Математика
Русский язык

17. Сложные задачи прикладного характера

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Сложные задачи прикладного характера из ЕГЭ прошлых лет (страница 2)

Задание 8
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(7\) млн. рублей на некоторых срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась \(17,5\) млн. рублей?

 

(ЕГЭ 2017, основная волна)

Добавить задание в избранное

Так как выплачивается кредит дифференцированными платежами, то если \(n\) – количество лет, на которое взят кредит в \(7\) млн. рублей, значит, каждый год после платежа долг должен уменьшаться на \(\frac7n\) млн. рублей. Значит, в последний, \(n\)-ый год, долг будет равен \(\frac7n\) млн. рублей. Платеж, как и обычно в дифференцированных платежах, состоит из процентов, набежавших на сумму долга в этот год, плюс \(\frac7n\) млн. рублей.
Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг до начисления }\%&\text{Долг после начисления }\% &\text{Платеж}\\ \hline 1 & 7 & 7+0,2\cdot 7 & 0,2\cdot 7+\frac7n\\ \hline 2 & 7-\frac7n & 7-\frac7n+0,2\left(7-\frac7n\right) & 0,2\left(7-\frac7n\right)+\frac7n\\ \hline ...& ... & ... & ...\\ \hline n & \frac7n & \frac7n+0,2\cdot \frac7n & 0,2\cdot \frac7n+\frac7n\\ \hline \end{array}\] Тогда переплата по кредиту равна сумме первых слагаемых из столбца “Платеж”: \[0,2\cdot 7+0,2\cdot \left(7-\dfrac7n\right)+\dots +0,2\cdot \dfrac7n= 0,2\cdot \left(7+\left(7-\frac7n\right)+\dots+\dfrac7n\right)=\] Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где первый член равен \(7\), разность равна \(-\frac7n\), последний член равен \(\frac7n\), а всего членов \(n\) штук. Следовательно, \[=0,2\cdot \dfrac{7+\frac7n}2\cdot n=0,7(n+1)\] Это мы вычислили переплату по кредиту. С другой стороны, если общая сумма выплат после погашения кредита составила \(17,5\) млн. рублей, а в кредит было взято \(7\) млн. рублей, то переплата равна \(10,5\) млн. рублей. Следовательно, \[0,7(n+1)=10,5\quad\Rightarrow\quad n=14\]

Ответ:

14

Задание 9
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В июне 2020 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере \(A\) млн. рублей, где \(A\) – целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь банк увеличивает сумму долга на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— в июне каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц и год} & \text{июнь 2020}& \text{июнь 2021} & \text{июнь 2022} & \text{июнь 2023} \\ \hline \text{Долг (в млн. рублей)} & A & 0,8A & 0,4A & 0\\ \hline \end{array}\)

 

Найдите наибольшее значение \(A\), при котором каждый платеж будет менее \(5\) млн. рублей.

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв)

Добавить задание в избранное

Составим таблицу: \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{год} & \text{июнь}& \text{январь} & \text{платеж} \\ \hline 2020 & A & A+0,2A & x_1=0,2A+0,2A\\ \hline 2021 & 0,8A & 0,8A+0,2\cdot 0,8A & x_2=0,2\cdot 0,8A+0,4A\\ \hline 2022 & 0,4A & 0,4A+0,2\cdot 0,4A & x_3=0,2\cdot 0,4A+0,4A\\ \hline 2023 & 0 & &\\ \hline \end{array}\] По условию \[\begin{cases} x_1=0,4A<5\\ x_2=0,56A<5\\ x_3=0,48A<5\end{cases}\quad\Rightarrow\quad A<\dfrac5{0,56}=8\frac{52}{56}\] Следовательно, наибольшее целое \(A=8\).

Ответ:

8

Задание 10
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна \(t^2\) тыс. рублей в конце каждого года \(t\) (\(t=1; 2; ...\)). Фонд может продать все акции в конце некоторого года и положить все вырученные с продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящую на счете, в \(r\) раз, где \(r\) – некоторое положительное большее единицы число. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-ого года, то в конце 25-ого года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число \(r\).

