Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи прикладного характера из ЕГЭ прошлых лет

Задание 1
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

 

— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

 

Найдите наименьшую возможную ставку \(r\), если известно, что последний платеж будет не менее 0,92 млн. рублей.

 

(ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017)

Добавить задание в избранное

Фраза “на начало июля каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.
Составим таблицу (ведя вычисления в млн. рублей), обозначив величину \(\dfrac{r}{100}=0,01r=t\): \[\begin{array}{|l|c|c|l|} \hline \text{Год} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & 8 & 8+t\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot 8\\ \hline 2 & \frac9{10}\cdot 8 & \frac9{10}\cdot 8+t\cdot \frac9{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8 + t\cdot \frac9{10}\cdot 8\\ \hline ... & ... & ... & ...\\ \hline 10 & \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8 & \frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\\ \hline \end{array}\] Таким образом, последний платеж равен \(\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\). Следовательно, из условия получаем: \[\frac1{10}\cdot 8+t\cdot \frac1{10}\cdot 8\geqslant 0,92 \quad\Leftrightarrow\quad t\geqslant \dfrac3{20} \quad\Rightarrow\quad r\geqslant \dfrac{15}{100}\] Значит, наименьшая процентная ставка равна \(15\%\).

Ответ:

15

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На двух заводах производят одинаковый товар. Если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в неделю, то они производят \(t\) товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет \(500\) рублей, а на втором – \(200\) рублей. Найдите наименьшую сумму, которую нужно потратить на зарплаты рабочим в неделю, чтобы оба завода произвели \(70\) единиц товара.

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) товаров. Тогда \(70=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(200\) рублей (на первом и втором заводах соответственно), то сумма, которую нужно потратить в неделю на зарплату рабочим, равна \[A=100(5t^2+2p^2)\] Выразим \(t=70-p\) и подставим: \[A=A(p)=100\cdot 7(p^2-100\cdot p+3500)\] Рассмотрим функцию \(F(p)=p^2-100\cdot p+3500\). Для того, чтобы найти наименьшее значение \(A(p)\), нужно найти наименьшее значение \(F(p)\), если \(p\) – целое неотрицательное число (потому что это количество товаров), причем не превышающее \(70\) (так как иначе \(t\) будет отрицательным, что невозможно, так как это тоже количество товаров).
Заметим, что функция \(F(p)\) представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \(p_0=\dfrac{100}{2}=50.\)

Следовательно, \(p_0\) и есть точка минимума (причем \(p_0\in [0;70]\) – подходит), следовательно, при \(p=50\) значение функции \(F(p)\) будет наименьшим.
Тогда \(t=70-p=70-50=20\) – также целое неотрицательное число (так как количество товаров), то есть противоречий с условием задачи нет. Таким образом, \[A_{min}=700\cdot F(50)=700\,000.\]

Ответ:

700000

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе рабочие суммарно трудятся \(t^2\) часов в день, то завод выпускает \(t\) единиц продукции. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет \(500\) рублей в час, на втором заводе – \(300\) рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в месяц оба завода, если на зарплату в месяц рабочим выделяется \(1\,200\,000\) рублей.

 

(ЕГЭ 2017, резервный день)

Добавить задание в избранное

Пусть на первом заводе рабочие трудились \(t^2\) часов, тогда завод выпустил \(t\) единиц продукции; пусть на втором трудились \(p^2\) часов, тогда завод выпустил \(p\) продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины \(T=t+p\). Так как заработная плата в час составляет \(500\) и \(300\) рублей на первом и втором заводах соответственно, то \(1\,200\,000=100(5t^2+3p^2)\).
Выразим \(t=T-p\) и подставим в уравнение: \[1\,200\,000=100(5(T-p)^2+3p^2) \quad\Leftrightarrow\quad 8p^2-10Tp+5T^2-12000=0\] Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным: \[D=100T^2-4\cdot 8(5T^2-12000)=4\cdot 8\cdot 12000-60T^2\geqslant 0\] Отсюда получаем, что \(T^2\leqslant 4\cdot 8\cdot 200=8^2\cdot 10^2\), следовательно, \(T\in [0;80]\) (учитывая, что \(T\geqslant 0\), так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное \(T\) – это \(T=80\).
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для \(t\) и \(p\) (так как это количество продукции).
При \(T=80\) дискриминант \(D=0\), следовательно, \[p=\dfrac{10\cdot 80}{2\cdot 8}=50 \quad\Rightarrow \quad t=80-50=30.\] Таким образом, проверка удалась и ответом является \(T=80\).

