Математика
Русский язык

9. Преобразование числовых и буквенных выражений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Числовые иррациональные выражения (страница 4)

\(\blacktriangleright\) Модуль числа – это расстояние на вещественной прямой от этого числа до \(0\). Таким образом, модуль любого числа – число неотрицательное.


 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\).
Пример: \(|5|=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\).
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\).

 

\(\blacktriangleright\) Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Пример: 1) \(\sqrt{(1-\sqrt2)^2}=|1-\sqrt2|=\sqrt2-1\), т.к. \(\sqrt2>1\);

 

\(\phantom{000}\) 2) \((\sqrt{2-\sqrt2})^2=2-\sqrt2\).

 

\(\blacktriangleright\) Данные формулы – частный случай формул (\(2n\) – четное число): \[\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\] \[(\sqrt[2n]{a})^{2n}=a, a\geqslant 0\]

\(\blacktriangleright\) Под корнем нечетной степени может находиться любое число, следовательно (\(2n+1\) – нечетное число): \[\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=\left(\sqrt[2n+1]{a}\right)^{2n+1}=a\] Пример: \(\sqrt[13]{(-5)^{13}}=\left(\sqrt[13]{-5}\right)^{13}=-5\).

Задание 22
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt3}\).

Добавить задание в избранное

Рассмотрим числитель исходного выражения:

\[\begin{gathered} \sqrt{10 - 2\sqrt{21}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt7)^2 - 2\sqrt3\sqrt7 + (\sqrt3)^2} - \sqrt{(\sqrt7)^2 + 2\sqrt3\sqrt7 + (\sqrt3)^2} =\\= \sqrt{(\sqrt7 - \sqrt3)^2} - \sqrt{(\sqrt7 + \sqrt3)^2} = |\sqrt7 - \sqrt3| - |\sqrt7 + \sqrt3| =\\= (\sqrt7 - \sqrt3) - (\sqrt7 + \sqrt3) = \sqrt7 - \sqrt3 - \sqrt7 - \sqrt3 = -2\sqrt3\end{gathered}\]

Подставляя преобразованный числитель в исходное выражение, получаем:

\[\frac{-2\sqrt3}{\sqrt3} = -2\]

Ответ: -2

Задание 23
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{4 + \sqrt{15}} - \sqrt{4 - \sqrt{15}}}{\sqrt6}\).

Добавить задание в избранное

Отдельно рассмотрим числитель исходного выражения и возведем его в квадрат:

\[\begin{gathered} \left(\sqrt{4 + \sqrt{15}} - \sqrt{4 - \sqrt{15}}\right)^2 = \left(\sqrt{4 + \sqrt{15}}\right)^2 - 2\cdot\sqrt{4 + \sqrt{15}}\cdot\sqrt{4 - \sqrt{15}} + \left(\sqrt{4 - \sqrt{15}}\right)^2 =\\= 4 + \sqrt{15} - 2\cdot\sqrt{(4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15})} + 4 - \sqrt{15} = 8 - 2\cdot\sqrt{4^2 - (\sqrt{15})^2} =\\= 8 - 2\cdot\sqrt{16 - 15} = 8 - 2\cdot\sqrt1 = 8 - 2 = 6\end{gathered}\]

\(\Rightarrow\) числитель исходного выражения равен \(\sqrt6\), тогда в итоге имеем: \[\frac{\sqrt6}{\sqrt6} = 1\]

Ответ: 1

Задание 24
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\displaystyle \sqrt[4]{0,1298\cdot1,298\cdot12,98\cdot129,8\cdot0,16}\).

Добавить задание в избранное

\[\begin{gathered} \sqrt[4]{0,1298\cdot1,298\cdot12,98\cdot129,8\cdot0,16} =\\= \sqrt[4]{1298\cdot0,0001\cdot1298\cdot0,001\cdot1298\cdot0,01\cdot1298\cdot0,1\cdot16\cdot0,01} =\\= \sqrt[4]{1298^4\cdot2^4\cdot10^{-4}\cdot10^{-3}\cdot(10^{-2})^2\cdot10^{-1}} = 1298\cdot2\sqrt[4]{10^{-12}} = 2596\cdot10^{-\frac{12}{4}} =2596\cdot10^{-3} = 2,596\end{gathered}\]

Ответ: 2,596

Задание 25
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Вычислить значение выражения \(\sqrt[3]{\sqrt2+\sqrt3}\cdot \sqrt[6]{5-2\sqrt6}\).

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(5-2\sqrt6=(\sqrt3)^2-2\cdot \sqrt3\cdot \sqrt2+(\sqrt2)^2=(\sqrt3-\sqrt2)^2\).