 

(ЕГЭ 2017, досрочная волна)

Добавить задание в избранное

Если фонд продаст акции в конце \(t\)-ого год, то на конец 25-ого года они пролежат в банке \(25-t\) лет. Так как каждый год банк увеличивает сумму в \(r\) раз, то за \(25-t\) лет он увеличит ее в \(r^{25-t}\) раз. Следовательно, на конец 25-ого года фонд будет иметь \[f(t)=t^2\cdot r^{25-t} \quad {\small{\text{тыс. рублей.}}}\]

Рассмотрим эту функцию. В ней \(r\) – некоторое конкретное, но неизвестное число, а \(t\) – переменная. Найдем ее производную: \[f'=2t\cdot r^{25-t}+t^2\cdot r^{25-t}\cdot \ln r\cdot (-1)=r^{25-t}\cdot t\cdot (2-t\ln r)\] Таким образом, нулем производной, учитывая, что \(t\geqslant 1\), является \(t=\dfrac2{\ln r}\).
Причем заметим, что эта точка является точкой максимума. Следовательно, до \(t=\frac2{\ln r}\) функция возрастает, а после – убывает.

 

Таким образом, если, продав акции в 21-ый год, фонд получит наибольшую из возможных прибыль, то это значит, что мы имеем такую картинку:


 

(Для примера на картинке точка \(t=21\) находится правее точки максимума, но левее \(t=22\); может быть наоборот: \(21\) будет находиться левее точки максимума, но правее \(20\). Главное, что \(21\) находится между \(20\) и \(22\) и ближе, чем \(20\) или \(22\), к точке максимума!)

 

То есть \(f(21)>f(20)\) и \(f(21)>f(22)\). Из этого условия будет следовать, что \(f(21)>f(t)\) при любом целом \(t\) от 1 до 25. Решим полученную систему: \[\begin{cases} 21^2\cdot r^4>20^2\cdot r^5\\ 21^2\cdot r^4>22^2\cdot r^3 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} r<\dfrac{21^2}{20^2}\\[2ex] r>\dfrac{22^2}{21^2} \end{cases}\] откуда получаем, что \(r\in\left(\dfrac{484}{441};\dfrac{441}{400}\right).\)

Ответ:

\(\left(\dfrac{484}{441};\dfrac{441}{400}\right)\)

 

Задание 11
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Планируется открыть вклад в банке в размере \(10\) млн рублей на \(4\) года. В конце каждого года банк добавляет \(10\%\) к той сумме, которая была на счете в банке на начало года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет счет на целое число \(m\) млн рублей. Найдите наименьшее значение \(m\), при котором банк за \(4\) года начислит на вклад более \(7\) млн рублей.

 

(резервный день, 2016)

Добавить задание в избранное

Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Размер вклада до}&\text{Размер вклада после}\\ &\text{начисления} \ \%&\text{начисления} \ \%\\ \hline 1&10&1,1\cdot 10\\ \hline 2&1,1\cdot 10&1,1^2\cdot 10\\ \hline 3&1,1^2\cdot 10+m&1,1(1,1^2\cdot 10+m)\\ \hline 4&1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m&1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)\\ \hline \end{array}\]

 

Таким образом, в конце \(4\)-ого года размер вклада составит \(1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)\) млн рублей. Фраза “банк за \(4\) года начислит на вклад более \(7\) млн рублей” означает, что на конец \(4\)-ого года чистая прибыль по вкладу составит более \(7\) млн рублей.

Для того, чтобы вычислить чистую прибыль, нужно от всей суммы, которая находится на счете на конец \(4\)-ого года, отнять сумму, которую клиент вложил в банк. Таким образом, чистая прибыль составит:
\(1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)-(10+m+m)\)
Значит, получаем неравенство:
\(1,1(1,1(1,1^2\cdot 10+m)+m)-(10+m+m)>7 \Leftrightarrow 1,1^4\cdot 10+1,1^2m+1,1m-10-2m>7\)

Решив данное неравенство, получим: \(m>\dfrac{2359}{310} \Rightarrow\) наименьшее целое \(m=8\) млн рублей.

Ответ:

\(8\) млн рублей.

Задание 12
Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(15\)-ого января планируется взять кредит в банке на сумму \(1\) млн рублей на \(6\) месяцев. Условия его возврата таковы:
\(\bullet\) \(1\)-ого числа каждого месяца долг возрастает на целое число \(r\) процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
\(\bullet\) со \(2\)-ого по \(14\)-е числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
\(\bullet\) \(15\)-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Дата} & 15.01 & 15.02 & 15.03 & 15.04 & 15.05 & 15.06 & 15.07\\ \hline \text{Долг (в млн руб.)} & 1 & 0,9 & 0,8 & 0,7 & 0,6 & 0,5 & 0\\ \hline \end{array}\]
Найдите наименьшее значение \(r\), при котором общая сумма выплат будет составлять более \(1,3\) млн рублей.

