Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые иррациональные выражения

\(\blacktriangleright\) Модуль числа – это расстояние на вещественной прямой от этого числа до \(0\). Таким образом, модуль любого числа – число неотрицательное.


 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\), т.к. \(\sqrt2>1\);

 

\(\phantom{000}\) 2) \((\sqrt{2-\sqrt2})^2=2-\sqrt2\).

 

\(\blacktriangleright\) Данные формулы – частный случай формул (\(2n\) – четное число): \[\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\] \[(\sqrt[2n]{a})^{2n}=a, a\geqslant 0\]

\(\blacktriangleright\) Под корнем нечетной степени может находиться любое число, следовательно (\(2n+1\) – нечетное число): \[\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=\left(\sqrt[2n+1]{a}\right)^{2n+1}=a\] Пример: \(\sqrt[13]{(-5)^{13}}=\left(\sqrt[13]{-5}\right)^{13}=-5\).

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{(-15)^2}\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt{(-15)^2} = |-15| = 15\).

Ответ: 15

Задание 2
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{(-221122)^2}\).

Добавить задание в избранное

\(\sqrt{(-221122)^2} = |-221122| = 221122\).

Ответ: 221122

Задание 3
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{61^2 - 60^2}\).

Добавить задание в избранное

Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов: \[61^2 - 60^2 = (61 - 60)\cdot (61 + 60) = 1 \cdot 121 = 121 = 11^2.\] В итоге исходное выражение равносильно \(\sqrt{11^2} = 11\).

Ответ: 11

Задание 4
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{(-17)^2 - 15^2}\).

Добавить задание в избранное

\[\sqrt{(-17)^2 - 15^2} = \sqrt{17^2 - 15^2}.\] Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов: \[17^2 - 15^2 = (17 - 15)\cdot (17 + 15) = 2 \cdot 32 = 64 = 8^2.\] В итоге исходное выражение равносильно \(\sqrt{8^2} = 8\).

Ответ: 8

Задание 5
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{(-36)^2 - (-28)^2}\).

Добавить задание в избранное

\[\sqrt[3]{(-36)^2 - (-28)^2} = \sqrt[3]{36^2 - 28^2}.\] Выражение под корнем можно преобразовать по формуле для разности квадратов: \[36^2 - 28^2 = (36 - 28)\cdot (36 + 28) = 8 \cdot 64 = 8\cdot 8^2 = 8^3.\] В итоге исходное выражение равносильно \(\sqrt[3]{8^3} = 8\).

Ответ: 8

Задание 6
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\dfrac{(3 \sqrt{13})^2}{26}\).

Добавить задание в избранное

Квадрат произведения равен произведению квадратов, из чего получаем: \[\dfrac{(3 \sqrt{13})^2}{26} = \dfrac{3^2 (\sqrt{13})^2}{26} = \dfrac{9 \cdot 13}{26} = \dfrac{9}{2} = 4,5.\]

Ответ: 4,5

Задание 7
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{|1 - \sqrt2|}{1 - \sqrt2}\).

Добавить задание в избранное

Так как \(\sqrt2 > 1\), то \(|1 - \sqrt2| = -(1 - \sqrt2)\). Тогда: \[\frac{|1 - \sqrt2|}{1 - \sqrt2} = \frac{-(1 - \sqrt2)}{1 - \sqrt2} = -1.\]

Ответ: -1