Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые иррациональные выражения (страница 5)

\(\blacktriangleright\) Модуль числа – это расстояние на вещественной прямой от этого числа до \(0\). Таким образом, модуль любого числа – число неотрицательное.


 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\), т.к. \(\sqrt2>1\);

 

\(\phantom{000}\) 2) \((\sqrt{2-\sqrt2})^2=2-\sqrt2\).

 

\(\blacktriangleright\) Данные формулы – частный случай формул (\(2n\) – четное число): \[\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\] \[(\sqrt[2n]{a})^{2n}=a, a\geqslant 0\]

\(\blacktriangleright\) Под корнем нечетной степени может находиться любое число, следовательно (\(2n+1\) – нечетное число): \[\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=\left(\sqrt[2n+1]{a}\right)^{2n+1}=a\] Пример: \(\sqrt[13]{(-5)^{13}}=\left(\sqrt[13]{-5}\right)^{13}=-5\).

Задание 29
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{2 + \sqrt5} - \frac{1}{\sqrt7 + 3} + \frac{3}{1 - \sqrt7} - \frac{10}{\sqrt5} + \sqrt5\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \frac{1}{2 + \sqrt5} - \frac{1}{\sqrt7 + 3} + \frac{3}{1 - \sqrt7} - \frac{10}{\sqrt5} + \sqrt5 =\\= \frac{2 - \sqrt5}{(2 + \sqrt5)(2 - \sqrt5)} - \frac{\sqrt7 - 3}{(\sqrt7 + 3)(\sqrt7 - 3)} + \frac{3(1 + \sqrt7)}{(1 - \sqrt7)(1 + \sqrt7)} - \frac{10\sqrt5}{(\sqrt5)^2} + \sqrt5 =\\= \frac{2 - \sqrt5}{2^2 - (\sqrt5)^2} - \frac{\sqrt7 - 3}{(\sqrt7)^2 - 3^2} + \frac{3(1 + \sqrt7)}{1^2 - (\sqrt7)^2} - \frac{10\sqrt5}{5} + \sqrt5 =\\= \frac{2 - \sqrt5}{4 - 5} - \frac{\sqrt7 - 3}{7 - 9} + \frac{3(1 + \sqrt7)}{1 - 7} - 2\sqrt5 + \sqrt5 = \frac{2 - \sqrt5}{-1} - \frac{\sqrt7 - 3}{-2} + \frac{3(1 + \sqrt7)}{-6} - \sqrt5 =\\= -2 + \sqrt5 + \frac{\sqrt7}{2} - \frac{3}{2} - \frac{3}{6} - \frac{3\sqrt7}{6} - \sqrt5 = -2 + \frac{\sqrt7}{2} - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt7}{2} = -4\end{gathered}\]

Ответ: -4

Задание 30
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\sqrt{3-\sqrt5}\cdot (3+\sqrt5)\cdot (\sqrt{10}-\sqrt2)\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави

Добавить задание в избранное

Распишем \(3+\sqrt5 \ \) как \(\sqrt{3+\sqrt5}\cdot \sqrt{3+\sqrt5}\);

 

а \(\sqrt{10}-\sqrt2 \ \) как \(\sqrt2(\sqrt5-1)\)

 

и преобразуем данное выражение:

 

\(\left(\sqrt{3-\sqrt5}\cdot \sqrt{3+\sqrt5}\right)\cdot \left(\sqrt{3+\sqrt5}\cdot \sqrt2\right)\cdot (\sqrt5-1)=\)

 

\(=\sqrt{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}\cdot \sqrt{6+2\sqrt5}\cdot (\sqrt5-1)=\)

 

\(=\sqrt{9-5}\cdot \sqrt{(\sqrt5)^2+2\sqrt5+1}\cdot (\sqrt5-1)=\sqrt4\cdot \sqrt{(\sqrt5+1)^2}\cdot (\sqrt5-1)=\)

 

\(=2\cdot |\sqrt5+1|\cdot (\sqrt5-1)=2(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)=2(5-1)=8\).

Ответ: 8

Задание 31
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[(4+\sqrt{15})(\sqrt{10}-\sqrt6)\cdot \sqrt{4-\sqrt{15}}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави

Добавить задание в избранное

Распишем \(4+\sqrt{15} \ \) как \(\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot \sqrt{4+\sqrt{15}}\);

 

а \(\sqrt{10}-\sqrt6 \ \) как \(\sqrt2(\sqrt5-\sqrt3)\)

 

и преобразуем данное выражение:

 

\((\sqrt5-\sqrt3)\cdot \left(\sqrt2\cdot \sqrt{4+\sqrt{15}}\right)\cdot \left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot \sqrt{4-\sqrt{15}}\right)=\)

 

\(=(\sqrt5-\sqrt3)\cdot \sqrt{8+2\sqrt{15}}\cdot\sqrt{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=\)

 

\(=(\sqrt5-\sqrt3)\cdot \sqrt{8+2\sqrt{15}}\cdot\sqrt1=(\sqrt5-\sqrt3)\cdot \sqrt{(\sqrt3)^2+2\sqrt3\cdot \sqrt5+(\sqrt5)^2}=\)

 

\(=(\sqrt5-\sqrt3)\cdot \sqrt{(\sqrt3+\sqrt5)^2}=(\sqrt5-\sqrt3)\cdot |\sqrt3+\sqrt5|=(\sqrt5-\sqrt3)\cdot (\sqrt3+\sqrt5)=\)

 

\(=(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2=5-3=2\).

