Долг после платежа} \\ \hline 1 & 1342& 1,2\cdot 1342&1,2\cdot 1342-x\\ \hline 2 & 1,2\cdot 1342-x& 1,2(1,2\cdot 1342-x)&1,2(1,2\cdot 1342-x)-x\\ \hline 3 & 1,2(1,2\cdot 1342-x)-x& 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)& 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)\\ && &-x\\ \hline 4 & 1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)& 1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)& 1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)\\ &-x)-x& -x)-x)&-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\)   Так как в конце 4-ого года долг банку равен нулю, то получаем уравнение: \[1,2(1,2(1,2(1,2\cdot 1342-x)-x)-x)-x=0,\] которое, как известно для аннуитетных платежей, переписывается в удобном виде: \[1,2^4\cdot 1342-x(1,2^3+1,2^2+1,2+1)=0\] Случай, когда кредит взят на 2 года (пусть \(y\) – ежегодный платеж):
\(\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Долг после платежа} \\ \hline 1 & 1342& 1,2\cdot 1342&1,2\cdot 1342-y\\ \hline 2 & 1,2\cdot 1342-y& 1,2(1,2\cdot 1342-y)&1,2(1,2\cdot 1342-y)-y\\ \hline \end{array}\)   Аналогично получаем уравнение \[1,2(1,2\cdot 1342-y)-y=0\quad\Leftrightarrow\quad 1,2^2\cdot 1342-y(1,2+1)=0\] В первом случае клиент отдаст банку \(4x\) тыс. рублей, во втором случае – \(2y\) тыс. рублей. Нам нужно найти \(4x-2y\). Выразим из каждого уравнения \(x\) и \(y\), тогда: \[\begin{aligned} &4x-2y=4\cdot \dfrac{1,2^4\cdot 1342}{1,2^3+1,2^2+1,2+1}-2\cdot \dfrac{1,2^2\cdot 1342}{1,2+1}=\\[2ex] &=2\cdot 1,2^2\cdot 1342\cdot \left(\dfrac{2\cdot 1,2^2}{(1,2+1)(1,2^2+1)}-\dfrac1{2,2}\right)=\\[2ex] &=2\cdot 1,2^2\cdot 1342\cdot \dfrac{2,88-2,44}{2,2\cdot 2,44}=\\[2ex] &=\dfrac{2\cdot 12\cdot 12\cdot 1342\cdot 44}{22\cdot 244\cdot 10}=\\[2ex] &=316,8 \end{aligned}\] Мы получили ответ в тыс. рублей, следовательно, ответ: \(316\,800\) рублей.

Ответ: 316800

Задание 2 #4012
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит на сумму \(69\,510\) рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

 

(ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) – сумма кредита в рублях. Пусть \(x\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на три года, \(y\) – платеж в рублях в случае, если кредит взят на два года. Так как по условию платежи аннуитетные, то, если кредит взят на три года, то в конце третьего года долг будет равен \[1,1\cdot (1,1\cdot (1,1\cdot A-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad 1,1^3\cdot A-x(1,1^2+1,1+1)=0\] Если кредит взят на два года, то в конце второго года долг будет равен \[1,1(1,1\cdot A-y)-y=0\quad\Leftrightarrow\quad 1,1^2\cdot A-y(1,1+1)=0\] Если вы не понимаете, почему так, можете ознакомиться с теорией по ссылке https://shkolkovo.net/theory/44   В первом случае клиент выплатит банку за все года \(3x\) рублей, во втором – \(2y\) рублей. Следовательно, нужно найти \(3x-2y\). Найдем:   \(3x-2y=\dfrac{3\cdot 1,1^3\cdot A}{1,1^2+1,1+1}-\dfrac{2\cdot 1,1^2\cdot A} {1,1+1}=\)   \(=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{3\cdot 1,1^2+3\cdot 1,1-2\cdot 1,1^2-2\cdot 1,1-2}{2,1\cdot 3,31}=1,1^2\cdot A\cdot \dfrac{0,31}{2,1\cdot 3,31}=\)   \(=\dfrac{11\cdot 11\cdot 6951\cdot 31}{21\cdot 331}=11\cdot 11\cdot 31=3\,751\).

Ответ: 3751

Задание 3 #3277
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

 

— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

 

Найдите наименьшую возможную ставку \(r\), если известно, что последний платеж будет не менее 0,92 млн. рублей.

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

Фраза “на начало июля каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.
Составим таблицу (ведя вычисления в млн. рублей), обозначив величину \(\dfrac{r}{100}=0,01r=t\): \[\begin{array}{|l|c|c|l|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & 8 & 8+t\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot 8\\ \hline 2 & \frac9{10}\cdot 8 & \frac9{10}\cdot 8+t\cdot \frac9{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8 + t\cdot \frac9{10}\cdot 8\\ \hline ... & ... & ... & ...\\ \hline 10 & \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\\ \hline \end{array}\] Таким образом, последний платеж равен \(\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\). Следовательно, из условия получаем: \[\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\geqslant 0,92 \quad\Leftrightarrow\quad t\geqslant \dfrac3{20} \quad\Rightarrow\quad r\geqslant \dfrac{15}{100}\] Значит, наименьшая процентная ставка равна \(15\%\).

Ответ: 15

Задание 4 #3251
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На двух заводах производят одинаковый товар. Если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет \(500\) рублей, а на втором – \(200\) рублей. Найдите наименьшую сумму, которую нужно потратить на зарплаты рабочим в неделю, чтобы оба завода произвели \(70\) единиц товара.