 

(основная волна, 2016)

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, где \(\dfrac{100+r}{100}=t.\)

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг в млн руб.} & \text{Долг в млн руб.} & \text{Долг в млн руб.} & \text{Выплата в млн руб.}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{после выплаты} & \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & & \\ \hline 1&1 &t &0,9 & t-0,9\\ \hline 2&0,9 &0,9t &0,8 & 0,9t-0,8\\ \hline 3&0,8 &0,8t &0,7 & 0,8t-0,7\\ \hline 4&0,7 &0,7t &0,6 & 0,7t-0,6\\ \hline 5&0,6 &0,6t &0,5 & 0,6t-0,5\\ \hline 6&0,5 &0,5t &0 & 0,5t\\ \hline \end{array}\)

Тогда общая сумма выплат составляет:
\(0,1t\cdot (10+9+8+7+6+5)-0,1(9+8+7+6+5)=4,5t-3,5\)
Т.к. общая сумма выплат должна быть более 1,3 млн, то имеем неравенство:
\(4,5t-3,5>1,3 \Leftrightarrow t>\dfrac{16}{15}\)

Таким образом, \(r>\dfrac{100}{15}\)
Т.к. \(r\) – целое, то наименьшее \(r\), удовлетворяющее неравенству — это \(r=7\).

Ответ:

\(7\%\).

Задание 13
Уровень задания: Равен ЕГЭ

В августе \(2016\) года планируется взять кредит в банке в размере \(5,3\) млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый год в январе долг возрастает на \(y \%\) по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
– с февраля по июль необходимо выплатить часть долга одним платежом;
– в августе \(2017, \ 2018\) и \(2019\) годов долг остается равным \(5,3\) млн рублей;
– платежи в \(2020\) и \(2021\) годах равны.
При каком \(y\) долг будет выплачен полностью, причем общая выплата по кредиту должна составить \(8,18\) млн рублей.

 

(досрочная волна, резерв, 2016)

Добавить задание в избранное

Составим таблицу, обозначив за \(x\) млн рублей – годовой платеж в \(2020\) и \(2021\) годах.

\(\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг в августе }&\text{Долг в январе (после начисления процентов)}&\text{Платеж}\\ \hline 1&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &0,01y\cdot 5,3\\ \hline 2&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &0,01y\cdot 5,3\\ \hline 3&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &0,01y\cdot 5,3\\ \hline 4&5,3 &(1+0,01y)\cdot 5,3 &x\\ \hline 5&(1+0,01y)\cdot 5,3-x &(1+0,01y)((1+0,01y)\cdot 5,3-x) &x\\ \hline \end{array}\)

 

Т.к. в итоге кредит должен быть погашен, то \((1+0,01y)((1+0,01y)\cdot 5,3-x)=x\)

 

Общая сумма выплат – это сумма всех платежей: \(3\cdot 0,01y\cdot 5,3+2x=8,18\)

 

Найдем из этого уравнения платеж \(x=\dfrac{8,18-3\cdot 0,01y\cdot 5,3}{2}\). Следовательно:

\((1+0,01y)^2\cdot 5,3-(2+0,01y)\cdot\dfrac{8,18-3\cdot 0,01y\cdot 5,3}{2}=0\)

 

Обозначим за \(t=0,01y\), тогда уравнение сведется к \(1325t^2+2241t-288=0 \Rightarrow t=0,12 \Rightarrow y=12 \%\)

Ответ:

\(12 \%\).

Задание 14
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на \(10\%\) по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на \(1\) млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше \(10\) млн рублей.

 

(досрочная волна, \(2016\))

Добавить задание в избранное

Пусть \(A\) млн рублей – первоначальный вклад. Составим таблицу:

\(\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма в млн на счете до начисления } \% & \text{Сумма в млн на счете после начисления } \% \\ \hline 1 & A & 1,1A\\ \hline 2 & 1,1A & 1,1^2A\\ \hline 3 & 1,1^2A+1 & 1,1(1,1^2A+1)\\ \hline 4 & 1,1(1,1^2A+1)+1 & 1,1(1,1(1,1^2A+1)+1)\\ \hline \end{array}\)

Т.к. в конце четвертого года вклад должен быть больше \(10\) млн рублей, то имеем следующее неравенство:
\[1,1(1,1(1,1^2A+1)+1)>10 \Rightarrow 1,1^4A+1,1^2+1,1>10\]
Преобразовав данное неравенство, получим:

\(A>\dfrac{76900}{14641}\)

Выполнив деление в столбик до целой части, получим, что наименьшее целое \(A\), удовлетворяющее неравенству, \(A=6\).

Ответ:

\(6\) млн.

1 2 3