Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{21}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{21}}}{\sqrt3}\).
Рассмотрим числитель исходного выражения:
\[\begin{gathered} \sqrt{10 - 2\sqrt{21}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{(\sqrt7)^2 - 2\sqrt3\sqrt7 + (\sqrt3)^2} - \sqrt{(\sqrt7)^2 + 2\sqrt3\sqrt7 + (\sqrt3)^2} =\\= \sqrt{(\sqrt7 - \sqrt3)^2} - \sqrt{(\sqrt7 + \sqrt3)^2} = |\sqrt7 - \sqrt3| - |\sqrt7 + \sqrt3| =\\= (\sqrt7 - \sqrt3) - (\sqrt7 + \sqrt3) = \sqrt7 - \sqrt3 - \sqrt7 - \sqrt3 = -2\sqrt3\end{gathered}\]
Подставляя преобразованный числитель в исходное выражение, получаем:
\[\frac{-2\sqrt3}{\sqrt3} = -2\]
Ответ: -2