 

Значит, \(\sqrt[6]{(\sqrt3-\sqrt2)^2}=\sqrt[3]{\sqrt{(\sqrt3-\sqrt2)^2}}= \sqrt[3]{|\sqrt3-\sqrt2|}=\sqrt[3]{\sqrt3-\sqrt2}\), т.к. \(\sqrt3-\sqrt2>0\).

 

Таким образом, все выражение принимает вид

\[\sqrt[3]{\sqrt3+\sqrt2}\cdot \sqrt[3]{\sqrt3-\sqrt2}= \sqrt[3]{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}=\sqrt[3]{3-2}=1\]

Ответ: 1

Задание 26
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения \(\sqrt{997\cdot 999\cdot 1001\cdot 1003+16}\)

Добавить задание в избранное

Пусть \(1000=x\). Тогда \(997=x-3, \ 999=x-1, \ 1001=x+1, \ 1003=x+3\) и выражение примет вид:

\[\sqrt{(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)+16}=\sqrt{(x^2-9)(x^2-1)+16}=\sqrt{x^4-10x^2+25}=\sqrt{(x^2-5)^2}\]

По свойству корня \(\sqrt{a^2}=|a|\), следовательно, выражение примет вид

\[|x^2-5|=|1000^2-5|=1000^2-5=999995\]

Ответ: 999995

Задание 27
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\dfrac{3\sqrt{12}}{\sqrt{45}-4\sqrt3}+5\sqrt{2,4}\cdot \left(\sqrt{15}+3\right)\]

 

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗЫ под редакцией М.И.Сканави

Добавить задание в избранное

Заметим, что \(2,4=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}\). Преобразуем выражение:  

\(\dfrac{3\cdot 2\sqrt3}{\sqrt3\left(\sqrt{15}-4\right)}+5\cdot \sqrt{\dfrac{12}5}\cdot \left(\sqrt{15}+3\right)=\dfrac6{\sqrt{15}-4}+\sqrt5\cdot \sqrt{12}\cdot \sqrt{15}+\sqrt5\cdot \sqrt{12}\cdot 3=\)  

\(=\dfrac6{\sqrt{15}-4}+\sqrt{5\cdot 4\cdot 3\cdot 5\cdot 3}+3\sqrt{5\cdot 3\cdot 4}=\dfrac6{\sqrt{15}-4}+5\cdot 2\cdot 3+3\cdot 2\cdot \sqrt{15}=\)  

\(=\dfrac6{\sqrt{15}-4}+6\sqrt{15}+30=6\cdot \left(\dfrac1{\sqrt{15}-4}+\sqrt{15}\right)+30=6\cdot \dfrac{1+\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}-4\sqrt{15}}{\sqrt{15}-4}+30=\)  

\(=6\cdot \dfrac{4(4-\sqrt{15})}{\sqrt{15}-4}+30=6\cdot (-4)+30=6\).

Ответ: 6

Задание 28
Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите значение выражения

\[\sqrt5\cdot \left(\sqrt{2017}+2-\dfrac4{\sqrt{2017}}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt5-1}{1-\sqrt5+\sqrt{2017}}+ \dfrac{\sqrt5+1}{1+\sqrt5+\sqrt{2017}}\right)\]

Добавить задание в избранное

Сделаем для удобства замену в данном выражении: \(\sqrt5=a, \sqrt{2017}=b\). Тогда выражение примет вид:

 

\(a\cdot \left(b+2-\dfrac 4b\right)\cdot \left(\dfrac{a-1}{1-a+b}+\dfrac{a+1}{1+a+b}\right)=\)  

\(=a\cdot \dfrac{b^2+2b-4}{b}\cdot \dfrac{(a-1)(1+a+b)+(a+1)(1-a+b)}{(1-a+b)(1+a+b)}=\)  

\(=a\cdot\ \dfrac{b^2+2b-4}{b}\ \cdot \ \dfrac{(a-1)(a+1)+(a-1)b+(a+1)(1-a)+(a+1)b}{((1+b)-a)((1+b)+a)}=\)  

\(=a\cdot \ \dfrac{b^2+2b-4}{b}\cdot \ \dfrac{a^2-1+(a-1)b+1-a^2+(a+1)b}{(1+b)^2-a^2}=\)  

\(=a\cdot \ \dfrac{b^2+2b-4}{b}\ \cdot \ \dfrac{2ab}{1+2b+b^2-a^2}\)  

Подставим вместо \(a\) число \(\sqrt5\):  

\(\sqrt5\cdot \ \dfrac{b^2+2b-4}{b} \ \cdot \ \dfrac{2\sqrt5b}{1+2b+b^2-5}=\sqrt5\cdot \ \dfrac{b^2+2b-4}{b}\ \cdot \ \dfrac{2\sqrt5b}{b^2+2b-4}=\sqrt5\cdot 2\sqrt5=10\).

Ответ: 10

1 .... 3 4 5