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) товаров. Тогда \(70=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(200\) рублей (на первом и втором заводах соответственно), то сумма, которую нужно потратить в неделю на зарплату рабочим, равна \[A=100(5t^2+2p^2)\] Выразим \(t=70-p\) и подставим: \[A=A(p)=100\cdot 7(p^2-100\cdot p+3500)\] Рассмотрим функцию \(F(p)=p^2-100\cdot p+3500\). Для того, чтобы найти наименьшее значение \(A(p)\), нужно найти наименьшее значение \(F(p)\), если \(p\) – целое неотрицательное число (потому что это количество товаров), причем не превышающее \(70\) (так как иначе \(t\) будет отрицательным, что невозможно, так как это тоже количество товаров).
Заметим, что функция \(F(p)\) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \(p_0=\dfrac{100}{2}=50.\)

Следовательно, \(p_0\) и есть точка минимума (причем \(p_0\in [0;70]\) – подходит), следовательно, при \(p=50\) значение функции \(F(p)\) будет наименьшим.
Тогда \(t=70-p=70-50=20\) – также целое неотрицательное число (так как количество товаров), то есть противоречий с условием задачи нет. Таким образом, \[A_{min}=700\cdot F(50)=700\,000.\]

Ответ: 700000

Задание 5 #3237
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в день, то завод выпускает \(t\) единиц продукции. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет \(500\) рублей в час, на втором заводе – \(300\) рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в месяц оба завода, если на зарплату в месяц рабочим выделяется \(1\,200\,000\) рублей.

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины \(T=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(300\) рублей на первом и втором заводах соответственно, то \(1\,200\,000=100(5t^2+3p^2)\).
Выразим \(t=T-p\) и подставим в уравнение: \[1\,200\,000=100(5(T-p)^2+3p^2) \quad\Leftrightarrow\quad 8p^2-10Tp+5T^2-12000=0\] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: \[D=100T^2-4\cdot 8(5T^2-12000)=4\cdot 8\cdot 12000-60T^2\geqslant 0\] Отсюда получаем, что \(T^2\leqslant 4\cdot 8\cdot 200=8^2\cdot 10^2\), следовательно, \(T\in [0;80]\) (учитывая, что \(T\geqslant 0\), так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное \(T\) – это \(T=80\).
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для \(t\) и \(p\) (так как это количество продукции).
При \(T=80\) дискриминант \(D=0\), следовательно, \[p=\dfrac{10\cdot 80}{2\cdot 8}=50 \quad\Rightarrow \quad t=80-50=30.\] Таким образом, проверка удалась и ответом является \(T=80\).

Ответ: 80

Задание 6 #3216
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите \(r\), если известно, что если ежегодно выплачивать по \(777\,600\) рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по \(1\,317\,600\) рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=\frac{100+r}{100}\), \(x=777\,600\) и \(y=1\,317\,600\) и составим таблицу для обоих случаев (когда кредит выплачивался 4 года и 2 года): \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\ \hline 4 & t(t(tA-x)-x)-x& t(t(t(tA-x)-x)-x) &x\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(t(t(tA-x)-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^4A=x(t^3+t^2+t+1) \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}\quad(*)\] \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & y\\ \hline 2 & tA-y & t(tA-y) &y\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(tA-y)-y=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^2A=y(t+1) \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{y(t+1)}{t^2}\quad(**)\] Приравняем правые части уравнений \((*)\) и \((**)\): \[\dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}=\dfrac{y(t+1)}{t^2} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{x(t^2+1)}{t^2}=y\] Сделаем подстановку и найдем \(t\): \[t^2=\dfrac{x}{y-x}=\dfrac{777\,600}{1\,317\,600-777\,600}= \dfrac{7776}{5400}=1,44\] Тогда \[t=\sqrt{1,44}=1,2 \quad\Rightarrow\quad r=20.\]

Ответ: 20

Задание 7 #3268
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Найдите \(r\), если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(120\%\) больше суммы, взятой в кредит.

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) рублей — сумма, взятая в кредит. Обозначим \(0,01r=y\) и составим таблицу. Из условия следует, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+ y\cdot A & y\cdot A+\frac A{15}\\ \hline 2 & A-\frac A{15} & A-\frac A{15}+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right) & y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\frac A{15}\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline 15 & \frac A{15} & \frac A{15}+y\cdot \frac A{15} & y\cdot \frac A{15}+\frac A{15}\\ \hline \end{array}\] Заметим, что сумма первых слагаемых из последнего столбца и есть переплата по кредиту. Так как общая сумма выплат по кредиту превышает сумму кредита на \(120\%\), то это значит, что переплата составляет \(120\%\) от кредита. Следовательно: \[\begin{aligned} & y\cdot A+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\dots+y\cdot \frac A{15}=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad \\[2ex] \Leftrightarrow\quad &y\cdot A\cdot \left(1+\left(1-\frac1{15}\right)+\dots+\frac1{15}\right)=1,2\end{aligned}\] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где \(a_1=1\), \(a_{15}=\frac1{15}\). Следовательно: \[y\cdot A\cdot \dfrac{1+\frac1{15}}2\cdot 15=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad 8y=1,2\quad\Leftrightarrow\quad y=0,15\] Следовательно, \[r=100y=15 \ (\%)\]

Ответ: 15