Ответ: 2

Задание 32
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\dfrac{25\sqrt[4]2+2\sqrt5}{\sqrt{250}+5\sqrt[4]8}- \sqrt{\dfrac{\sqrt2}5+\dfrac5{\sqrt2}+2}\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави

Добавить задание в избранное

Для решения данной задачи нам понадобится следующее наблюдение (если \(a\geqslant 0\)):

\[\sqrt[4]{a^2}=\sqrt{\sqrt{a^2}}=\sqrt{a}\]

Преобразуем первое слагаемое:

\(\dfrac{25\sqrt[4]2+2\sqrt5}{\sqrt{250}+5\sqrt[4]8}= \dfrac{25\sqrt[4]2+2\sqrt5}{5\sqrt{10}+5\sqrt[4]{4}\cdot \sqrt[4]2}= \dfrac{25\sqrt[4]2+2\sqrt5}{5\sqrt5\cdot \sqrt2+5\sqrt2\cdot \sqrt[4]2}=\dfrac{25\sqrt[4]2+2\sqrt5}{5\sqrt2\cdot (\sqrt5+\sqrt[4]2)}\)  

Преобразуем второе слагаемое:

\(-\sqrt{\dfrac{\sqrt2}5+\dfrac5{\sqrt2}+2}=-\sqrt{\dfrac{(\sqrt2)^2+5^2+2\cdot 5\cdot \sqrt2}{5\sqrt2}}=-\sqrt{\dfrac{(\sqrt2+5)^2}{5\sqrt2}}=-\dfrac{|\sqrt2+5|}{\sqrt5\cdot \sqrt[4]2}=-\dfrac{\sqrt2+5}{\sqrt5\cdot \sqrt[4]2}\)  

Теперь приведем к общему знаменателю оба слагаемых, заметив, что \((\sqrt5\cdot \sqrt[4]2)\cdot (\sqrt5\cdot \sqrt[4]2)=5\sqrt2\):

\(\dfrac{25\sqrt[4]2+2\sqrt5}{5\sqrt2\cdot(\sqrt5+\sqrt[4]2)}- \dfrac{(\sqrt2+5)(\sqrt5+\sqrt[4]2)\cdot \sqrt5\sqrt[4]2}{5\sqrt2\cdot (\sqrt5+\sqrt[4]2)}= \)  

\(=\dfrac{25\sqrt[4]2+2\sqrt5-(5\cdot \sqrt2\cdot \sqrt[4]2+2\sqrt5+25\sqrt[4]2+5\cdot \sqrt2\cdot \sqrt5)}{5\sqrt2\cdot (\sqrt5+\sqrt[4]2)}=\)  

\(=\dfrac{-5\sqrt2\cdot (\sqrt5+\sqrt[4]2)}{5\sqrt2\cdot (\sqrt5+\sqrt[4]2)}=-1\).

Ответ: -1

Задание 33
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \[\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot ...\cdot \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n \ \text{корней}}\cdot \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n \ \text{корней}}\]

Добавить задание в избранное

Рассмотрим последние два множителя. Пусть \(\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n-1 \ \text{корней}}=t\), тогда произведение последних двух множителей равно: \[\sqrt{2+t}\cdot \sqrt{2-t}=\sqrt{4-t^2}\] Так как \(t^2=2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}_{n-2 \ \text{корня}}\), то \[\sqrt{4-t^2}=\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}_{n-2 \ \text{корня}}}= \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n-1 \ \text{корней}}\]

Заметим, что третий с конца множитель имеет вид \[\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n-1 \ \text{корней}}\]

Следовательно, аналогично \[\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n-1 \ \text{корней}}\cdot \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n-1 \ \text{корней}}=\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}_{n-2 \ \text{корня}}\]

Таким образом, проделывая аналогичные шаги с конца, дойдем до того, что выражение примет вид: \[\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}=\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{4-3}=1.\]

Ответ: 1

Задание 34
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Значение выражения \[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots}}}}\]

равно \(x\), где \(x\) – вещественное число. Найдите \(x\).

(Корни продолжаются до бесконечности.)

Добавить задание в избранное

Обозначим \[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots}}}}=x\] Тогда \[x^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots}}}}=2+x\] Таким образом, получили уравнение: \[x^2-x-2=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=-1; \ 2.\] Так как \(x\) равно квадратному корню из некоторого выражения, то \(x\geqslant 0\), следовательно, \(x=2\). Значит, значение выражения равно \(2\).

Ответ: 2