Ответ:

80

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите \(r\), если известно, что если ежегодно выплачивать по \(777\,600\) рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по \(1\,317\,600\) рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=\frac{100+r}{100}\), \(x=777\,600\) и \(y=1\,317\,600\) и составим таблицу для обоих случаев (когда кредит выплачивался 4 года и 2 года): \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\ \hline 4 & t(t(tA-x)-x)-x& t(t(t(tA-x)-x)-x) &x\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(t(t(tA-x)-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^4A=x(t^3+t^2+t+1) \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}\quad(*)\] \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & y\\ \hline 2 & tA-y & t(tA-y) &y\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(tA-y)-y=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^2A=y(t+1) \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{y(t+1)}{t^2}\quad(**)\] Приравняем правые части уравнений \((*)\) и \((**)\): \[\dfrac{x(t+1)(t^2+1)}{t^4}=\dfrac{y(t+1)}{t^2} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{x(t^2+1)}{t^2}=y\] Сделаем подстановку и найдем \(t\): \[t^2=\dfrac{x}{y-x}=\dfrac{777\,600}{1\,317\,600-777\,600}= \dfrac{7776}{5400}=1,44\] Тогда \[t=\sqrt{1,44}=1,2 \quad\Rightarrow\quad r=20.\]

Ответ:

20

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Найдите \(r\), если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(120\%\) больше суммы, взятой в кредит.

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) рублей — сумма, взятая в кредит. Обозначим \(0,01r=y\) и составим таблицу. Из условия следует, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & A & A+ y\cdot A & y\cdot A+\frac A{15}\\ \hline 2 & A-\frac A{15} & A-\frac A{15}+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right) & y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\frac A{15}\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline 15 & \frac A{15} & \frac A{15}+y\cdot \frac A{15} & y\cdot \frac A{15}+\frac A{15}\\ \hline \end{array}\] Заметим, что сумма первых слагаемых из последнего столбца и есть переплата по кредиту. Так как общая сумма выплат по кредиту превышает сумму кредита на \(120\%\), то это значит, что переплата составляет \(120\%\) от кредита. Следовательно: \[\begin{aligned} & y\cdot A+y\cdot \left(A-\frac A{15}\right)+\dots+y\cdot \frac A{15}=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad \\[2ex] \Leftrightarrow\quad &y\cdot A\cdot \left(1+\left(1-\frac1{15}\right)+\dots+\frac1{15}\right)=1,2\end{aligned}\] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где \(a_1=1\), \(a_{15}=\frac1{15}\). Следовательно: \[y\cdot A\cdot \dfrac{1+\frac1{15}}2\cdot 15=1,2A\quad\Leftrightarrow\quad 8y=1,2\quad\Leftrightarrow\quad y=0,15\] Следовательно, \[r=100y=15 \ (\%)\]

Ответ:

15

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

15 января планируется взять кредит в банке на сумму \(9\) млн. рублей на некоторое целое число месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платеж составит \(3,6\) млн. рублей?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Из условия следует, что система платежей дифференцированная. Исходя из этого составим таблицу следующим образом: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Месяц}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 9 & 9+0,2\cdot 9 & 0,2\cdot 9+\frac9n\\ \hline 2 & 9-\frac9n & 9-\frac9n+0,2\cdot \left(9-\frac9n\right) & 0,2\cdot \left(9-\frac9n\right)+\frac9n\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline n & \frac9n & \frac9n+0,2\cdot \frac9n & 0,2\cdot \frac9n +\frac9n\\ \hline \end{array}\] Тогда общая сумма выплат после погашения равна сумме всех платежей: \[0,2\cdot \left(9+9-\frac9n+\dots+\frac9n\right)+n\cdot \frac9n= 0,2\cdot \left(9+9-\frac9n+\dots+\frac9n\right)+9\] Заметим, что при дифференцированной системе платежей наибольший платеж – это первый платеж. Следовательно, \[0,2\cdot 9+\frac9n=3,6\quad\Rightarrow\quad n=5\] Таким образом, общая сумма выплат равна \[0,2\cdot \left(9+\left(9-\frac95\right)+\left(9-2\cdot \frac95\right)+ \left(9-3\cdot \frac95\right)+\frac95\right)+9=0,2\cdot \left(9\cdot 4-5\cdot \frac95\right)+9=14,4\]

Ответ:

14,4

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на \(156\,060\) рублей?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=1,3\) и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \[t(t(tA-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad t^3A=x(t^2+t+1) \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{At^3}{t^2+t+1}\] По условию \(3x-A=156\,060\), следовательно, \[\dfrac{3At^3}{t^2+t+1}-A=156\,060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2,197A-3,99A=156060\cdot 3,99 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{156060\cdot 3990}{2601}=60\cdot 3990=239\,400\]

Ответ:

239400