Математика
Русский язык

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).

 

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.

 

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).

 

\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):

 

1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]

 

2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm g'\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex] \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex] \hline \end{array}\]

Задание 1
Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = x^2\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 2x\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Эскиз графика:


 

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в \(x = 0\).

\[y(0) = 0\,.\] Итого: \(0\) – наименьшее значение функции \(y\).

Ответ: 0

Задание 2
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = -2x^2 + 1\) на отрезке \([-5; 5]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = -4x\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-4x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-5; 5]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-5; 5]\):


 

Таким образом, наибольшего на \([-5; 5]\) значения функция достигает в \(x = 0\).

\[y(0) = 1\,.\] Итого: \(1\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([-5; 5]\).

Ответ: 1

Задание 3
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = 2x^2 + 2x + 11\) на отрезке \([-4; 0]\).

Добавить задание в избранное

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \[y' = 4x + 2\]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[4x + 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -0,5\,.\] Производная существует при любом \(x\).

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):


 

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-4; 0]\):


 

4) Эскиз графика на отрезке \([-4; 0]\):


 

Таким образом, наименьшего на \([-4; 0]\) значения функция достигает в \(x = -0,5\).

\[y(-0,5) = 2\cdot 0,25 - 1 + 11 = 10,5\,.\] Итого: \(10,5\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([-4; 0]\).

Ответ: 10,5

Задание 4
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = -x^2 + 21x + 11\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = -2x + 21\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2x + 21 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 10,5.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 10,5\) – точка максимума функции \(y\).
\(y(10,5) = -(10,5)^2 + 21\cdot 10,5 + 11 = 121,25\).
Итого: наибольшее значение функции \(y\) равно \(121,25\).

Ответ: 121,25

Задание 5
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = x^2 - 200x + 1\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 2x - 200\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x - 200 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 100.\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Эскиз графика \(y\):



Таким образом, \(x = 100\) – точка минимума функции \(y\).
\(y(100) = 100^2 - 200\cdot 100 + 1 = -10000 + 1 = -9999\).
Итого: наименьшее значение функции \(y\) равно \(-9999\).

Ответ: -9999

Задание 6
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \[f(x)=x^3+4x+\sin \pi x\]

на отрезке \(\left[-\dfrac12;\dfrac12\right].\)

Добавить задание в избранное

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно понять, как схематично выглядит график функции на этом отрезке. Для этого найдем производную: \[f'(x)=3x^2+4-\pi \cos\pi x\] Заметим, что \(x^2\geqslant 0\), \(-\pi\leqslant \pi\cos\pi x\leqslant \pi\), следовательно, \[3x^2+4-\pi \cos\pi x\geqslant 3\cdot 0+4-\pi>0\] Следовательно, \(f'(x)>0\) при всех \(x\), значит, функция \(f(x)\) возрастает. Следовательно, на отрезке \(\left[-\dfrac12;\dfrac12\right]\) ее график выглядит так:



Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке \(x=-\frac12\): \[f_{min}=f\left(-\dfrac12\right)=-3,125.\]

Ответ: -3,125

Задание 7
Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции \(y = x^3 - 15x^2 + 27x + 1032\) на отрезке \([0; 10]\).

Добавить задание в избранное

1) \(y' = 3x^2 - 30x + 27\).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 30x + 27 = 0,\] откуда находим корни \(x_1 = 1, \ x_2 = 9\). Таким образом, \[y' = 3(x-1)(x-9).\] Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):



3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([0; 10]\):



4) Эскиз графика на отрезке \([0; 10]\):



Таким образом, \(x = 1\) – точка локального максимума функции \(y\) и наибольшее значение на \([0; 10]\) функция достигает либо в \(x = 1\), либо в \(x = 10\). Сравним эти значения:

\(y(1) = 1 - 15 + 27 + 1032 = 1045\),

\(y(10) = 1000 - 1500 + 270 + 1032 = 802\).

Итого: наибольшее значение функции \(y\) на \([0; 10]\) равно \(1045\).

Ответ: 1045