\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \([a,b]\), необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f'>0\)) и убывания (\(f'<0\)) функции, критические точки (где \(f'=0\) или \(f'\) не существует).
\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \([a,b]\), а также на его концах.
\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции — это значение координаты \(y=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Основные формулы поиска производной (\(f=f(x), g=g(x)\) – функции):
1. Умножение функции на число: \[(c\cdot f)'=c\cdot f'\]
2. Сумма или разность двух функций: \[(f\pm g)'=f'\pm
g'\]
\[\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{1} & c & 0\\&&\\
\textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\
\textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\
\textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\
\textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\
\textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\
\textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\
\textbf{8} & \cos x & -\sin x\\[1ex]
\hline
\end{array} \quad \quad \quad \quad
\begin{array}{|r|c|c|}
\hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f'(x)\\
\hline
\textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\
\textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\
\textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\
\textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\
\textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\[0.5ex]
\hline
\end{array}\]